春後雨前的博客
蘭若生春夏，芊蔚何青青。秋漁蔭密樹，夜博然明燈。
凡是來過斯德哥爾摩的訪客，大概無人不知位於市中心的塞格爾廣場 (Sergels torg)。廣場於1967年建成，得名於瑞典18世紀著名雕塑家賽格爾 (Johan Tobias Sergel，1740-1814)。廣場東部是一個超橢圓形的環島，連結斯德哥爾摩市中心幾條最繁華的街道。環島中央噴泉圍繞的玻璃方尖碑 (Glasobelisken) 高37米，建於1974年，是斯德哥爾摩的地標性建築。廣場西部是一個低於地麵十米的平台，用黑白兩色三角形地磚鋪設，四麵八方通向巨大的地下商場。這裏是人們交流、聚會的中心，還是斯德哥爾摩地鐵中心站T-Centralen的主要入口處之一，塞格爾廣場的設計以及蘊藏的文化、數學、科學內涵是一個非常有趣的故事。
早在1927年，斯德哥爾摩市政部門就決定對市區中心的老舊房屋和狹窄街道進行改造重建，然而直到二戰後，這項龐大而昂貴的計劃才付諸實施。他們在南北和東西向規劃了兩條新的交通幹道，相交於市中心一塊巨大的矩形空地。在確定空地上環島的形狀時，瑞典建築師們卻遇到了意想不到的難題。環島的功能需求對其造型產生了交通和美學的要求：必須足夠光滑以適合機動車行駛；能夠適當縮放，確保可以產生類似同心的造型，還要求與矩形地塊完美融合。1959年，斯德哥爾摩城市規劃部門發起對賽格爾廣場環島設計的公開招標，丹麥數學家、發明家、作家和藝術家皮亞特·海恩 (Piet Hein，1905-1996) 以超橢圓的方案競標成功。
海恩是一位生活在現代社會的文藝複興式全才，在斯堪的納維亞半島廣為人知。他曾先後在哥本哈根大學及丹麥科技大學學習哲學和理論物理學，又前往斯德哥爾摩的私人藝術學校和皇家美術學院深造。海恩與20世紀的幾位世界上最傑出的思想家都有過近距離接觸：他跟隨波爾工作多年，經常"在頭腦中與波耳打乒乓球"；他曾前往普林斯頓高研院朝聖，與愛因斯坦一起喝茶並請教理論物理問題，愛因斯坦對他說過："想象力比知識更重要"；美國著名應用數學家、控製論先驅維納 (Norbert Wiener) 是他的好友，在海恩家中居住時維納完成了自己最後一本著作《上帝與魔像》(God and Golem)，在某種宗教背景下介紹了他關於機器學習以及機器在社會中的位置的觀點，並將該書題贈海恩。
1940年德軍占領丹麥後，海恩參加了丹麥抵抗運動，而他最早也是最熟悉的武器就是手中的筆。海恩以Kumbel (意為"墓碑") 為筆名，創造了一種被稱為Grook的新型格言詩體。這些詩歌語言簡潔精確，節奏韻律複雜，充滿哲理和悖論，具有諷刺意味。海恩將反抗納粹的密碼深藏在詩歌的字裏行間，在瞞過德國占領者的審查之後傳遍全丹麥。1940-1963年間，海恩用丹麥文和英文撰寫了上萬首格言詩，出版了20本詩集，還被翻譯成多種不同語言。這些格言詩可以看作一種精神上的即興表演，用以驅逐不平靜的時代帶給人們的虛無或焦慮感，深受讀者歡迎。一個重要特征是詩歌總是伴隨著插畫，作為對文字的補充。左圖為1983年海恩攝於哥本哈根的安徒生雕像前，右圖為一本詩集的封麵。
超橢圓 (superellipse) 又稱拉梅曲線 (Lamé curve)，是介於橢圓和矩形之間的一種圖形。它的直角坐標表達式是由法國數學家加布裏埃爾·拉梅 (Gabriel Lamé，1795-1870) 將橢圓方程式拓展而得，即
