你真的讀懂“三體”了嗎?執劍人歐拉有特解

來源: 2019-05-10 18:52:43 [] [博客] [舊帖] [給我悄悄話] 本文已被閱讀: 次 (48473 bytes)

2019年1月3日,中國「嫦娥四號」探測器成功在月球馮.卡門環形山著陸,這是人類探測器首次造訪月球背麵。

就連SpaceX的CEO埃隆·馬斯克和美國NASA局長布裏登斯廷都在第一時間發來賀電。

中文世界又普大喜奔了。

 

01

 

世界上最喜歡月亮的,一定是說中文的。月亮為古往今來的文人墨客貢獻了多少詩詞名篇啊。在傳統文化中,月亮伴隨著神話飄然而至,在神話和詩詞的國度中,“中國月亮”不一定是最圓,但一定是最美的。

當西方文化熱戀太陽神阿波羅時,我們偏不,全世界就我們以月亮設定曆法。用陰曆計時使中國曆史走過了輝煌的農業文明時代,中華文明得以生生不息。

霍如羿射九日落,矯如群帝驂龍翔;嫦娥應悔偷靈藥,碧海青天夜夜心。中國曆史上最著名的一對夫妻,一個射日,另一個卻奔月。射日的後羿不管如何英雄,終究與草木同朽了,而奔月的嫦娥,不管悔不悔,直到今天依然還是最美的化身。

 

 

“中國月亮”在中國文人心中永遠是月出皎兮,佼人僚兮!

但是“外國月亮”,在老外眼中,卻是最頭疼的問題,據說牛人的祖師爺 -- 牛頓給他什麽問題都無法令他頭痛,除了思考月亮。

牛頓在劃時代巨著《自熱哲學的數學原理》用數學方法嚴格地證明了開普勒三大定律,從那以後,二體問題(就是隻考慮太陽和地球)就再也不是問題了。但是月亮加入以後,三體問題就讓牛頓頭疼了,不止牛頓,在他以後,月亮問題成為折磨最多天才的三體問題之一。

(可見二人世界是最簡單的,增加一個小三如美麗的月亮,問題的複雜度一下子增加了上千萬倍)

三體問題是天體力學中的基本力學模型,它是指三個質量、初始位置和初始速度都是任意的可視為質點的天體,在相互之間萬有引力的作用下的運動規律問題。三體問題最簡單的一個例子就是太陽係中太陽、地球和月球的運動。

2018年度克拉克想象力服務社會獎得主,科幻作家劉慈欣的《三體》就是以三體問題為基礎,書中的邪惡外星人,科技水平遠高於地球人的三體人,從古至今都在試圖解決三體問題,而後來這在三體192號文明中被證明無解。

 

(你真的讀懂“三體”了嗎?)

在地球文明中,牛頓是最早提出三體問題的, 其後拉格朗日、歐拉、龐加萊等天才都紛紛投身其中。

1900年,數學武林盟主希爾伯特在他著名的23問中,舉了兩個典型例子,一個是費爾馬猜想,另一個就是三體問題。最終,費爾馬猜想在1994年被美國的懷爾斯解決,而三體問題至今還未解。三體問題有多重要,就有多難解。

就是天才如牛頓,窮極一生也沒有解決三體問題。後來他不得不放棄了,他認為我們的太陽、地球和月亮的係統是不穩定的,就像是三個調皮的小孩,即使彼此之間曾有線連著,最後也會不聽話地散開跑遠。

但是我們的歐拉不信,他在牛頓的基礎上,想解決這個問題。結果,麵對這個最美的月亮,他花了數十年時光,最後,無奈地宣布,自己這四十年的努力都失敗了,月亮沒有給歐拉遠帶來任何詩情畫意。

其實不隻是牛頓,歐拉,包括後來的拉格朗日、拉普拉斯、泊鬆、雅可比、龐加萊等等超級大牛,都偏偏不信邪,飛蛾撲火般地為這個問題窮盡了一生精力,最終都隻好承認對於N>3的N體問題,根本無法求出解析解。

而三體問題是多體問題當N=3時候的最簡單特例,到今天,數學界終於承認,三體問題不能精確求解,即無法預測所有三體問題的數學情景,隻有幾種特殊情況已研究。  

雖然前方是一片黑暗,連數學天才們都已皓首窮經苦求無果,但是探索的道路是一片光明的。

生活就像一盒巧克力,你永遠不知道你會得到什麽。晚年的歐拉也沒有想到他會在三體問題上得出了一個相當意外的傑出成果,他終於發現了三體運動的3個特殊解,當時他已經60歲了。在這3個解之中,3個質點始終共線且繞質心做橢圓運動。這三個點被稱為“歐拉特解”。

