一
我對科學感興趣，但對人文學科同樣感興趣。隻是在我上大學的時候，人們對人文科學不太重視，或者說不太尊重，因此除了文學我對人文學科沒有太多了解，就這樣我選擇了當時最受人仰視的近代物理，連一般物理都不行。兩年後，我對人文科學有了更多了解，尤其是需要數理基礎的人文科學，那就是經濟學和管理科學了。我上的那所大學沒有人文學科，剛剛成立的一個科目就是係統工程，算是一種管理科學，於是我就轉到那裏了。研究生期間我想轉到經濟，特別與北大經濟學厲教授的學生們建立了關係，想在碩士畢業之後去那裏讀博士。但是天有不測風雲，各種事發生了之後綜合考慮了一下，轉念去留學了。
到了美國，覺得是“他人”的國度，就不要再搞經濟了。想學完了到某個學校教教書就心滿意足了。但是漸漸的，得知華爾街需要我們這種人，這讓我的心又動了起來。華爾街畢竟跟經濟有關，準備一下吧。問詢了熟悉情況的同學，知道華爾街需要的主要就是懂一個特殊的數學公式的人，當然，懂這個數學公式也需要多年的數理教育，否則不可能懂，並且也能對那個公式進行計算，當然也要有計算機知識。我準備了一下，經過兩個公司的麵試，後來就去華爾街工作了。
那個公式叫做布萊克-舒爾斯公式，是給期權定價的公式。期權是建立在我們熟知的股票或債券基礎上的證券，是一種權利，比如說，一個股票的看漲期權就是在某個時間以某個預定價錢買那個股票的權利。如果在那個時間，股票的價格超過那個預定的價格，就買，這個叫行權。如果股票的價格低於預定價格，就不行權。行權得到的利潤超過買這個期權的價格就賺錢，其它情況就虧了。期權的種類很多，除了看漲，還可以看跌。這些期權的價格應該是多少，就是布萊克-舒爾斯公式能提供幫助的。發現這個公式的兩個美國人之一邁倫·舒爾斯和另一個也獨立發現它的羅伯特·C·墨頓在1997年獲得諾貝爾獎，而另一位發現者費希爾·布萊克因為已經去世所以沒有得到。1997年是我在華爾街上班的第二年，對這個消息當然也是很激動，也說明當時期權在市場上的火熱程度。
期權一直火熱到2008年的金融危機，以後也不是不重要，但它的風險很大，政府和銀行對它的監管力度越來越大，就沒有之前那麽火熱了。
但是，這是我人生中很重要的一部分呢。
想起這個事，是因為今天翻我的一堆書時，正好看見好多年未讀的布萊克傳記，於是想把這個公式的發現按照書中的描述給我的讀者寫寫，換句話說，就是布萊克、舒爾斯和墨頓是如何推導出這個公式的故事。
二
1968年夏天，羅伯特·C·默頓年僅24 歲，是麻省理工學院的研究生。和我在美國學的差不多，應用數學。和我不同的一個方麵是，他老爹是哥倫比亞大學著名社會學家羅伯特·K·默頓。這不是一個很小的不同，因為這讓他能夠和著名的經濟學家保羅·薩繆爾森（Paul Samuelson）很熟，並成為他的幫手。薩繆爾森很快就成為第一位獲得諾貝爾經濟學獎的美國人。
那天，他們在麻省理工學院薩繆爾森的辦公室裏談到了期權。談話的起因是 1967年愛德華·索普 (Edward Thorp) 和辛·卡蘇夫 (Sheen Kassouf) 的一本書，叫《打敗市場：一個科學的股票市場係統》。書裏提到一種更科學的方法，通過購買股票並同時賣空同一股票的“認股權證”來在股票市場上賺錢。認股權證和我上麵說的期權差不多，是公司發行的一種股票期權，讓持有人有在未來指定日期之前的任何時間以指定價格購買公司股票的權利。 1968年，還沒有在期權市場上的期權交易，但能交易的認股權證有一百多個。索普和卡蘇夫聲稱他們找到了一種方法能識別被高估的認股權證，並通過同時做相應股票的進行來進行套利獲利。套利這個詞非常重要，一般指的是買一個賣一個沒有太大風險就能賺錢。我這一代和之前的中國人可能熟悉一個詞叫投機倒把，差不多，比如從便宜的地方買點什麽，拿到貴的地方賣。那時候我們認為是犯罪，但其實不就是把東西從不太需要的地方拿到更被需要的地方為人民服務嗎？更正式一點，套利的作用是讓市場更有效，把偏離市場的價格拉回來，因為價格太低的價格套利者來買就會把它拉上來。太貴的價格被套利者賣出去會把它拉下來。
