老安遊記《瀏覽美國地理風光》第十六篇：後記

老安遊記《瀏覽美國地理風光》第十六篇：後記

自從關於聖路易斯拱門的遊記（第十三篇：看奇跡）發布以來，收到部分讀者提出的要求，希望了解懸鏈線方程的推導過程。因為涉及到數學中的微積分運算和物理學中的力學分析，對學文科的朋友，可能帶來不便，所以沒有在正文中詳細敘述。但是考慮到學理工科的讀者，就把懸鏈線方程的推導過程編在本後記中，希望能夠兩邊兼顧，對有興趣的讀者有所幫助。

1. 懸鏈線方程的精確解

懸鏈線（Catenary）是一種常用曲線，物理上用於描繪懸在水平兩點間的，在均勻重力作用下的軟繩或鎖鏈呈現的形狀，因此而得懸鏈線之名，下圖是路邊常見的懸鏈線。

圖1. 路邊常見的懸鏈線

現有一根自然下垂的柔軟細繩，取垂直的 y 軸為對稱軸，x 軸為水平軸，如圖 2 所示。

圖2. 置於坐標軸中的懸鏈線

（i）弧長分析

設曲線 y = f(x) 在（x，y）點的微元弧長為ds，其水平與垂直分量分別為 dx 和 dy，其傾角為 ，如下麵圖 3 所示。

圖3. 細繩在（x，y）點的弧長分析

曲線的斜率為：

              （1）

微元弧長為：

 

積分後，可求得弧長：

 （2）

（ii）受力分析

從水平和垂直的兩個方向進行受力分析：垂直方向由於重力的作用，繩中張力 F 的垂直分力並不是處處相等，而是從最低處起(=0)，逐漸增加。繩中張力 F 的水平方向無重力作用，因此張力的水平分力處處相等。

取細繩坐標為（x，y）的點進行受力分析：張力 F 的走勢與此處的切線相同，張力的垂直分力為此處細繩的重力 mg，而細繩的質量 m 等於線密度 ρ 乘以繩長 S，mg=ρg S,

再設張力的水平分力為 T，則此細繩在（x，y）點上的受力情況如下麵的圖 4 所示。

圖4. 細繩在（x，y）點的受力分析

從圖 4 中很容易看出，曲線 y = f(x)  在（x，y）點的斜率為：

             （3）

（iii）微積分運算

把方程（2）中的 S 代入方程（3），得： 

 （4）

兩邊求導，得：

            （5）

將方程（5）中的 f(x) 導函數，轉移至等號同側，得：

                             （6）

兩邊積分，得：

      （7）

亦即

 (8)

查閱導數與積分表，發現：

         (9)

以  f'(x) 代替 x，方程（9）的成為：

     (10)

寫成微分形式

  (11)

把方程（11）的兩邊，對 f'(x) 積分，得：

   

對方程右端，考慮到方程（8），得：

        (12)

完成右端積分，得：

                 （13)

這是反雙曲正弦函數，反過來，雙曲正弦函數為：

                  (14)

對方程（14）積分得：

    (15)

為了求出方程右端的積分，令 ，即 ，則,

方程（15）的右端變成：

 

再查閱導數與積分表，發現  [coshx]'=sinhx，把上式對 z 積分，得：

 

再把 z 還原成 x，得：

因此方程（15）變成：

    (16)

（iv）懸鏈線方程的精確解

由於我們選取對稱軸為y 軸，在 x=0 處切線呈水平，即 f'(0)=0，從方程（14）中得到sinhC1=0，進而C1=0。對於C2，沒有任何限製條件，可取任意值，去掉下標2後，得：

          (17)

令常數 a = T /，方程（17）變成：

                   (18)

這就是懸鏈線方程最一般形式的表達式，也就是在街頭常見的懸鏈線照片中，嵌入圖中的那個懸鏈線方程（見圖1）。令人驚喜的是，德國數學家萊布尼茨（Leibnitz）和荷蘭天文學家惠更斯，於1691年分別獨立地給出了該問題相同形式的解。

2. 聖路易斯拱門懸鏈線方程的近似解

（i）精確解的困難

在精確的懸鏈線方程表達式中，有兩個常數需要確定，常數 c 很容易定，它決定曲線在 y 軸上的高低，不失一般性，可取 c = 0。但是常數 a 卻不容易定，它決定曲線在 x 軸上的張開度和曲線頂點在 y 軸上的縱坐標。

不幸的是，對於給定點的坐標（x，y），要想求出 a，必須要解一個關於 a 的，非線性的（Non-Linear） 隱函數（Implicit Function）形式的，超越方程（Transcendental Equation）。沒辦法，隻能用數值方法去逐漸逼近。

因此，所謂的“精確解”，也隻是個稱謂罷了，不同的位數達到不同的精度，但都是近似值。其實，雙曲餘弦函數的值，除了少數幾個特殊點之外，都是無理數，都是近似值，就看你想要的精度是到多少位了。

再進一步看，甚至有理數中的分數，1/3=0.333 … …, 1/7=1.412857142857 … …，也都是“無限”循環小數，並不是“精確值”，不同的精度要求，選取不同的位數。

對於一般的懸鏈線方程（18），有人假設 c = 0，對於每一個 a 值，算出一條曲線，對於不同的 a 值，算出一族曲線，如下圖所示，這項研究形象地顯示了常數 a 的影響。

圖5. 不同 a 值算出的懸鏈線曲線族

數值逼近的方法，隻有在計算機發展到一定程度時，才能付諸實踐，而計算機真正開發出來，是上個世紀八九年代的事情。聖路易斯拱門的建造是上個世紀六十年代，用數值逼近的方法去解拱門懸鏈線方程的精確解，非線性的隱函數超越方程，似乎不太可能。