歐拉求解過程中,做了個絕妙處理,創立了旋轉坐標係,這是三體問題上的一個重要裏程碑。

限製性三體問題一共有五個特解,歐拉求出3個,拉格朗日推導證明剩下兩個。後世稱之為“拉格朗日點”,其實應該稱為“歐拉-拉格朗日點”才更名副其實。

 

要知道在三體問題被提出的三百年內,僅僅有三種類型的解被發現。

直到2013年,才有了重大突破。兩個塞爾維亞物理學家采用計算機數值模擬發現了13類新特解。

拉格朗日點在天文和航天學上有著很重要的應用,1906年,一顆活潑好動的小行星“阿喀琉斯(Achilles)”出現在人們視線裏,睿智的天文學家們馬上聯想拉格朗日點,在尋尋覓覓以後,在木星軌道上發現了希臘(Greek)小行星群和特洛伊(Trojan)小行星群,它們與木星、太陽正好處於等邊三角形頂點處,這個正是數學上證明求解出來的兩個拉格朗日點。

 

到2007年9月,已經確認的特洛伊小行星有2239顆,這些小行星也被統稱為特洛伊群(或特羅央群)小行星。對於數學,這是一個驚人優美地驗證,也是對歐拉和拉格朗日最好的讚賞。

在這四十多年中,宣稱自己失敗的歐拉其實做出了驚人的貢獻,在三體問題上的探索求解,它們可能比答案更為重要。

在歐拉持續數十年的工作之後,他完整建立了月球理論。

歐拉是月球運動理論的實際創立者。

失敗的歐拉也讓自己成為月球動力學創始人,偉大的天體力學家。

三體運動已經是對天體運動的極端簡化了,然而即便如此,龐加萊發現三體運動經常是混沌的,隻要有一點偏差,隨著時間推移,就會失之毫厘謬之千裏,完全無法預測最終狀態為何,這就是混沌理論,蝴蝶效應。所以對於星辰大海,浩瀚宇宙,我們無法不敬畏.

 

02

 

未經審視的人生,是不值得度過的。-- 蘇格拉底

1726年,出身平凡的美麗文盲,傳奇女沙皇凱瑟琳一世向歐洲廣撒英雄帖,招募傑出的科學家到俄羅斯科學院任教。俄國皇家科學院由彼得大帝於1724年創建,當時是一個對外頗具吸引力的地方。資金充足,藏書豐富,重視研究,沒啥教學負擔,有充分的時間及自由探究科學問題。

後來愛因斯坦終老一生的普林斯頓高級研究所有點山寨俄羅斯科學院的意思。

約翰·伯努利的兩個兒子數學家丹尼爾·伯努利和尼古拉二世·伯努利都已經在此混了一段時間,尤其是歐拉的發小兼死黨丹尼爾·伯努利,作為伯努利家族代表人物之一,混得風生水起,竟然身兼數學所,物理學所和生理學所的若幹重要職位,覺得忙不過來了,他推薦歐拉來接替他自己在生理學所的職位。為什麽是生理學所?隻能說天才跨界總是比我等凡人容易多了。

1727年,歐拉順利抵達俄國首都聖彼得堡,沒想到的是,等著他的居然是俄國秘密警察......

原來,還算開明的女皇凱瑟琳一世在同一天剛剛駕崩,繼任的彼得二世才12歲,主少國疑,俄國貴族裏的野心家就紛紛上場表演了,俄國進入長達20年的血腥內戰。

但這種野心家當權,通常覺都睡不安穩,疑心暗鬼,草木皆兵,很自然的,他們也懷疑科學院的外國科學家,不單派駐秘密警察,切斷了科學院的財政支持,還經常處處找麻煩。

歐拉適逢其時,悲催地被安排下放到海軍部當一名醫官。

當時俄國人極端敵視外國人,許多人逃離俄國,包括歐拉的死黨丹尼爾·伯努利,他受夠了審查機構的種種行為和敵意,逃回巴塞爾。

歐拉也想逃,但天意弄人,他怎麽都逃不成,先是準備大婚(1734年迎娶了畫家喬治·葛塞爾的女兒凱瑟琳)不好當落跑新郎,然後婚後要跑吧,行動前發現妻子懷孕了,愛家的歐拉隻好暫緩逃亡計劃,來年再次計劃逃亡,發現妻子又懷孕了......