薩繆爾森之所以對這本書感興趣，是因為他也一直在想如何為認股權證定價的問題，還在 1965 年麻省理工學院期刊《工業管理評論》上發表了嚐試的解決方案。在那篇文章中，他和麻省理工學院數學教授亨利·麥基恩一起推出了一個定價方程，假設條件是：公司股票及其相關認股權證的預期回報都是已知的，並且在認股權證的整個生命周期中都是恒定的。他使用 a 代表股票的預期回報，ß 代表認股權證的預期回報，所以那個模型被稱為薩繆爾森的 alpha -beta 模型。根據 a 我們可以知道股票的預測價值，那麽我們可以在期權終止日期對認股權證進行估值，因為認股權證那天的價值依賴於股票的回報，然後再使用假定的認股權證回報將那個估值折現到現值。問題是我們不知道股票的預期回報，而且無論如何這些回報都不太可能隨著時間的推移保持不變。
1968年，卡蘇夫指出薩繆爾森1965 年模型的局限性。薩繆爾森覺得有必要做出回應，但似乎需要更複雜的數學方法。而默頓有很好的數學背景，正好是薩繆爾森所需，而且默頓還有豐富的交易認股權證的經驗，所以他很感興趣和薩繆爾森一起來做個研究。很快他們得到了一些結果，共同撰寫了一篇論文，叫做“效用最大化的認股權證定價的完整模型”，並準備將其發表在《工業管理評論》上。這次，他們沒有將 a 和 ß 設置為外生參數，也就是說不是假設它們已知，也不是恒定不變的。相反，這次他們提出了一個經濟學裏常用的均衡模型，這兩個量都在考慮到投資者的風險偏好，在每個時期按供求關係被決定。現在看起來，他們對這個問題的理解還不夠充分，隻是采用了數學方法建立一個模型，並沒有看到後來布萊克-舒爾茨-默頓公式所提供的對期權及金融市場的洞見。
所以，他們以為這就可以結束了。 1968 年 10 月，麻省理工學院-哈佛數學經濟學聯合研討會要開始了。這是一場盛大的活動，在哈佛大學霍利奧克中心舉行，薩繆爾森的名望使他成為會議宣傳的招牌。哈佛大名鼎鼎的人物——肯尼思·阿羅（Kenneth Arrow）、瓦西裏·萊昂蒂特（Wassily Leontiet）、茲維·格裏利切斯（Zvi Griliches）、羅伯特·多爾菲曼（Robert Dorfiman）、亨德裏克·胡撒克（Hendrik Houthakker）——還有來自其他地區大學的重要教授也會來訪。這個活動是不允許學生參加的，但是薩繆爾森安排了羅伯特·默頓參加，不僅如此，薩繆爾森本來是要做一個學術演講的，但他安排·默頓代替他發表演講。這說明他對默頓在工作中的滿意和願意栽培他的用意。不過在我看來，雖然不大可能他對這篇文章不重視，但還是沒有足夠的重視。原因是他們還沒有對期權的定價找到答案，也不知道答案的意義所在。反過來因此他們也沒有再做進一步的研究。
當演講的時刻到來時，薩繆爾森站起來講話。 “這是一篇聯合論文，我的合著者將給大家介紹它的內容。我想稱他為教授，但他不是教授。我想介紹他為博士，但他還沒有博士學位。所以我現在將他介紹為羅伯特·默頓先生。”這個事情可以總結為：默頓與保羅·薩繆爾森聯合發表了一篇關於認股權證定價看似深奧話題的論文，年輕的默頓引起了數理經濟學精英的注意。
