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分形 —— 故事之外
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今天,“分形”的意思、其解析理論及計算方法在數學、 自然科學和工程技術領域裏可以說是家喻戶曉,因而在這裏 無需多費筆墨來加以定義和描述。然而,漂亮的分形到底有 什麽實用價值,特別是在電子技術中有什麽可能的應用,也 許需要舉幾個例子來加以詮釋。
從分形故事說起
二十世紀六十年代,當時在美國 IBM Thomas J. Watson Research Center 工作的波蘭出生法國裔數學家本華 • 曼德波 羅(Bernoit B. Mandelbrot, 1924-2010)探討了“英國的海岸 線有多長”這個有趣的問題。他注意到,如果用公裏作為測 量單位,從幾米到幾十米的一些曲折地段會被忽略 ;改用米 來做單位,測得的總長度會增加,但一些厘米量級以下的曲 折地段還是不能反映出來 ;進一步,從理論上來說,海邊沙 礫的下一個尺度是分子、原子,於是要使用更小數量級的尺
度的話,得到的海岸線總長度就很不一樣。因此,長度不是 海岸線的與尺度無關的不變量。這當然隻是一個平凡的觀察。 但是,平凡的觀察加上不平凡的思考,讓曼德波羅引進了“分 數維圖形”的新概念,建立了今天熟知的分形幾何理論。
曼德波羅獨具匠心,創造了 fractal 一詞。據他自己說, 在 1975 年的一天晚上,他在冥思苦想之餘偶然翻開了兒 子的拉丁文字典,看到一個形容詞 fractus(“破碎”),其對 應的動詞是 frangere(“產生無規則的碎片”)。他馬上聯想 到具有相同詞根的英文名詞 fraction(“分數”、“部分”)及 fragment(“碎片”),從而“突然想到”一個新詞 fractal。而 在那以前,他一直是用英文單字 fractional 來表示他的分形 思想的。這樣,曼德波羅就取拉丁詞之頭、英文之尾,開始 用 fractal 來描述自然界中傳統歐幾裏得幾何學所不能刻畫 的一大類當時被認為是“雜亂無章”的幾何圖形。這個新詞 從此不脛而走,進入了各種語言的字典詞典,並將永留世間。
陳關榮
數學文化/第3卷第4期 82
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圖 1 本華 • 曼德波羅(1924-2010)
1967 年,曼德波羅在美國《科學》雜誌上發表了題目 為《英國的海岸線有多長?》的一篇劃時代標誌性論文, 闡述了分形的新思想。1977 年,他又在巴黎出版了一部法 文著作“Les objets fractals: forme, hasard et dimension”,並 於同年在美國出版了其英文版“Fractals: Form, Chance and Dimension”(中譯本《分形:形狀、機遇和維數》),和“The Fractal Geometry of Nature”(中譯本《大自然的分形幾何》)。 但是,曆史好像也是分形的,相似的事件反複重演。像過去 許多名著的命運一樣,曼德波羅這三本書完全沒有得到學 術界應有的重視,直到 1982 年他第三本書的第二版出來後, 才受到歐美社會的廣泛關注,並迅速形成了“分形熱”。此 書後來被分形學界視為“分形學之聖經”。
曼德波羅於 2010 年 10 月 14 日辭世,生前是耶魯大學 數學係的榮休 Sterling 講座教授、IBM 榮休院士、1993 年 沃爾夫物理學獎獲得者、美國國家科學院院士。
說起來有趣,分形幾何學的數學曆史從不同角度來說也 同樣具有相似性。類似於分形的思想可以追溯到瑞典數學家 Niels F. H. von Koch(1870-1924)。他從一個三角形的“島”出發, 通過對稱性而把它的“海岸線”變成不斷向更小尺度層次延 伸的連續曲線,於是其長度也在不斷增加並趨向於無窮。