索性不走了,就這樣,在政局動蕩的時代,在秘密警察的監視下,他堅持研究數學達15年之久。

蘇格拉底說:未經審視的人生,是不值得度過的。

 

歐拉用他最青春寶貴的歲月證明了這位偉大的希臘先哲的人生命題。

他在這段時間寫成的作品,日後由瑞士政府集結成《歐拉全集》,足足有一百冊

隻是辛苦了這些年監視歐拉的秘密警察,不知道被迫補了多少數學。

對歐拉來講,人生也很夢幻,遙想當年,博士畢業,名師益友,身懷絕世武功,任誰也會憧憬一下鮮花著錦,烈火烹油的錦繡前程,誰知,命運卻安排了不斷被監視和在苦難中淬煉的十五載漫長歲月。

隻是誰能斷言這究竟是福是禍呢?誰說冥冥之中沒有天意呢?

這十五載的苦難歲月,反而為他隔絕出一個無需迎來送往、沒有世俗酬酢的研究天堂,因而也成就了他--人類曆史上最多產的數學家。

 

03

 

什麽是數學數學是上帝花園中精選的百合花。—— 歐拉

 

歐拉的多產,不但表現在數學上,也表現在生孩子上,他一共有13個孩子,不過隻有5個幸存了下來。

歐拉可以在任何地點、任何情況下進入工作狀態,他如果發朋友圈,最常見的一幕是這樣的:他一手抱著嬰兒,讓大孩子圍在他的身邊嬉戲,然後一邊寫數學論文。他還喜歡用自己的小孩做背板在上麵推導公式。

 

歐拉的許多篇數學原稿是寫在孩子吃飯的圍兜上、給孩子擦嘴的紙巾上……

這讓那些輔導孩子作業導致心髒搭橋腦出血的家長們情何以堪啊。

但你若以為歐拉醉心數學,而忽略了孩子們,那你就錯了,天才就是能做到麵麵俱到,歐拉不但是數學家,他還是教育家,而且都是偉大級別的。

實際上,數學家的教子之道也是與眾不同的,歐拉教孩子數學,會設計許多數學遊戲;讓孩子們真正在玩中領略到數學的樂趣。

比如這樣的趣題:

“父親臨終時立下遺囑,按下述方式分配遺產:老大分得 100 克朗和剩 下的 1/10;老二分得 200 克朗和剩下的 1/10;老三分得 300 克朗和剩下的 1/10;老四分得 400 克朗和剩下的 1/10;……依此類推分給其餘的孩子。最 後發現所有的孩子分得的遺產相同。問遺產總數和孩子總數以及每個孩子分 到的遺產各是多少?”

一道初等數學的簡單應用題,經過歐拉的精心編寫,大大激發起孩子們 的學習興趣。

每天晚上,歐拉會把兒女們聚在一起,對他們讀一本書,講一篇數學,再為他們一一禱告。

歐拉的長子約翰. 歐拉(Johann Albert Euler)日後很有成就的天文學家和數學家曾回憶道:『父親為我們念書,我們覺得太好聽了,請父親再念一遍。我仍然記得,父親是把書本合起來,從書本的第一行講到最後一行……父親還背了許多數學公式與複雜的數學計算。在父親的身上,我看到數學不隻需要理解,也需要記憶。』

歐拉不但教自己的孩子,他還在宮廷為公主們講授數學、物理、天文、哲學乃至神學方麵課程。這些課程後來成為一本非常著名的青少年書籍--《致一個德國公主的信》,這是一部文筆優雅的幽默科普著作,後來譯成多種語言流傳世界各地。

歐拉在書中寫道:“任何抽象的思考,或是一般性的想法,離開文字都無法存在。文字的存在不隻是為了人與人的溝通,也是為了幫助人對真理有更深的耕耘。有人聲稱真理來自證據,我卻認為證據沒有文字化,人還是不認識真理。所以在聖經新約約翰福音的開始,第一句話就是“太初有道”,這是一開始,上帝就將他自己,以文字的方式來表達那最核心的真理。”

偉大的教育家歐拉對數學的看法是人生必讀的經典:『數學家就是藝術家,像是米開朗基羅躺在教堂的天花板下,以無盡的熱情,一筆、一筆地描繪出最精確的圖畫……什麽是數學? 數學是上帝花園中精選的百合花。』




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