事情就這樣結束了。對於默頓來說，權證定價的研究工作讓他得到了南加州一家銀行的谘詢工作，但僅此而已。在默頓後來為諾貝爾委員會撰寫的自傳中，他回憶起那段谘詢工作說：“具有諷刺意味的是，我在那裏工作時為他們開發了“等西格瑪風險等收益”的模型，如果我把這個模型推廣到連續交易的極限情況，就會導出布萊克-斯科爾斯定價公式。”但他還沒有想到這樣做。他與薩繆爾森一起完成了一個權證論文，他並不知道這個工作的意義，現在他要把研究精力集中在他認為更大、更重要的問題上，即不確定性下的跨期選擇，這項工作將成為他博士論文的重點。
默頓在這個工作裏開始展現他的數學能力，這也是他後來以不同方式導出布萊克-舒爾茨公式的原因。他用連續時間的隨機過程數學來解決這個問題，是第一位這樣做的經濟學家。在這樣的連續時間分析框架中，隨機因素在每個時刻都在起作用，就好像在每個無限小的時刻，都有一個決定資產回報的骰子被重新扔到桌麵上滾動，因此任何有限時間間隔內的回報，無論多短，都是很多這樣隨機變化加起來的和。
他工作很快，就在那次會議的下個月，即 1968 年 11 月，默頓在麻省理工學院的一次研討會上發表了他博士論文的第一部分，這篇論文隨後以“不確定性條件下的長期（終身）資產組合選擇：連續時間案例” 為題發表在哈佛的經濟與統計評論雜誌上。這是一個需要同行審閱的雜誌，所以在默頓的心中，這個才是重要的東西，而不是權證定價。
三
在波士頓一家管理谘詢公司工作的費舍爾·布萊克不知何故聽說了默頓的研討會並去聽了。會議結束後，他走向默頓說，“如果你有興趣的話，我有一篇關於這個主題的論文。”他指的是他那篇 1968 年 11 月 1 日修訂版第 6B 號財務報告雜誌上的《投資的時間多元化》。這是他們兩人第一次見麵，談的卻不是他們後來一起留名的工作。兩人也沒有產生很大火花。隨著時間的推移，兩個人開始在不少研究問題上互動，但當時他們的風格截然不同。
1967 年春天，布萊克曾去見薩繆爾森，為共同基金聽證會做準備，但兩人並不合拍。布萊克給薩繆爾森的印象是衣著過度，甚至拘謹，在這方麵讓薩繆爾森想起了哈佛物理學家朱利安施溫格。更糟糕的是，薩繆爾森認為布萊克的想法大都源於自由意誌主義（libertarianism）思維模式，傾向於認為政府無權幹涉私人合同。
布萊克在麻省理工學院另一位著名教授弗朗哥莫迪利亞尼那裏運氣要比在薩繆爾森這裏好，莫迪利亞尼有個著名的周二晚上金融研討會，布萊克作為嘉賓經常出席。
默頓作為受過經濟學訓練的人，很自然地會將終身投資組合選擇問題視為動態規劃問題。要理解動態規劃，你可以想象一個人展望他的未來一生，對每個階段消費多少、收入和儲蓄多少做出預期，並決定承擔多少風險。評估所有不同的可能時會考慮到他的時間偏好和對風險的態度，並做出能夠最大限度地獲得“效用”的選擇。這是經濟學家的自然方法。
然而，布萊克不是經濟學家，他與一些非學術機構的人一起研究發展了一個叫做資本資產定價模型（CAPM）的現代金融學模型，那是他精通的東西，所以他采取的策略不同，他是將這樣的問題視為分散化的問題。 “正如一個投資者在跨多種不同證券的投資上所做的，為了最大限度地減少與時間相關的風險，他應該將投資分散到不同的時間間隔，以最大限度地減少風險。”
