（轉帖）音高和頻率（續二）

（轉帖）音高和頻率（續二）

 

為什麽小整數頻率比的兩個音比較和諧？這個問題，要從樂音的諧波說起。

一般樂器發出的音都不是純頻率的音，而是由好多諧波（harmonic）組成的；其中頻率最低的那個通常最強，叫做基音。比如小提琴發出音高 A4 的音，指的就是其基音是 440 Hz，而聲波頻譜裏麵同時有二次諧波 880 Hz、三次諧波 1320 Hz、四次諧波……等等。不同樂器發出的聲音，其諧波強度分布往往完全不同，因此音色（timbre）也就不同（比如高諧波強的話聽起來就亮一些）。樂音含有諧波這個特性和小整數比的和音規則有什麽關係？以完全五度舉例，A4 和 E5 的兩個樂音，頻率比為 2:3，而 A4 的三次諧波和 E5 的二次諧波剛好重合，都是 1320 Hz。相隔完全五度的兩個樂音同時聽起來比較好聽，是不是因為它們大部分的諧波都重合了？

於是就有科學家做實驗了。人們發現，把純頻率的音（不含諧波）A4 和 E5 同時發出來聽並不怎麽好聽。還有人用電腦製作了扭曲的樂音，把 N 次諧波搞成 N^{log(2.1)/log(2)} 倍（諧波從 2 倍拉寬到 2.1 倍，自然界是沒有這種聲音的），然後發現諧波重合的扭曲樂音同時聽起來還比較和諧，而它們的基音卻不是小整數比了。還有一些別的實驗，但是結論都是差不多的，就是兩個樂音和諧主要是因為他們的諧波重合，轉換為數學語言，就是基音必須是小整數比。

為啥諧波重合就好聽呢？這是因為，如果諧波不重合但是距離很近，它們就會幹涉形成低頻率的拍（beat），這種低頻拍音嗡嗡作響，非常難聽。兩個頻率距離多近才會形成不好聽的拍？人們一般把這個臨界距離叫做臨界頻寬（critical bandwidth），處於臨界頻寬之內的兩個頻率就會互相幹涉。這個臨界頻寬本身是頻率的函數，頻率越高，臨界頻寬帶也就越寬，如下圖所示：

 

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