上帝公式中隱藏的最神奇的力量是什麽?數星星的孩子歐拉傳奇

來源: 2019-03-07 23:08:55 [] [博客] [舊帖] [給我悄悄話] 本文已被閱讀: 次 (23864 bytes)

他精確地計算到自己去世的時間,他對這個世界說的最後一句話是:“我死了”,然後「歐拉停止了計算和生命」。

在他去世後的80年裏,他的論文還在不停發表。

他是曆史上對數學貢獻最大的四位數學家之一(另外三位是阿基米得、牛頓、高斯),被譽為“數學界的莎士比亞”。

他是古往今來最多產的數學家,平均每年寫出八百多頁的論文,他留下的寶貴的遺稿夠當時的聖彼得堡科學院用20年。

01

讀讀歐拉,他是所有人的老師。- 法國數學家拉普拉斯

題目: 2 7 1 8 2 8 1 8 _ _

這是有一天,還在讀小學的女兒給我出的一道數學題,她讓我找找規律,填上空格中的數字。

幸好,出於對萊昂哈德·歐拉(LeonhardEuler)的景仰,歐拉數還算印象深刻,不然被小學生考倒了,臉就丟大了。

你答對了,這道題的答案就是歐拉數e ,是歐拉首先命名的

e有時被稱為自然常數, 以e為底的對數稱為自然對數。(朱八八之前八過的天才馮.諾依曼在1949年第一個把e 算到2010位。)

關於e,以前有一個笑話說:在一家精神病院裏,有個病患整天對著別人說,“我微分你、我微分你。”也不知為什麽,這些病患都有一點簡單的微積分概念,總以為有一天自己會像一般多項式函數般,被微分到變成零而消失,因此對他避之不及,然而某天他卻遇上了一個不為所動的人,他很意外,而這個人淡淡地對他說,“我是e的x次方。”

 

 

這個自然常數e到底有多自然呢?首先這個數和你的錢包息息相關。

假設你在銀行裏存了1元,利息100%。一年後,你會得到(1 + 100%)^1 = 2。

現在銀行為了吸收存款,半年結一次利息,那樣一年後的收益為(1+50%)^2=2.25。

由於經濟下滑,銀行競爭太激烈了,推出每個月結息,利滾利,那麽,一年後你的收益(1 + 1/12)^12 = 2.61倍

但這時P2P 平台橫空出世了,說每個月結息算啥,我給你利息每一分鍾、每一秒鍾,甚至更短的時間都計算在內來利滾利,你是不是覺得要發達了?

也就是說,如果n變得無限大,那(1 + 1/n)^n是否也會變得無限大?

想好沒?其實這個問題沒那麽簡單,當年大數學家雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli)一直試圖解決這個問題而無解,直到50年後,才由歐拉最終獲得結果。

原來,即使P2P能讓你每時每刻都利滾利,你也不會發達,這個極限就是歐拉數 e 。當n變得無限大,那(1 +1/n)^n 的極限值就是e。

 

 

明白了吧,這個自然常數e給存款定了個極限,也給所有的屌絲提了個醒,你永遠無法靠利息暴富的,尤其是那些說得天花亂墜的P2P.

簡單來理解, 歐拉數e 是增長的極限, 因為歐拉數的存在,所有的增長都有了天花板,它在我們的生活中無處不在,包括複利的增長、物體的冷卻、細胞的繁殖、放射性元素的衰變……

我們把歐拉數e 及由e經過一定變換和複合的形式稱之為“自然律”,e 是“自然律”的一種量的表達。“自然律”的形象表達是螺線。螺線在自然界中是普遍的存在,從大如星係、台風,到小如花朵、海螺,到你的指紋、發旋,內耳,核酸結構……宇宙中到處都是螺線的身影.