我們知道，資本資產定價模型將每隻股票視為一個骰子，它要求在所有骰子上的分散化。布萊克的想法是將每個時間段的市場投資組合視為一個骰子。那麽，終生投資組合就是決定分配多少財富來解決個人一生中不同階段將遇到的骰子的問題。分散化原則可以立即給出答案，個人應該在每個骰子上下完全相同的金額，邏輯很簡單，但是，如果你在年輕時承擔更多風險，然後在年老時少承擔風險，就像許多人建議的那樣，那麽你增加了風險，但不能使預期回報最大化，因為你投資的時候，可能會遇到一連串糟糕的骰子。正如將財富分散在許多不同的風險股票上而不是在單一股票上一樣，將財富分散在許多不同的風險時間段上也比集中在特定時刻增加風險更好。如果每個時間段的風險都相同，那麽你可能應該在年輕時和年老時承受完全相同的風險。今天和明天“相同金額”是指明天的金額與今天投資的金額具有相同的價值。假設利率是 r，我們可以按照這個利率將今天的錢變成明天的錢，那麽今天的 1 美元與明天的 $(1 + r) 是一樣的，時間分散化原則是說，如果我們計劃今天投資 $x，我們應該計劃明天投資 $( 1+r)x。在現實世界中，由於不確定性，事情並不那麽簡單，但基本邏輯適用。
正確與否，我們這裏不說，但可以看到，布萊克習慣用直覺。
人們不知道布萊克是怎麽開始對認股權證（期權）定價問題感興趣的，也許他可能聽說過薩繆爾森-默頓的論文。不論怎樣，他對此做了研究，在 1969 年 6 月就獲得了期權定價問題的關鍵性微分方程。他得到這個方程，卻不知怎麽來解它。換個好的物理學家，就會知道這個方程是物理學家熟悉的熱交換方程的形式，並有已知的解法。如果默頓見了這個方程，也一定會知道如何解這個方程。但默頓不知道。布萊克雖然無法解這個問題，但他從方程上看出，如果他的方程正確，那麽薩繆爾森-默頓的公式就有問題。他們的公式與股票和認股權證的預期回報相關，可這兩者都沒有出現在布萊克的方程中。
我想，也許布萊克也對自己這個方程不是那麽有信心，或者，他還是不知道這個問題的重要性。否則，他一定會把它解出來，發表，並指出薩繆爾森-默頓方法的錯誤。那樣的話，如果諾貝爾獎在他生前發給他的話，就沒有其他人的事了。但是他沒有，他把這個方程放進了抽屜裏，等待著下一個時機。
另一方麵，薩繆爾森和默頓這些來自經濟學領域的人，很自然地要從個人投資者的角度思考期權定價問題，考慮期權到期時可能的價值和概率，然後把那些未來價值貼現到現在。從這個角度來看，期權的現在價格就必然取決於投資者對風險的態度。更重要的是，他們會這樣想，由於期權比股票風險更大，如果投資者同時持有期權和股票，則期權的預期回報必須高於股票的預期回報。高多少必須取決於投資者對風險的態度和期權的風險性。但是，期權的風險性隨著股票價格的變化而變化，這就讓這個問題看起來很複雜。但這也預示著在其中有什麽有趣的事。
相比之下，根據CAPM ，布萊克很自然地認為期權定價問題本質上是計算它在每一時刻市場風險敞口的問題。這樣，更自然的是方法是寫下一個微分方程來描述期權的價值如何隨時間變化。布萊克的這種 CAPM 解決方法出現在後來 1973 年發表的布萊克-舒爾茨（ Black-Scholes）文章中，標題中有“另一種推導”的字句，這個“另一種推導”實際上是他解開這個問題的鑰匙。 1969 年那個時候，布萊克不僅將 CAPM 的解法用於期權，還用於終身投資策略、貨幣和商業周期。
他和當時的人一樣，關心的是認股權證，不過，它與期權極為相似，所以這裏我們就直接談期權定價。他是這樣解決這個問題的，首先他假設期權價格 V 的公式是股票價格 S 和時間 t 的函數，即 V(S, t)。因為期權價格取決於股票價格，股票價格的小幅波動就會引起期權價格的小幅波動，也就是說V的變化ΔV= V1(S ,t)ΔS。V1(S ,t)是對第一個變量S的偏導數。在CAPM理論中，每種證券的市場風險都可以用一個所謂的貝塔值衡量，貝塔描述這個證券與有代表性的市場指數之間的統計相關關係。期權的市場風險也是通過其貝塔值衡量，但由於ΔV= V1(S ,t)ΔS，它與股票的市場風險之間就應該存在類似比例的關係。根據這樣的思路，布萊克先用貝塔值得到了期權和股票的預期回報方程。然後像做泰勒級數展開把樣把期權回報表示成一些基本的項，再進行一些簡單代數運作，就得到了關鍵的微分方程。
