不定義距離，就想不清直線
什麽是直線？或者更加準確的問法是如何定義直線？不知道你有沒有思考過這個問題。盡管我們實際生活中都有對直線概念的直觀理解，但是細想後我們就會發現，直線好像也不這麽簡單。
歐幾裏得的《幾何原本》上是這麽定義直線的：“直線是它上麵的點一樣地平放著的線”，其中線的定義是“線隻有長度而沒有寬度”。顯然這樣的定義是極其不嚴格的，“一樣地平放著”隻是一個日常生活中的直觀概念。也就是說《幾何原本》相當於沒有對直線給出定義，盡管直線是幾何學最基本的基本概念之一。
可能很多人會認為直線被定義成“兩點間最短的線”（在這裏就不去區分線段和直線了），就覺得在邏輯上已經定義清楚了。但是這裏還有一個問題：什麽叫做短？要有短的概念就要先有距離的概念，而僅僅在幾何學內考慮這個問題的話，要丈量距離就必須先有尺，而尺的形狀又是直的，因此距離的概念其實是建立在直線的概念之上的。這就成了循環定義了。
所以在數學上，我們就不能單從幾何的角度去定義距離了。為了定義距離，我們需要在空間的每一個無窮小的區域上建立一個笛卡爾坐標係，在每一個小的笛卡爾坐標係內可以用解析幾何的方法定義出距離，然後在整個路徑上對每一個小段上的距離進行疊加，從而定義出兩點間連線的距離。
之所以能在無窮小區域上建立笛卡爾坐標係，是因為一條曲線在無窮小區域上，我們可以把它近似為一小段直線（就是我們直觀認識的直線），這其實就是微積分的思想。至於為什麽不能直接在大區域上直接建立笛卡爾坐標係來定義距離，原因很簡單，坐標軸要畫成直線啊，在沒有直線概念的時候又哪裏來的坐標軸呢...
一個簡單的例子是在球麵上定義最短線，如果直接建立笛卡爾坐標，其中的坐標軸就用我們直觀感受的那種直線的話，那麽最短線必須要經過球麵之外的空間。但是在球的表麵的每一個無窮小區域上建立微小笛卡爾坐標係，就可以很好的沿著球表麵定義出一條最短線。
猜不透的歐幾裏得第五公設
至此，我們基本上可以把直線就定義成兩點間距離最短的線了。但是，這樣並沒有定義出唯一的直線。顯然在一個球麵上定義出的最短線，在我們看來其實是圓弧；在馬鞍麵上畫出的最短線，在我們看來也是彎彎曲曲的線。
那麽怎麽定義才能保證剛才定義出來的直線就是我們通常直觀上的直線呢？其實很簡單，隻要再加上一個公理，即傳說中的歐幾裏得第五公設：
同一平麵內一條線段和另外兩條線段相交，若在某一側的兩個內角的和小於兩直角，則這兩線段經充分延長後在這一側相交。順帶提一句，因為第五公設看起來太繞了，一點都不明顯，有數學家提出了與第五公設不同的假設，這就是非歐幾何。
至此，我們終於可以引入 Hilbert 大神對直線的理解了：點和直線不可定義，真正需要的是點和直線之間的關係！而點和直線之間的最基本關係，Hilbert用公理來確定：幾何學就是給直線一個定義，隻要給出一個直線的定義，就有一套幾何學！
現實裏的直線在哪裏？找不著
以上都是數學上對直線定義的討論。但是現實世界中，我們總得給出對直線的唯一一種定義，然後我才能說從宿舍到食堂到底有多遠，以及天文裏麵一顆恒星距離我們到底有多遠。那到底哪一種幾何學是“真”的呢？什麽是現實世界中的客觀的直線呢？
通過上麵的討論我們知道了，對於直線的定義其實是隨意的。但是基於一些的物理上的信仰，我們仍然對現實中直線的定義作出幾條限製：
不能依賴於主觀參考係
該定義對於長距離一定也要有效。
現代物理學認為自然界中隻有4種相互作用力，其中隻有電磁力和引力是長程作用力，於是對應著隻有光子和引力子滿足上述兩條要求（在量子場論中，光子是傳遞電磁力的粒子，引力子是傳遞引力的粒子）。鑒於現在引力子仍然沒有被觀測到，因此我們隻剩下了唯一一種選擇：定義直線為光子走過的路徑！於是相對應的，現實世界也就隻有唯一的幾何學了。
（引力子的性質和光子不同，如果也用引力子走過的路徑定義直線，於是現實中就會有兩種不同的幾何學。如果將來觀測到引力子，那這兩種幾何學必須要統一起來。由此可見理論物理學的核心問題之一——統一引力和其他三種作用力是多麽重要！）
有意思的是，天文學的觀測表明，光經過大質量物體時會發生偏折，也就是說我們真實的宇宙中三角形的內角和並不等於180°！於是，非歐幾何不僅僅在邏輯上是存在的，它更是真實世界的幾何學！到頭來我們才發現，原來我們一直以為很顯然的初中學的歐幾裏得幾何學，充其量隻是數學家頭腦中憑空構造出來的玩具而已……
最後再補充一點，鑒於在物理上我們定義直線為光走過的路徑，而在小尺度上光子因為量子效應不再具有很好的粒子性，不再具有通常意義上的軌跡，因此，在小尺度上（小到量子效應很明顯），幾何學根本就是不存在的！這也就是為什麽量子力學中就再也沒有軌跡這種幾何學概念了。
至此，總算是把直線的定義給說清楚了。想不清猜不透又找不著，直線你真的傷不起啊。
本文基本觀點來自北京大學數學科學學院範後宏教授“古今數學思想”課。
原文地址：http://www.guokr.com/article/18169/
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