方程式中 n、a、b 均為正實數，a、b表示曲線兩個半軸的長度。當n=2 時為橢圓，n < 2的超橢圓稱為次橢圓 (hypoellipse)，n > 2 的超橢圓稱為過橢圓 (hyperellipse)。當a=b=1 時，超橢圓是以 n 為指數的勒貝格積分空間的單位圓。
當 0< n < 1時，曲線類似於曲邊四角星，四周曲線向內凹；當 n 趨於0 時，曲線無限接近於兩條坐標軸；當 n=1 時，曲線為菱形；當 1< n < 2時，曲線被海恩稱為半橢圓，四周曲線向外凸，越接近頂點曲率越大並趨於無窮。過橢圓看上去就像四角為圓角的矩形，n=4 且 a=b 的過橢圓也稱為"方圓形" (Squircle)。當 n 趨於無窮時，曲線無限接近於矩形。1952年，德國字體設計師Hermann Zapf在設計Melior字體時，曾使用超橢圓作為字母 o 的外形。在賽格爾廣場的設計中，海恩充分發揮了自己數學和藝術的綜合想象力、幽默感以及創造性的思維技巧。他的方案是一個 n=2.5、a/b = 6/5 的超橢圓，這條簡單又賞心悅目的閉曲線融合了橢圓和矩形之美，給出了在交通技術和美學上令人滿意的解決方案。
文明社會無時不處在直角和圓形這兩種古老形狀的微妙衝突之中，或者更廣義的矩形和橢圓的衝突和互補之中。海恩是這樣描述的："整個人類文明進程中有兩種不同取向：一種是直線及矩形模式、另一種則趨向圓弧線。二種取向都有其力學及心理上的原因，前者節省空間、後者便於移動。但我們常常會陷入兩難的困境，此時往往是介於二者之間的東西更合適。隨意繪製的作品——例如從前在斯德哥爾摩出現過的環島——無法達到這一要求，它並不像圓形或方形那樣確定，在美感上有所不足。超橢圓解決了這一問題，它非圓非方，介於圓形和矩形之間，是一個具有固定形狀和明確定義的整體。" 海恩還寫道："超橢圓具有與圓和橢圓相同的令人信服的統一性，既不那麽明顯，也沒有那麽平庸。超橢圓不僅是一種新時尚，它還擺脫了一次和二次簡單曲線——直線和圓錐曲線的束縛。"
二戰結束後的歐洲是一個百廢待興、欣欣向榮的時代，海恩的超橢圓設計應運而生，成為斯堪的納維亞現代建築的標誌，而賽格爾廣場則成為世上最大的超橢圓，為斯德哥爾摩帶來一種不同尋常的數學特色。塞格爾廣場的規劃、建造和命名是一個漫長的過程，用了32年時間規劃、7年時間建造，1961年根據20世紀瑞典最重要的民謠歌手Evert Taube的提議命名。廣場中心的玻璃方尖碑是瑞典藝術家Edvin Öhrström的作品。這座重達130噸的鋼製骨架方尖碑由六萬多塊玻璃棱鏡組成，在內部不同顏色燈光的照射下挺拔優雅。2020年廣場西部還增加了一個色彩亮麗的臨時戶外電影院，是由藝術家Fredrik Paulsen設計的。他將屋頂作為畫布，將影院分成五個小隔間。在十月初諾貝爾獎官宣期間，每天24小時循環播放由受到前和平獎得主啟發拍攝的五部短記錄片。
超橢圓是海恩設計中不斷出現的母題，他貌似偏愛 n=2.5 的超橢圓。海恩與瑞典著名建築師和家具設計師布魯諾·馬鬆 (Bruno Mathsson) 聯手，將超橢圓的理念用於家具、餐具、杯墊、燈具、銀器、紡織品圖案等。左上圖是1964年二人合作設計的"超橢圓桌"，用鍍鉻鋼杆製成的自夾桌腿是他們的另一項發明，兼具輕巧和穩定的特征，其科幻與理性的氣質與超橢圓的敦厚和柔軟相映成趣。馬鬆認為桌麵也有類似於塞格爾廣場的"交通問題"，超橢圓等設計已經成為他 "夢寐以求的最激動人心的冒險之一"。1968年在關於結束越戰的《巴黎協定》談判中，外交官們因不滿意談判桌的外形而爭吵不休，美國應用數學家Michel Balinski等人在一封寄給《紐約時報》的信件中建議在談判中使用黃金比率的超橢圓桌。