在這個方程裏，其中 r 是利率， 是股票收益的方差。盡管布萊克最初不知道怎麽解這個方程，但他這個方程包含了期權定價的秘密，足以讓他比薩繆爾森和默頓知道的要多。布萊克以他典型的簡潔方式評論道：“ 認股權證的價值並不取決於股票的預期回報，也不取決於任何其他資產的預期回報。我發現這很重要。” 經過很多天嚐試解這個方程不果之後，布萊克把這個問題放到了一邊。他關心的是如何應用 CAPM，而且還有很多想法，所以他就繼續研究那些想法去了。布萊克和默頓一樣，覺得認股權證的估值問題不那麽重要。他們覺得這個研究不過是象牙塔裏的一時好奇心，對一些人來說也許重要，但對更廣泛的世界來說不重要。除了那些被可能的巨大價格波動所吸引的投機者之外，誰會關心權證估值？當然不是布萊克了。於是他把方程式放在抽屜裏，開始研究其他事情。
四
1969 年秋初的一天，在布萊克的辦公室裏，他和麻省理工學院教授邁倫·斯科爾斯討論關於富國銀行的谘詢工作。談話中舒爾斯開啟了期權定價的話題。在麻省理工學院，他在指導一名碩士生，這個學生有一些期權價格的數據，他想在論文中分析這些數據。舒爾斯一直在閱讀有關這個問題的最新研究成果。他一直在思考如何構建一個投資組合，其中包括期權和它的標的股票，並達到零貝塔對衝（也就是沒有係統性風險，係統性風險指的是和市場指數一樣的風險），然後把 CAPM 應用於這個組合以解決期權定價問題。
當舒爾斯說這些話的時候，布萊克從他的檔案中抽出一張紙，上麵有他推導出的微分方程。於是他們開始共同研究這個期權定價問題。舒爾斯提出了幾種他的解決方法。布萊克的方法是尋找一個期權價格，“它應該是多少”，而舒爾斯是從投機套利的角度來看這個問題。由於期權的價值隨著標的股票的價值而變化，因此可以想象地建一個對衝組合，做多期權並做空股票。如果能正確地進行對衝，這樣的組合頭寸就沒有市場風險。舒爾斯說，這不會是完全無風險的，但他認為剩餘的風險是可以分散掉的，因此不用定價。那麽，根據 CAPM，整個頭寸的預期回報率應等於無風險利率，並且由於股票的價格已知，因此應該能夠通過這些關係找出期權的價格。問題就是如何確定合適的對衝比率。
但舒爾斯所需的對衝比率當然就是布萊克公式ΔV= V1(S ,t)ΔS 裏麵的一階導數V1(S ,t) 。一個含有多頭期權和V1(S ,t)空頭股票的頭寸應該有等於無風險利率的預期回報。當根據期權和股票的預期收益計算該對衝投資組合的預期收益，並展開ΔV 的表達式時，一些簡單的代數運作直接就可以導出布萊克那個關鍵微分方程。因此，舒爾斯的風險套利方法是理解布萊克的那個方程成立的另一種直觀方式，因此證實了布萊克的方法是走在正確的道路上的。但他們倆還是不知道怎麽解這個方程。舒爾斯似乎並不比布萊克數學更好。然而，他們一起努力，竟以一種最不可能的方式解決了這個問題。怎麽解決的呢？
舒爾斯知道凱斯·斯普倫克爾（Case Sprenkle），耶魯大學的一名研究生，提出了一個不完整的期權價格公式。斯普倫克爾用的方法是數據分析，所以不能給出意義，但似乎和市場價格相近。看著這個原始公式，布萊克和斯科爾斯開始考慮公式中必須缺少什麽，而不是必須包含什麽，從而實現了關鍵突破。
按照 CAPM 類似的分析，布萊克和斯科爾斯都覺得這個公式應該是期權市場風險的函數，期權市場風險大概是標的股票市場風險的幾倍，但是標的股票的預期回報率並沒有出現在該股票中。這就是為什麽，根據斯科爾斯的說法，“我們都對這個微分方程感到驚訝”。