其實,類似於分形幾何的曆史思想還可以往前追溯。 不妨看一看圖 2。“我在看一本科學史書時注意到了這幅圖。 書上說這是中世紀、即 13 世紀晚期《聖經》中的一幅插圖。 意思是,上帝按照幾何學設計了這個世界。我又搜索了一下
圖2 中世紀《聖經》中的一幅插圖[1]
這 幅 圖 ; 一 些 網 站 顯 示 為 《 上 帝 計 測 宇 宙 》, 描 繪 了 作 為 宇 宙建築者的神(1250 年繪製)。”2008 年,時為上海交通大 學數學係本科生的王雄同學在給我的電子郵件中如是說。他 驚歎道,“那幅圖的幾何,很像一個 Mandelbrot 分形圖案! 作為中世紀作品畫成這樣的效果,已經是非常不錯了,很難 想象會是別的什麽”。王雄後來成了我的博士研究生,現在 就讀於香港城市大學,研究與分形相關的混沌理論。
這裏順便提及,最早把分形幾何引進中國的可能是中 科院沈陽金屬研究所的龍期威研究員,他曾是中國科學技術 大學教授並任中科院國際材料物理中心主任。他率先把分形 理論應用於金屬斷裂研究,並培養了把分形方法引入到裂隙 岩體非連續變形、強度和斷裂破壞行為研究的一位優秀學 生,也就是四川大學現任校長謝和平院士。
現在回到本文的主題,即分形幾何在電子技術中有什 麽潛在應用和發展前景?這裏隻講兩個啟發性的例子 :分形 天線和分形電容器。
分形天線
分形天線是一種無線通信用的新概念天線。和傳統天 線相比,它在同樣麵積或體積的條件下具有最大的有效長度 或周長。這種天線具有極端緊湊和多寬頻帶等特性,非常適 合於 RFID 和移動通訊方麵的應用。由於現代通訊工具種類 越來越多,體積也越來越小,因而需要把天線做得很小很小, 而且越小越好。為此目的,把天線的形狀做成分形是個好
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主意,因為這可以在同樣麵積的限製條件下把天線做得很 長,而且還能取代多條天線而同時工作在幾個不同頻率區 間之中。
把天線陣列設計成分形樣子的做法早在 1957 年就出 現了。它是由美國伊利諾伊大學電子工程係教授 Raymond DuHamel 和學生 Dwight Isbell 提出的對數周期陣列(log periodic array)。分形天線陣列與傳統天線陣列設計相比, 具有多頻和寬頻特性,可用於快速計算方向圖,可有效地利 用狹小地域來布置龐大的平麵陣列,可實現低副瓣設計策 略,等等。兩種典型的分形陣列天線是康托(Cantor)集陣 列和維爾斯特拉斯(Weierstrass)線性陣列,目前多用於電 視天線(圖 3)。
圖 3 分形陣列天線
基於分形結構來設計和優化單個天線的做法始於 1988 年,由波士頓大學教授 Nathan Cohen 首先提出,但相關的 學術論文到了 1995 年才第一次正式發表。一些代表性的分 形天線見圖 4。
圖 4 一些代表性的分形天線 數學文化/第3卷第4期 84
圖 5 有限分形(偽分形)天線
與傳統天線相比,分形天線除了在縮小尺寸方麵獨具 一格之外,還有其他優點,例如 :可以利用其自相似性來增 加工作頻帶數目和帶寬,具有自加載特性而不需要額外的調 諧線圈和電容等元器件或匹配電路來輔助其在寬帶工作條 件下達到阻抗匹配,還可以簡化電路設計和降低係統造價, 等等。據報道,基於分形設計的天線可以在 UHF(862-928 MHz)頻帶的無線通信設備中和 GSM+DCS(900MHz 和 1800MHz)雙頻移動天線係統中得到較好的應用。目前的 研究主要集中在 GSM(900MHz)、PCS(1900MHz)、藍牙 無線通信係統(2.4GHz)等方麵。它不僅可以在個人手提(如 cellular phone 即蜂窩電話)和其他無線移動設備(如無線局 域網中的 laptop 即筆記本電腦、車載天線係統)中得到應用, 還可望用於衛星通信係統和相控陣雷達係統。目前看來,如 果相關的一些技術障礙(如多頻道信號之間的相互幹涉)能 夠取得突破,則分形天線的前景還是頗為誘人的。
圖 6 變形材料製造的分形天線