 

 

“自然律”具有無法窮盡的美學內涵,因為它來自廣袤深邃的大自然。

歐拉數e充分體現了宇宙的形成、發展及衰亡的最本質的東西。

02

 

圓周率 π=3.14159265358979….. 你大概是在小學3年級學到它。

 

世界上最完美的平麵對稱圖形是圓, 用直徑除圓周得到的一個數值,被證明是無理數。而這個符號π也是歐拉第一個確定使用並普及的。

最先得出π≈3.14的是希臘的阿基米得(約公元前240年)。

最先給出π小數後麵四位準確值的是希臘人托勒密(約公元前150年)。

最早算出π小數後七位準確值的是我國的祖衝之(約480年)。

而這個結果直到16世紀才被德國人奧托和荷蘭人安托尼斯重新發現,所以,中國圓周率計算領先世界一千年。

所以我們對圓周率 π太熟悉不過了,這可是國人一直引以為傲的遺產啊。

圓周率 π 和 歐拉數e 都是無理數,也是最著名的超越數。

虛數的平方為負1。你大概要在高中學到。

虛數單位“i” 也是歐拉首創的。

 

我們把形如a+bi(a、b均為實數)這樣的數稱為複數, 斯圖爾特認為:“...如果沒有該公式,很多現代科技,如電燈和數碼相機都不可能發明。”

虛數繼續發展,就變成了數學的一支——複分析,工程師可以利用複分析來進行數據處理,科學家們將微積分擴展到複數,得到了“複變函數”,它對理解電學係統和多種現代數學處理算法必不可少。

虛數廣泛應用於電氣工程學、信號處理和數學理論。

好了,現在有了π,e, i, 他們之間會有關係嗎?

歐拉將我們看似沒有任何關係的自然底數、圓周率、虛數統一在一個公式上麵:

 

 

 

 

這個最優美,最簡潔的公式就以他的名字命名,稱作歐拉恒等式。

歐拉恒等式是歐拉公式e^ix=cosx+isinx 的一個特例(令x = π)。

在數學曆史上有很多公式都是歐拉發現的,它們都叫做歐拉公式,分散在各個數學分支之中。

但是這個公式是歐拉第一公式。

在物理中,這個公式影響巨大,它將物理學中的圓周運動、簡諧振動、機械波、電磁波、概率波等聯係在了一起......

 

諾獎得主理查德·費曼將歐拉公式稱為:“我們的珍寶”和“數學中最非凡的公式”。因為它單獨使用加法,乘法,取冪和等式的概念將重要常數0,1,e,i和π完美統一起來。

 

1988年,數學智能雜誌將其評為“有史以來最美麗的數學公式”。

 

德國天才數學家高斯 (Carl Friedrich Gauss) 曾說:「一個人第一次看到這個公式而沒有感受到它的魅力,這個人絕不會成為一流的數學家。」

 

數學家們評價它是“上帝創造的公式,我們隻能看它卻不能完全理解它”。

 

後來這個公式被廣泛譽為上帝公式。

 

在古往今來所有的人類知識的結晶(公式)中,隻有歐拉公式被譽為上帝公式。這是何等的牛掰。

有一個非常著名的軼事,當然也有許多人認為僅僅是江湖傳說。不管怎樣,隻要是好故事,我們且聽且珍惜。

在葉卡捷琳娜二世宮廷的一個法庭上,俄國女皇麵前,歐拉與著名的無神論哲學家狄德羅(Denis Diderot)辯論,狄德羅編過法國百科全書,號稱自己無所不知,歐拉用接近完美信念的語氣隻問了一句話:

 

 

雖然狄德羅也懂些數學,但是突然麵對上帝公式,一時懵逼,笑聲如珍珠般從法庭上爆發。狄德羅頓覺遭受了奇恥大辱,憤而要求離開俄羅斯回家,而這個要求得到了慷慨的批準。

這個時代還有人會欣賞數學的美嗎?“這公式再優美,能讓我買得起房嗎?”

歐拉要慶幸生在那個偉大的時代,公式一出天下讚,高山流水知音賞,假如生在世界的另一端,會不會連看一眼的人都無?