在這個微分方程的推導中，股票的市場風險和期權的市場風險完全相互抵消了。既然如此，他們倆考慮將斯普倫克爾的公式應用於市場風險為零的特殊情況，這給他們提供了導出正確解的機會。
斯普倫克爾的期權價格公式要求用戶提供兩個輸入：股票的預期回報以及評估期權收益的貼現率。但布萊克和斯科爾斯從他們的微分方程中知道，股票的預期回報不能出現在正確的公式當中。他們就想，他們可以假設他們考慮的期權是基於一個零貝塔股票上的，這意味著他們可以將股票的預期利率設置為無風險利率。此外，由於零貝塔股票的期權也將具有零貝塔，因此他們可以使用相同的利率作為適當的貼現率。將這些利率代入斯普倫克爾的公式，他們得到了零貝塔股票期權價值的公式。但這個公式也滿足他們的微分方程，這意味著它也是期權價格的一般公式。他們的關鍵微分方程就這樣被解開了。
布萊克-舒爾斯看漲期權的定價公式為：
N(d) 是描述股票價格分布的累積正態密度函數，K為行權價格，T為到期日期，t 是當前日期。從這個公式很容易計算出正確的對衝比率就是：
解決了定價問題後，布萊克和斯科爾斯轉向應用問題。誰應該關心他們的公式？投機者當然會關心，這將使他們在與其他投機者的競爭中具有優勢，但經濟學家關心的是一般社會福利問題，期權定價會有幫助嗎？一個自然的應用是公司證券估值問題。早在 1958 年，莫迪利亞尼和米勒就表明，公司的總價值不受其融資方式的影響，無論是完全通過股票、完全通過債務，還是兩者的混合。他們沒有回答的問題是，股票價值和債務價值如何受到公司融資方式的影響。布萊克可能從他與一些經濟學家的談話中意識到了這個問題，而舒爾斯則從他與默頓·米勒的談話中意識到這個問題。期權公式似乎可以提供答案。
從期權定價的角度來看，公司債券持有人可以被視為公司資產的所有者，他們發行了看漲期權（股票）給股東，其行權價格就是債券的麵值。這是因為，在未來任何時候，當公司清算時，債券持有人將首先獲得債券麵值的報酬，隻要公司價值超過麵值。股票持有人將獲得剩餘的一切。因此，布萊克-斯科爾斯公式可用於對股票進行估值，而債券的價值則作為公司總價值的剩餘價值。這個計算值與債券麵值之間的差異提供了由於違約可能性而產生的折扣的一個衡量標準。這樣，布萊克-斯科爾斯對期權定價問題的解決方案似乎為公司金融中傳統的估值問題開辟了一種新的“風險債權估值”方法。
在 1970 年 7 月 27 日至 29 日由舒爾斯在麻省理工學院組織的第二屆富國銀行資本市場理論會議上，布萊克和舒爾斯介紹了他們的公式以及對證券估值的應用。他們這次講話的內容最早包含在他們的論文，“期權、認股權證和其他證券的理論估值公式”，日期為 1970 年 8 月。這篇論文最後說：“羅伯特·C·默頓（Robert C. Merton）有與我們相同的公式，在某種程度上開始於不同的假設。知道他的公式與我們的一致，這讓我們更有信心地說我們在此過程中沒有犯實質性錯誤。”
五
舒爾斯第一次見到默頓是在 1970 年 2 月或 3 月，當時默頓在麵試斯隆商學院的一個職位，隨後他們開始定期互動，但不是關於認股權證的問題。正如斯科爾斯講述的那樣，“我想我們沒有意識到我們都對這個問題感興趣“。
在1970年七月的一個會議上，默頓第一次了解到了布萊克-舒爾斯公式。實際上，就是在布萊克和舒爾斯宣讀論文的同一天的下午會議上，默頓也宣讀了自己的論文，題為“資產市場的動態一般均衡模型及其在資本結構定價中的應用”。”在那篇論文中，默頓顯然掌握了期權定價的或有債權估值應用的基本內容，但還沒有提出正確的期權公式。
