北京的治堵方案終於出台——購買機動車必須先搖號，每月隻“放號” 2 萬個。想買車的朋友們可就慌了：如果一輩子都搖不中該咋辦？市交通委副主任新聞發言人李曉鬆解釋說，“每月一次搖號機會，沒中的人可以一直在搖號池裏搖號，我相信肯定會搖中。”
細想一下就會發現，這並不能解決問題：如果所有沒中的人都會一直留在搖號池，搖號池中的號碼就會越積越多，中獎概率也越來越低。按照每月新增 5 萬人申請搖號來算 [1] ， 首月中獎概率高達 2/5 = 40%，剩下的 3 萬人繼續留在搖號池中；到了第二個月，又會新增 5 萬人，因此搖號池中的號碼會增加到 8 萬，中獎率降低到了 25% 。照這樣推下去，到了第 6 個月，中獎率會降到 10% ，一年之後中獎率會降到 5% 以下。
搖 號上牌可謂是真正的人品大比拚，如果第一個月就申請了搖號，一年內搖中的概率有八成，剩下兩成的倒黴蛋隻能麵對越來越渺茫的希望仰天長歎。自然，我們想到 了一個有趣的問題：如果第一個月就申請了搖號，那麽平均需要多少年才能中獎呢？果殼網死理性派告訴你，答案是——永遠。下麵我們就來證明，隻要每月新申請 搖號的人數達到 4 萬人，中獎需要的平均時間就已經是無窮了。
稍 作計算便可得知，如果第一個月便申請搖號，並且假設每月新增搖號人數 4 萬人，則第一個月中獎的概率是 1/2，前兩個月內中獎的概率就是 2/3，容易看出，在前 n 個月內中獎的概率就是 n/(n+1)。我們可以用數學歸納法來證明這一點。假設 n = k - 1 時命題成立，也就是說在前 k - 1 個月內中獎的概率的確是 (k - 1)/k。由於第 k 個月的中獎概率是
因此在前 k - 1 個月都沒中獎，正好在第 k 個月中獎了的概率就是
因此，前 k 個月的中獎概率就是
正好符合我們之前給出的公式。
在前麵的推導過程中，我們知道了，在前 k - 1 個月都沒中獎，正好在第 k 個月中獎的概率是
也就是說，有 1/(1×2) 的概率在第一個月中獎，有 1/(2×3) 的概率到了第二個月才中獎，有 1/(3×4) 的概率要到第三個月才中獎，等等。因此，中獎平均需要的時間也就是
而無窮個 1/2 的和顯然是無窮大，因此要想中獎，平均需要無窮多個月！
當然，在這個問題中，絕大多數人都會在一兩年內搖中，隻是極個別永遠搖不上的倒黴蛋把平均時間拖到了無窮遠。因此，大家也不必太緊張，幾乎所有人中獎所需時間都會早於這個平均值的。
細想一下就會發現，這並不能解決問題：如果所有沒中的人都會一直留在搖號池，搖號池中的號碼就會越積越多，中獎概率也越來越低。按照每月新增 5 萬人申請搖號來算 [1] ， 首月中獎概率高達 2/5 = 40%，剩下的 3 萬人繼續留在搖號池中；到了第二個月，又會新增 5 萬人，因此搖號池中的號碼會增加到 8 萬，中獎率降低到了 25% 。照這樣推下去，到了第 6 個月，中獎率會降到 10% ，一年之後中獎率會降到 5% 以下。
搖 號上牌可謂是真正的人品大比拚，如果第一個月就申請了搖號，一年內搖中的概率有八成，剩下兩成的倒黴蛋隻能麵對越來越渺茫的希望仰天長歎。自然，我們想到 了一個有趣的問題：如果第一個月就申請了搖號，那麽平均需要多少年才能中獎呢？果殼網死理性派告訴你，答案是——永遠。下麵我們就來證明，隻要每月新申請 搖號的人數達到 4 萬人，中獎需要的平均時間就已經是無窮了。
稍 作計算便可得知，如果第一個月便申請搖號，並且假設每月新增搖號人數 4 萬人，則第一個月中獎的概率是 1/2，前兩個月內中獎的概率就是 2/3，容易看出，在前 n 個月內中獎的概率就是 n/(n+1)。我們可以用數學歸納法來證明這一點。假設 n = k - 1 時命題成立，也就是說在前 k - 1 個月內中獎的概率的確是 (k - 1)/k。由於第 k 個月的中獎概率是
因此在前 k - 1 個月都沒中獎，正好在第 k 個月中獎了的概率就是
因此，前 k 個月的中獎概率就是
正好符合我們之前給出的公式。
在前麵的推導過程中，我們知道了，在前 k - 1 個月都沒中獎，正好在第 k 個月中獎的概率是
也就是說，有 1/(1×2) 的概率在第一個月中獎，有 1/(2×3) 的概率到了第二個月才中獎，有 1/(3×4) 的概率要到第三個月才中獎，等等。因此，中獎平均需要的時間也就是
而無窮個 1/2 的和顯然是無窮大，因此要想中獎，平均需要無窮多個月！
當然，在這個問題中，絕大多數人都會在一兩年內搖中，隻是極個別永遠搖不上的倒黴蛋把平均時間拖到了無窮遠。因此，大家也不必太緊張，幾乎所有人中獎所需時間都會早於這個平均值的。
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