曆史在許多時候就是一個無限且不循環小數一一無理數,那些叱詫風雲、左右曆史,看起來很超越但無理的人,在上帝公式麵前,所有無理,超越終將通通清零。

這個是上帝公式最神奇的力量。

 

03

我們一年級的語文教材裏有著名的張衡數星星的故事,他數了幾百顆,就數著數著數成了天文學家,這個故事激勵了多少孩子們啊,(朱八八小時候也被激勵著數過幾十顆,最後都是數著數著就睡著了,無一次例外。現在的孩子們數星星容易多了,天上現在一共也見不到幾顆)

可惜不但數星星是假的,就連被印在教材上影響了幾代中國人的張衡地動儀也是西北貨,隻能當擺設。

 

 

國外的孩子歐拉也有一個數星星的故事至今還在流傳。

七歲那年,歐拉進了瑞士巴塞爾的神學學校。一天,老師講到:“天上的星星是上帝親手一顆一顆地安上去的。”

小歐拉也想數星星了,不過他想讓老師去數:“天上這麽多星星,到底有多少顆呢?”老師不想數,直接回答不知道。

小歐拉不依不饒地追問:“既然是上帝造的,上帝為什麽也不知道星星的數目呢?”

老師很生氣,後果很嚴重,他立刻就被學校開除了。

其實這個故事真正要告訴我們的是,古往今來,那些小歐拉的老師,小明的老師,都比較笨罷了,而老師眼中的熊孩紙,很可能是偉大的天才。

雖然開除在家,小歐拉沒閑著,他把牛頓的《自然哲學的數學原理》看完了,那年他9歲。然後就開始自學《代數學》,這本書連他的幾位老師都沒讀過。這時他還不滿10歲。

在家放羊的日子裏,小歐拉的爸爸決定擴建羊圈,多養羊致富,他量出了一塊長40米,寬15米的長方形地,正打算動工的時候,發現材料隻夠圍100米的籬笆。怎麽辦?

 

 

小歐拉的方法做到了一舉兩得,既節省了材料,又擴大了麵積。這個智改羊圈的故事一下子讓歐拉名揚五裏八鄉,最重要的是,傳到了一個大數學家約翰.伯努利的耳朵裏。

如果你們家裏有幾歲的孩子,可以回去考考他這個問題,如果他也能領悟到周長一定時,正方形麵積最大,甚至知道圓形麵積最大,恭喜你,你們家也可能要出一個大數學家。

伯努利家族是數學家的名門望族,家族盛產數學家,同時又都是基督徒,所以被稱為數學界的”神聖支派”。約翰.伯努利不但是牛逼的數學家,還是著名的伯樂。

 

 

伯樂出馬,千裏馬沒跑。約翰.伯努利馬上就意識到了小歐拉驚人的數學才華,推薦他進入名校巴塞爾大學,小歐拉那年才13歲, 是這所大學,也是整個瑞士大學校園裏年齡最小的學生。更讓人驚掉眼珠的是,小學霸還同時修六個專業(哲學、法學、數學、神學、希伯來語、希臘語)。

即便如此,對學霸而言,這些課業還是太輕鬆了,歐拉隻用了2年多就宣告本科畢業,又花了一年拿到碩士學位,他碩士畢業時16歲,博士畢業才19歲,博士畢業論文是一片篇物理論文,內容是研究聲音的傳播。

1727年,歐拉20歲了,他參加了法國科學院主辦的有獎征文競賽,當年的問題是找出船上的桅杆的最優放置方法。結果他得了第二名,第一名是後來被譽為“艦船建造學之父”的皮埃爾·布格。

這個獎在整個十八世紀可是全歐洲最引人注目的獎項。

學神歐拉從小都是碾壓別人的,啥時候被別人碾壓過啊?

這個第二名讓他心裏有多不服啊。

歐拉很生氣,後果很嚴重。接下來幾年都是見證奇跡的時刻,他包攬了12次該獎項的冠軍,然後才罷手,終於放過了這個競賽。

在隨後的歲月中,這個數星星的孩子迸發的燦爛光芒將要照亮整個十八世紀的數學天空

 

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發布於 2019-01-02



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