勾股定理的證明可以通過幾何構造和麵積計算來完成，以下是詳細步驟：
**證明過程：**
1. **構造圖形：**
作一個邊長為 \(a + b\) 的大正方形。在其內部四個角各放置一個全等的直角三角形，每個三角形的直角邊分別為 \(a\) 和 \(b\)，斜邊為 \(c\)。四個三角形的斜邊圍成一個內部小正方形，邊長為 \(c\)。
2. **計算大正方形的麵積：**
大正方形的邊長為 \(a + b\)，麵積為：
\[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
\]
3. **計算四個直角三角形的總麵積：**
每個三角形的麵積為 \(\frac{1}{2}ab\)，四個三角形的總麵積為：
\[
4 \times \frac{1}{2}ab = 2ab
\]
4. **確定內部小正方形的麵積：**
內部正方形的邊長為 \(c\)，麵積為 \(c^2\)。根據麵積關係，大正方形的麵積等於四個三角形麵積加上內部小正方形麵積：
\[
a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2
\]
5. **推導勾股定理：**
兩邊減去 \(2ab\) 得：
\[
a^2 + b^2 = c^2
\]
即直角三角形斜邊的平方等於兩直角邊的平方和。
**結論：**
通過幾何構造和麵積計算，我們證明了勾股定理 \(a^2 + b^2 = c^2\) 成立。