海恩還將超橢圓以長軸為旋轉軸製成 "超級蛋" (super-egg)，並設計了諸多超級蛋造型的餐具和燈具。這種旋轉超橢球具有怪異的穩定性，可以獨自穩固地站立在平麵上。多年來坊間流傳著一個"哥倫布立雞蛋"的故事，而海恩卻在其發現美洲新大陸400多年之後，用數學方法製作出了一個能立起來的超級蛋。右上圖是1995年在丹麥小城Farum設立的超級蛋雕塑，位於海恩親自設計的迷宮花園中央。1988年海恩又設計了一個方中套圓的造型，左下圖這個重達5噸的雕塑The Cube直到他去世12年後的2008年才落成。右下圖是21世紀歐洲新興的跨國英文數字新聞出版商The Local的商標，其橙色超橢圓的參數與塞格爾廣場的完全相同，因此可視為一個小號的塞格爾廣場。近年來，iOS移動操作係統還將超橢圓曲線用於應用程序圖標，代替了版本6及之前使用的圓角樣式。
海恩的另一大成就是發明設計了多種數學智力遊戲，可謂"遊戲人生"。1933年海恩聽了海森堡一次著名的量子力學演講，針對演講中提到的如何把空間切割成立方體的問題，他發明了智力遊戲索馬立方 (Soma cube)，這是由一個三立方體和六個四立方體組成的3x3x3立方體，被稱為"立體七巧板"。2020年四月因新冠肺炎病逝的英國數學家約翰·康威 (John Conway) 和計算機科學家邁克爾·蓋伊 (Michael Guy) 於1962年證明了，索馬立方共有240個不同的解。1945年海恩設計了數學對策遊戲尼姆比 (Nimbi)，其前身尼姆 (Nim) 是一種比賽取硬幣的古老遊戲，有人認為起源於古代中國。1962-1963年間，海恩編製了尼姆比的電腦程序，從而實現了人機對弈。
海恩最著名的發明是1942年的"六貫棋" (Hex)，即在六邊形格的棋盤上的二人對弈，通常使用10x10或11x11的菱形棋盤。1948年約翰·納什 (John Nash) 在毫不知情的情況下獨立發明了 nxn 棋盤的六貫棋並製作了一個 n=14 的棋盤，被稱為Nash，納什還證明了六貫棋不可能有和局：讓對方無法取勝的充分必要條件是己方形成了一條連接對邊的通路。六貫棋是具有完全信息的二人零和博弈，內涵深邃的數學構思。上方二圖是索馬立方，左下圖是六貫棋；右下圖是海恩手繪的一張尼姆比棋盤草圖，每粒棋子都位於三條直線上。遊戲規則是：兩位遊戲者輪流取走一粒或在同一直線上的多粒相鄰棋子，取走最後一粒棋子的就是輸家。
藝術的主觀性與科學的客觀性緊密結合，將海恩塑造成為20世紀最具原創性的丹麥人，也使得他的一生多姿多彩。海恩似乎能輕易跨越藝術與科學這兩個看似對立的世界，在他的心中二者實際上是一體的，超橢圓則是他將藝術和科學完美結合的範例。海恩在哲學著作中斷言：巨大的文化鴻溝不是在有與無 (the haves and the have-nots)，而是在知與不知 (the knows and the know-nots) 之間。他還說："藝術究竟是什麽？藝術是創造，它發生在各個領域之中。愛因斯坦的相對論，現在看來無疑就是藝術！相比於他在小提琴上的建樹，愛因斯坦在物理上的藝術造詣更高。" 海恩的發明設計充滿詩意的優美，他撰寫的格言詩則具有理性的哲思，錄兩首他的格言詩結束本文。
生命的悖論
有點超出了認知範圍
我有時相信自己明白
生命是兩個鎖著的盒子，每個盒子
裝著對方的鑰匙。
時間之外
從前我的老鍾常常告知時間
晝夜細分；
而它現在失去了指針和鈴聲
隻能訴說永恒。
【注】本文被《和樂數學》公眾號推送
祝中國春節愉快