事實上，由於他錯過了布萊克和斯科爾斯宣讀論文的那場會，所以會議結束後他向舒爾斯詢問此事。斯科爾斯解釋了他們公式的推導，但默頓不相信結果的一般性。對他來說，問題出在 CAPM，因為默頓覺得CAPM 是一種非常特殊的資產定價理論，僅限於具有均值方差效用的一階段靜態問題。所以，基於 CAPM 的解決結果充其量可能是大致正確的，至少與他從他自己的更一般的跨期 CAPM 中得出的結果相比是這樣。從這個角度來看，他自然對布萊克-舒爾斯提出的期權定價公式的普遍性持懷疑態度。布萊克和舒爾斯之所以取得這樣的成就，僅僅是因為他們的推導基於 CAPM。
他對布萊克最初對方程的推導持懷疑態度，因為它在使用貝塔來計算期權的預期回報時明確依賴於 CAPM。但他也對斯科爾斯偏愛的風險套利推導持懷疑態度，因為它依賴 CAPM 來論證零貝塔風險敞口應具有等於無風險利率的預期回報。所有這些依賴CAPM的假設都未必成立。默頓的跨期 CAPM 最重要的結果之一是“與經典的資本資產定價模型相反，風險資產的預期回報率，即使它們沒有係統性或市場風險，也可能與無風險利率不同。”既然布萊克-舒爾斯公式依賴於 CAPM 的簡化，這意味著可能還有更通用的公式有待找到。默頓決心找到它。
當布萊克聽說舒爾斯與默頓的談話時，他很不高興。他立即開始與斯科爾斯一起思考一種更通用的方法來解決這個問題，該方法將建立在風險對衝論點，但不依賴 CAPM。這個論點在會議後撰寫的 1970 年 8 月草案中得到了體現。但這個論點也不能讓默頓滿意。為什麽會期望對衝期權頭寸的剩餘風險是可分散的呢？
與此同時，默頓正在用自己的方式思考這個問題。對布萊克-舒爾斯風險對衝的思考，讓默頓意識到，在他的連續交易框架中，可以通過在買標的股票中並結合借款來精確複製期權的回報模式，前提是可以在期權整個生命周期中的每個時刻都無成本地調整這個頭寸。當然，在現實世界中瞬時無成本的投資組合調整是不可能的，但在連續時間數學框架中這完全可能，它具有至關重要的分析意義。由於可以通過價格已知的證券的動態交易來準確地複製期權的回報，因此可以在任何時刻準確地計算期權的價格，期權的價格就是複製投資組合的價格。
要構建複製投資組合，需要知道每個時刻的對衝比率。那麽，看漲期權隻不過是，V1股價格為 S 的股票加上借入的 V1S-V。這一推理過程立即將默頓引向關鍵的微分方程，進而引向布萊克-斯科爾斯公式。 1970 年 8 月的一個星期六，默頓給斯科爾斯打電話：“你是對的。”默頓的推理線路被稱為無套利方法，因為如果期權價格不完全等於複製投資組合的價格，那麽通過購買期權和出售複製投資組合將獲得套利利潤，反之亦然。當然，這種說法僅在模型框架內嚴格正確，在實際交易環境中隻能近似正確。因此，像布萊克和舒爾斯一樣，默頓提出了理性期權定價的規範理論，因為他的理論告訴我們期權價格應該是多少，而不是根據套利者的行為必然是什麽。然而，與布萊克和舒爾斯不同，默頓的推導根本不依賴於 CAPM 或任何其他資產定價理論。此外，默頓通過考慮可以使用動態交易策略來對衝風險的想法是後來對複雜證券進行定價的標準方式。
1971 年，默頓的同事保羅·麥卡沃伊 (Paul McAvoy) 問默頓是否願意在他正在編輯的一本新期刊上發表他對期權價格結果的推導。默頓同意了，但要求推遲出版，直到布萊克-斯科爾斯論文發表。於是，直到1973 年，默頓的論文“理性期權估值理論”才出現在《貝爾經濟與管理科學雜誌》上。
這就是吸引我到華爾街的那個公式的發現過程。不論你覺得有沒有趣，人生就是這樣，做不了太多。
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