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當然,從數學的角度來看,嚴格地說這些例子都隻是利 用了有限分形、或者稱為偽分形(如圖 5 所示),因而尚有潛 力可以挖掘。事實上,目前一切還在嚐試之中,期待新的進展。
據報道,新近迅猛發展的納米變形材料(Metamaterials) 和用變形材料製造的天線都充分考慮到有效地利用分形幾 何結構(圖 6)。
2011 年還有報道說 [2],用密封分形共振器合成的寬帶 變形材料可以製造出隱形外套,其原理是可以讓光繞過這些 材料而實現傳播和折射(圖 7)。
圖 9 分形電容器設計示意圖 [3]
圖 10 分形電容器的一個原型 [3]
圖 7 用具有分形結構的變形材料製造出隱形外套 [2]
分形電容
分形電容器設計的基本思想和分形天線是一樣的。理 論上,前者是在有限的麵積內獲得無限長的曲線以增加天線 的有效長度,後者則是在有限的體積內獲得無限寬的曲麵以 增加電容器的儲電容量。
研究發現 [3],在傳統的電容器中把部分縱向的相反電 極分布改為橫向的話可以有效地提高其儲電量。如圖 8 所示, 中間的電容器結構要比頂層的那個儲電量高,而底層的那個 結構的儲電量更高。圖 9 是根據這個思想設計出來的一個分 形電容器的示意圖。圖 10 則是分形電容器的一個原型。
把上述分形電容器的設計思想推廣到三維是一個數學上 很自然的做法,也適應了實際應用的需求。圖 11 介紹了實現 這個想法的幾種設計方式。圖 12 是分形電容器的一個設計原型。
圖11 三維分形電容器的幾種設計方式[4]
圖12 分形電容器的一個設計原型[5] 分形電容器應用的一個成功試驗性例子是由瑞士 Paul
ScherrerInstitute公司研製的分形超級電容器(supercapacitor 數學文化/第3卷第4期 85
圖8 增加橫向的相反電極數目能有效地提高電容器的儲電量[3]
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或 ultracapacitor)[6],被安裝在一輛名為 Hy.Power 的燃料驅 動小汽車裏,用作汽車爆發加速時的拖動功率補給。2002 年 1 月 16 日,Hy.Power 成功地爬上了位於瑞士 Brig 與意 大利 Domodossola 之間海拔兩千多米高的 Simplon 山口(圖 13)。這段山路極為陡峭,而且當時山頂氣候條件惡劣,同 類型的小汽車隻能望山興歎 [7]。
具體地說,希爾伯特曲線是如圖 15 所示來產生的。 初始條件
三維的希爾伯特曲線如圖 19 所示,也稱為空間填充曲線。 1/4 2/4 3/4 4/4
01
1/16 2/16 3/16 4/16
23
14
第一次迭代
16/16
1, 1
1, 1
0, 0
43
1 2 16
1 2 16
0, 0
第二次迭代 第三次迭代
圖 15 希爾伯特曲線的生成
圖 13 配有分形電容器的 Hy.Power 汽車爬上 Simplon 山口 [7]
相關的分形數學
說到分形天線和分形電容器的數學思想和原理,還得 從 Peano 曲線(誕生於 1890 年)和希爾伯特(Hilbert)曲 線(誕生於 1891 年)談起。這兩種曲線如圖 14 所示。這類 曲線通過反複迭代而不斷卷縮並延長。例如,希爾伯特曲線 的第 n 次迭代的長度是 2n - 2-n ,可見其長度趨於無窮。有 趣的是,這些貌似一維的曲線的 Hausdorff 維數是 2 而不是 1, 也就是說它們最終可以充滿整個方塊。
(a) Peano 曲線
二次迭代後的圖形 ;再把分別相應於 H H A B 箭頭右方的 4 小塊放進 ? H H ? 中便得到在圖 15 中第三次迭代後的圖
如果使用字母的一種語法表示(Lindenmayer 係統,簡 稱 L- 係統),則可能更為容易理解和記住迭代的法則:例如, 在圖 15 中第一次迭代後得到的圖形就是圖 16 中的 H 圖形 ;
把H變成箭頭右方的4小塊? H H ?便得到在圖15中第 ?? A B ??