科學技術的發展，都帶有時代性，聖路易斯拱門在建造時，連現代化的直立加橫臂的起重機（Crane）都還沒有，隻能利用已經建造好的“腳”，當作起重機的立柱，把預製好的三角單元，一塊一塊地疊加上去，見下麵的圖 6 和圖 7。

圖6. 聖路易斯拱門的單元結構圖

圖7. 聖路易斯拱門的中期施工圖

所以說，在聖路易斯拱門的建造過程中，使用某種近似方法，是不得不做的事情。我尚未看到當初建設者所寫的計算公式報告，而是根據目前所知的條件，推導出聖路易斯拱門懸鏈線方程的近似解。

（ii）尋找懸鏈線的近似解

如果能夠找到一個顯式的懸鏈線方程的近似解，在工程應用上就會方便得多。最簡單的假設就是：取雙曲餘弦符號內的 a = 1，因而前麵的懸鏈線方程（18），就可以簡化為如下的方程（1），（注：方程的編號在這節重新開始）。

y = c + a cosh x       (1)

對於聖路易斯拱門，高度等於兩腳之間的距離，所以對於拱門的頂點，x =0， y = 1, 則方程（1）變成：

c + a = 1                   (2)

對於拱門的右腳，x = 1/2，y = 0, 則方程（1）變成：

c + a cosh 1/2 = 0     (3)

方程（2）減去（3），消去 c ，解出 a：

a = 1 / [1-cosh 1/2]   (4)

把（4）中的 a  值代入（3），解出 c：

c = - a cosh 1/2         (5)

再把（4）中的 a 和（5）中的 c 代入方程（1），得：

y = [cosh x - cosh 1/2] / [1 - cosh 1/2]

於是，y 作為 x 的顯函數，得：

y = 1 - [1 - cosh x] / [1 - cosh 1/2]         （6）

根據雙曲餘弦函數的定義，

                                        (7)

最後得到聖路易斯拱門懸鏈線的近似解：

  (8)

這是一個 y 關於 x 的顯式方程，對於任意的 x 值，馬上可以求出對應的 y 值。

（iii）懸鏈線近似解的驗證

為了驗證這個公式，我們做出如下計算，在x = -1/2 和1/2 之間取21個點，由公式（8）所算出的曲線圖如下（圖8），毫無疑問，這是一條懸鏈線。

圖8. 取21個點所計算出來的聖路易斯拱門形狀

如果取更多的點，計算中取更多的位數，則曲線就會更加光滑，數值也就會更加精確，完全可以代替令人大傷腦筋的，非線性的，隱函數形式的，超越方程了。

3. 拋物線和懸鏈線的對比

我最近在網上查閱了一些有關聖路易斯拱門的文章，有人說，拱門的形狀是“拋物線”， 很可惜，這是個錯誤的認識。為此，我做了一個拋物線的計算，拋物線的方程選作如下的方程（9），以滿足和懸鏈線方程（8）相同的頂點和雙腳條件。

 y = 1 – 4 x²        （9）

如果 x 值都取有理數， y 值必定也都是有理數，所以拋物線的解是真正的“精確解”。如果把拋物線的結果與懸鏈線的結果重疊在一起，可以看出，相比於懸鏈線，拋物線比較“瘦”，如下麵的圖 9 所示。這裏的黑色實線是懸鏈線，紅色虛線是拋物線。

圖9. 拋物線與懸鏈線的對比

下麵的表1列出了懸鏈線和拋物線在 21 個點上的坐標值。

表1. 拋物線與懸鏈線的對比

從上麵表 1 中可以看出：拋物線總是低於懸鏈線，兩者之間的差別，在於小數點的第3位以後。懸鏈線是無理數，拋物線是有理數。總而言之，拱門的形狀，“看似好像拋物線”， “實則倒置懸鏈線”。

4. 編者的暫時告別

新年伊始，迄今為止，本人發布了三套係列主題遊記。從第二個千禧年的第二個十年，第一年第一個月的第一天 (2021.1.1)，開始發布第一套：《走遍美國五十州》。五個月後 （2021.5.1），又開始發布第二套：《追尋美國總統的足跡》。再過三個月後（2021.8.1），開始發布第三套：《瀏覽美國地理風光》，現在已經全部與讀者見麵。

在這段時間裏，得到了許多網友的響應，有表揚也有批評，有補充也有糾正，筆者在此表示衷心的感謝。在讀者的殷切希望和熱情鼓勵下，逼得我不顧“老賣年糕”（侯寶林語：意為老邁年高），閱讀書籍，查找資料，勤動腦筋，客觀上推遲了“老年癡呆症”的光顧，看來是件好事。

另一方麵，這項工作對我來說，也是一種精力和體力的考驗：貪黑熬夜成了家常便飯，深夜夢裏突發奇想，一躍而起拿筆記下，否則第二天必忘無疑，也是常有的事。因此，下一段時間，打算調整一下心情，歇歇腳，喘口氣，然後再找點什麽由頭，繼續當我的“坐家”。

也可能換個方式打發時間，“萬卷書”是讀完了，是不是該走“萬裏路”了？一年多的疫情，把人都憋死了，現在情況已經有所好轉，打算邁開雙腳，拄起單拐，找個目標，走一走，看一看，去哪裏走，去哪裏看，再考慮考慮吧。

不論是家裏坐，還是出門走，總得考慮寫什麽主題呀？前麵的三套遊記，都是寫美國境內的，為何不考慮一下美國之外呢？再想想吧，也歡迎各位，幫忙出個主意，多謝了，再見。