**使用射影定理證明勾股定理的步驟：**
**射影定理（投影定理）**：在直角三角形中，直角邊的平方等於斜邊與該邊在斜邊上的投影的乘積。
即，若直角三角形的斜邊為 \( c \)，兩直角邊為 \( a \) 和 \( b \)，且它們在斜邊上的投影分別為 \( d \) 和 \( e \)，則：
\[
a^2 = c \cdot d, \quad b^2 = c \cdot e.
\]
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**證明過程：**
1. **構造直角三角形**：
設直角三角形 \( \triangle ABC \)，直角在 \( C \)，斜邊為 \( AB = c \)，直角邊為 \( AC = b \)，\( BC = a \)。
從點 \( C \) 作斜邊 \( AB \) 的高 \( CD = h \)，垂足為 \( D \)。
- 此時，\( AD \) 是 \( AC \) 在斜邊上的投影，記為 \( d \)；
- \( DB \) 是 \( BC \) 在斜邊上的投影，記為 \( e \)。
- 顯然，斜邊被分為 \( AD + DB = AB \)，即 \( d + e = c \)。
2. **應用射影定理**：
根據射影定理：
\[
AC^2 = AB \cdot AD \quad \Rightarrow \quad b^2 = c \cdot d, \tag{1}
\]
\[
BC^2 = AB \cdot DB \quad \Rightarrow \quad a^2 = c \cdot e. \tag{2}
\]
3. **兩式相加**：
將式（1）和式（2）相加：
\[
a^2 + b^2 = c \cdot e + c \cdot d = c \cdot (e + d).
\]
由於 \( e + d = c \)，代入得：
\[
a^2 + b^2 = c \cdot c = c^2.
\]
**結論**：
直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方，即：
\[
\boxed{a^2 + b^2 = c^2}
\]
**證畢**。
