月麵對立方體底麵和側麵輻射比較的積分計算

（一）先算立方體的底麵的輻射強度

設立方體底麵正下方單位麵積的月麵對距離其正上方一個單位高度的平麵的輻射強度為p;
設立方體高度為h；

那麽根據輻射的平方反比率，這個單位麵積的月麵對其正上方的立方體底麵的輻射強度為 p/(h²)，
也就是說，離月麵越高，單位麵積的月麵對其產生的輻射強度越小。

用極坐標（ρ，φ）計算。坐標原點設在立方體正下方的月麵上，可選任意方向為角度的零方向。
下麵對整個月麵作積分，計算月麵對立方體底麵產生的輻射強度。

月麵上任一點的（微分元）麵積：ρ * dφ * dρ，這一點到立方體底麵的距離是: D =（ρ² + h²)^(½),

設這一點到立方體底麵連線的入射角為θ，那麽月麵上這一點的（微分）麵積對立方體底麵的輻射
強度為：

    p/(h²) * (h²)/(D²) * sinθ * sinθ * ρ * dφ * dρ,

其中：(h²)/(D²) 是平方反比；兩個sinθ，一個是月麵發射輻射的斜角損失，一個是立方底麵接
收輻射的斜角損失。

計算：

∫∫p/(h²) * (h²)/(D²) * (h/D) * (h/D) * ρ * dφ * dρ
= p * h² * ∫∫1/(D^4)  * ρ * dφ * dρ
= p * h² * ∫∫1/((ρ² + h²)²)  * ρ * dφ * dρ

積分區域為整個月平麵，就是φ=[0，2π]，ρ=[0，+∞]。

φ與ρ獨立變化，這個二重積分就成為兩個單變量積分了。對dφ從0到2π積分，直接得出2π；

 ρ * dρ = （½）d（ρ²)上式變成：
p * h² * π * ∫1/((ρ² + h²)²) d（ρ²) ，積分區間ρ=[0，+∞]。

令 T = ρ²，做積分變換替換，上式變成：
p * h² * π * ∫1/((T + h²)²) dT ，積分區間變為 T=[0，+∞]。

令 U = T + h²，做第二次變換替換，上式變成：
p * h² * π * ∫1/((U²) dU ，積分區間 U=[h²，+∞]。

計算定積分，上式變成:
p * h² * π * 1/（h²）
= π * p

立方體的底麵的輻射強度 = π * p

值得注意的是，它與立方體的高度無關。

 

（二）再來算立方體垂直的側麵的輻射強度。

同上，設立方體底麵正下方單位麵積的月麵對距離其正上方一個單位高度的平麵的輻射強度為p;
設立方體高度為h；

根據輻射的平方反比率，這個單位麵積的月麵對其正上方的立方體底麵的輻射強度為 p/(h²)，
也就是說，離月麵越高，單位麵積的月麵對其產生的輻射強度越小。

這次我用直角坐標（x，y）計算。坐標原點設在立方體正下方的月麵上，坐標平麵就是月麵，
x軸方向平行於這個垂直的立方體側麵的平麵，y軸方向與這個側麵垂直，指向立方體外側。

下麵對整個月麵的一半麵積做二重積分，也就是說，計算這個側麵對應的半個月麵對立方體
側麵產生的輻射強度。積分區間 x=[-∞，+∞],y=[0，+∞]

月麵上任一點的（微分元）麵積：dx * dy，

這一點到立方體麵的距離是: D =（x² + y² + h²)^(½),

設這一點到立方體底麵連線的月麵發射角為θ，垂直的立方體側麵的接收輻射角為σ，那麽月麵上
這一點的（微分）麵積對立方體底麵的輻射強度為：

   p/(h²) * (h²)/(D²) * sinθ * sinσ * dx * dy,

其中：(h²)/(D²) 是平方反比；sinθ，是月麵發射輻射的斜角損失，sinσ 是垂直的立方體側麵接
收輻射的斜角損失。這兩個角度不是同一個直角三角形的兩個銳角。

sinθ = h / D

sinσ = y / D

計算：
∫∫p/(h²) * (h²)/(D²) * sinθ * sinσ * dx * dy
= p * h *∫∫1/(D^4) * y * dx * dy

積分區間 x=[-∞，+∞],y=[0，+∞]

采用極坐標變換，也就是說將點(x,y)從直角坐標變換到相應的極坐標（ρ，φ）中。這使得定義
域的形狀改變，從而簡化運算。該變換的基本關係如下：

x = ρ * cos(φ) ; y = ρ * sin(φ)

積分區域為半個月平麵，就變換為 φ=[0，π]，ρ=[0，+∞]。

輻射強度函數就變為：
p * h /((ρ² + h²)²) * ρ * sin(φ)

微分 dx * dy 變換為 ρ * dρ * dφ，(根據雅可比行列式）

計算：
p * h * ∫∫ρ²/((ρ² + h²)²) * sin(φ) * dφ * dρ

φ與ρ獨立變化，這個二重積分就成為兩個單變量積分了.

上式變成:
p * h *∫ρ²/((ρ² + h²)²) dρ * ∫sin(φ) * dφ

積分區間 ρ=[0，+∞]，φ=[0，π]

 
算出第二個積分值為 2，上式變成:
2 * p * h *∫ρ²/((ρ² + h²)²) dρ，積分區間 ρ=[0，+∞]

T = ρ / h，做積分變換替換，上式變成：
2 * p *∫T²/((T² + 1)²) dT，積分區間 T=[0，+∞]

用湊積分法（詳細步驟極其繁瑣，就不列出了。如果有懷疑，請用微分法逆向驗證，要容易得多。），
這個不定積分算得：p * (arctan(T) + T/(T² + 1))

 
最後求得積分 （π/2 - 0） * p

即立方體的側麵的輻射強度 = π * p /2

注意，它還是與立方體的高度無關。

 

（三）結論

 1）立方體的底麵的輻射強度 = π * p

 2）立方體單個側麵的輻射強度 = π * p /2

 3）兩者是 2:1 的關係；換句話說，月麵對立方體的總輻射按 P2 * 3A 計算。

 4）立方體受月麵的輻射強度與其距離月麵的高度無關。
 （這是假設月麵無限平，無限大的情況。實際情況下這個立方體不能懸太高）

 5）注意：這裏的 p 是有準確定義的。它不是我們所說的月麵對立方體的輻射強度P2。

 

by TBz

 

所有跟帖： 

• 戰戰兢兢小心翼翼地要求提供多圖和多細節，因為早就忘給老師了 -iwbb- ♀ (0 bytes) () 11/21/2011 postreply 09:13:00

• 這麽麻煩，為甚麽不用軟件算？ -viewfinder- ♀ (0 bytes) () 11/21/2011 postreply 09:40:57

• 自己推導公式算比編程算定積分更直觀可靠。 -TBz- ♂ (0 bytes) () 11/21/2011 postreply 09:44:15

• try this one ^@^ -viewfinder- ♀ (98 bytes) () 11/21/2011 postreply 12:32:41

• 啊！早知道有這個，能省我多少推導啊！ -TBz- ♂ (34 bytes) () 11/21/2011 postreply 12:45:00

• 這個鏈子是真牛~V妹V5~ -qiasini- ♂ (12 bytes) () 11/22/2011 postreply 23:22:46