H
圖 16 用 L- 係統法則生成希爾伯特曲線
圖 17 中 T 恤上染印的是迭代五次以後所獲得的希爾伯 特曲線圖形,而迭代六次以後獲得的希爾伯特曲線圖形如圖 18 所示。
圖 17 T 恤上印有迭代 5 次後獲得的希爾伯特曲線圖
?? A B ?? 形 ;以此類推。
H
H
B
B
C
A
H
A
A
B
B
C
B
H
C
C
(b) 希爾伯特曲線 圖 14 平麵填充曲線
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C
A
A
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圖 18 迭代 6 次以後獲得的希爾伯特曲線圖形 三維的希爾伯特曲線如圖 19 所示,也稱為空間填充曲線。
圖 19 三維希爾伯特曲線圖
結束語
應該說,分形幾何在自然界、物理學和工程技術中的 應用還隻是初見端倪。
除了大家都已經很熟識的植物枝幹葉子構成的分形、 陸地迂回曲折的海岸線形成的分形之外,在人體內血管的分 布和大腦的皺褶等地方(圖 20),你都能夠看到各種分形或 者類似分形的幾何特征。
在顯微鏡下觀察落入溶液中的一顆花粉,你會發現它不 間斷的無規則運動(布朗運動)的軌跡是由不同尺度的連續折 線相接而成的。這條曲線的分形維數是 2 而不是 1,因而和希 爾伯特曲線一樣,理論上可以逐漸遍曆整個遊走過的平麵區域。
圖 21 是 2005 年美國宇航局從國際空間站拍攝到的埃 及境內納塞爾湖的照片,上麵呈現出來納塞爾湖的水流分支 就有很明顯的分形結構。另一幅對我國黃土高原中部山西省 岢嵐縣所拍攝到的照片(圖 22)也有明顯的分形結構。
圖 20 Purkinje 神經細胞
圖 21 埃及納塞爾湖的航拍照片
圖22 中國黃土高原中部山西省岢嵐縣的航拍照片 數學文化/第3卷第4期 87
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參考文獻
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1. http://en.wikipedia.org/wiki/File:God_the_Geometer.jpg
2. http://www.fractenna.com/whats/110915.html
3. H. Samavati, A. Hajimiri, A. R. Shahani,G. N. Nasserbakht, and T. H. Lee,“Fractal capacitors,”IEEE J. of Solid-State Circuits, 33(12): 2035-2041, 1998
“RF MEMS fractal capacitors with high self-resonant frequencies,”J. of Microelectromechanical Systems, 21(1): 10-
12, 2012
6. http://ecl.web.psi.ch/supercap/index.html#power
7. F. Gassmann, R. Ko?tz and A. Wokaun,“Supercapacitors boost the fuel cell car,”Europhysics News, 34: 176-180, 2003
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在物理化學領域中,在某些電化學反應過程裏電極附 近沉積的一些固態物質是以不規則的樹枝形狀向外增長的。 在化學震蕩反應、流體力學不穩定性、光學雙穩器件動力學 實驗和分析中,都可以通過實際測量得到各種分形幾何結構 或者通過大型計算得到數據序列的分形維數。在工程技術領 域裏,已經出現了圖像分析用的分形濾波器(fractal filter), 使用分形編碼(fractal coding)的圖形分形壓縮技術(fractal image compression),等等。
分形在工程技術中的眾多應用反過來向數學提出了諸 多新的問題和挑戰。以上麵談及的分形電容器為例,在大學 普通物理中介紹過如何來計算簡單平板電容器的電容量 :如 圖 23 所示,假設兩個相距為 d(單位 :米 )的同質電極的 麵積均為 A(單位 :平方米 )。在電壓差? U(單位 :伏特) 的作用下產生電場 E= ? U / d(單位 :伏特 / 米)。這時,電
圖 23 基本平板電容器
容器的電容量 C(單位 :法拉 )及其存儲的電能量 J(單位 :
容器的電容量 C(單位 :法拉 )及其存儲的電能量 J(單位 :
度 )由下麵兩式給出 :
C = ε 0 ε r Ad , J = 12 C ( Δ U ) 2
其中ε0=8.85×10-12(單位:法拉/米)是一個基本常數,εr 是兩塊平板電極之間媒質的介電常數(例如,真空為 1,水 為 8 1 )。
現在,一個顯然是十分有用但還沒有答案的數學問題 是 :對於上麵描述的各種有限分形電容器,如何分別推導出 由該分形幾何參數決定的、計算其總電容量的解析表達式? 工程技術人員在等待著數學家們的回答。
如上所述,從數學的角度來看,嚴格地說前麵提到的 所有例子都隻是利用了有限分形(偽分形)。容易想象,真 正的分形幾何學還有很大的潛力等待開發和挖掘。希望在不 久的將來,隨著科學技術的進一步發展和突破,我們能夠看 到分形幾何獲得越來越多、也越來越成功的各種實際應用。
致謝
作者感謝 Maciej Ogorzalek 教授提供了一些相關資料。 文中沒有標明出處的圖片均從互聯網上的無版權網頁下載。
作者簡介:陳關榮,香港 城市大學電子工程係講座 教授,IEEE Fellow。
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