概率論（Probability Theory）：1. 基本概念

概率論（Probability Theory）：1. 基本概念

 概率論是從觀察隨機現象中抽象出來的數學分支。所謂隨機現象，就是在給定條件下，可能出現不同結果的現象。生活中這些現象多了去了。拋個硬幣、擲個骰子，轉個陀螺，最終落地、停下的結果都不確定，也就是隨機。對隨機現象的觀察，也稱為隨機試驗。每觀察一次，就是做一次隨機試驗。每次隨機試驗，都產生一個結果。為數學上的方便，我們把有確定結果的試驗也歸為隨機試驗，稱為平凡的（trivial）隨機試驗。

 概率論中第一個概念叫作樣本空間（西文sample space）。對應一個隨機試驗，樣本空間是所有可能結果的集合。集合是數學中的一個基本概念，但對我們普通人來說，集合就是一堆東西的意思。在這篇簡介中我將用大寫S表示樣本空間。在拋硬幣的隨機試驗中，樣本空間就是正、反兩個結果，用集合的符號就是S = {正, 反}。這一前一後兩個花括號就像個籃子，表示X是裝著東西的籃子而不是籃子裏的東西。如果我們用個老千幣，兩麵都是正，那就是S= {正}。單單一個“正”與裝了“正”的籃子“{正}”是不同的概念。當然隨機試驗不能沒結果（拋硬幣老不掉下來的試驗堅決不做），所以樣本空間這個籃子必須至少裝一個結果。當然隻有一個結果的樣本空間一定是出於有確定結果的平凡隨機試驗。

 概率論中第二個概念叫作隨機事件（西文 random event）或簡稱為事件。事件就是一部分可能結果的集合。用拋硬幣為例，{正}，{反}，{正, 反} 都是事件。如果試驗結果掉在某個事件（集合）裏，我們就說這個事件發生了。不管你怎麽拋硬幣，事件S={正, 反}總是發生。總是發生的事件稱為必然事件（sure event）。為了數學上的方便，必然事件也被認為是一個隨機事件。為了數學上的方便，空集{}（沒裝任何東西的籃子）也被認為是一個隨機事件，稱為不可能事件（impossible event）。概率論中不可能事件或空集{} 一般用符號Ø表示。

 有些隨機試驗中樣本空間比較大，事件太多我們顧不過來，這時我們隻關心部分事件。概率論中有個概念叫事件域（西文event field），也就是在某種情況下我們所關心的事件的全體。我用大寫字母F表示事件域（關心事件的全體）。在拋硬幣這個試驗中，S = {正, 反}不大，我們完全可以關心所有事件：F={Ø, {正}, {反}, {正, 反}}，連不可能事件Ø在內共4個事件。大家看到F={Ø, {正}, {反}, {正, 反}}有兩層花括號，大家可以想象外層是個大筐（事件域），大筐裏裝了內層的幾個籃子（事件），每個籃子裏又裝了些可能的試驗結果。關於集合的學問要求不同層次的東西用筐啊、籃子的分層隔開，不然筐裏又放蘿卜又放裝蘿卜的籃子就亂套了。

 事件域是我們關心的事件的全體。對事件域我們有幾個要求：如果我們關心某事件A，那我們也要關心事件A發生與否，也就是說不光關心事件A發生，也關心A的反麵：事件A不發生。A的反麵（也稱為A的逆事件）用Ā表示，Ā是所有不在A中的試驗結果的集合。在投硬幣試驗中，事件{正}的反麵當然就是{反}了。注意{反}的反麵又是{正}了， Ā的反麵（A的反麵的反麵）是A。還有Ø的反麵是S，S的反麵是Ø（必然與不可能正相反）。我們把概率論對事件域F（關心的事件）的要求具體寫出來：

1.  必然事件S一定要關心；

2.  如果我們關心事件A，那我們也要關心它的反麵Ā；

3.  如果我們關心事件A₁，A₂，A₃，...，那我們也要關心其中至少之一發生的事件。

 從1、2兩個要求得知必然事件S的反麵不可能事件Ø也在關心範圍內。第3個要求用集合學問的話說就是：如果我們關心事件A₁，A₂，A₃，...，那我們也要關心他們的“並”事件，A₁UA₂UA₃U…。

 概率論中第三個概念就是概率（西文probability）自身了。直觀地說：概率是隨機事件的一個數值屬性（attribute），概率大就是可能性大（同義反複，嗬嗬）。就像物理中物質有質量、你我有鼻子眼睛一樣，隨機事件有概率，就這麽簡單。當然概率論，作為數學的一個分支，要文縐縐些，要說概率P是個函數，定義域是事件域F，值域是實數區間[0, 1]。大家還記得函數是什麽東西吧？函數P就是一把高精度的槍，函數的定義域F就是一盒各式各樣的子彈，而值域[0, 1] 就是槍靶。從定義域F任拿一顆子彈A，放到槍P裏，一扣扳機，就射到值域 [0, 1] 的某一點P(A)了。當然不是隨便什麽F射到[0, 1]的槍都能叫做概率的，不然就沒數學家什麽事兒了。把概率論對概率的要求具體寫出來：

1.  P(Ø) = 0 （不可能事件的概率為0）；
2.  P(S) = 1 （必然事件的概率為1或100%）；
3. 如事件A₁，A₂，A₃，...，不會有兩個或以上同時發生（稱為互斥），則 P(A₁，A₂，A₃，...其中至少之一發生) =  P(A₁) + P(A₂) + P(A₃) + …（可加性）。

我第一次聽老師說概率三要點就點頭稱是，真是太直觀了。當然太直觀的東西在數學中就不能證明了，隻能稱為“公理”。大家如果還記得中學的平麵幾何，那個“平行公理”就是個“公理”。後來才聽說“平行公理”隻能推出歐（歐幾裏德）氏幾何，其他數林高手不服，又搞了些“平行婆理”，推出了非歐幾何，連愛因斯坦都用。按下“平行公理、婆理”不說，還是回到咱們的概率公理吧。

因為事件A與它的反麵Ā不會同時發生，而且“A與它的反麵Ā至少有一個發生”是必然事件S，所以根據概率公理2，3：
     1 = P(S) = P(A與Ā至少有一個發生) = P(A) + P(Ā)
移項得
     P(Ā) = 1 – P(A)
這個還是很直觀，如果某事件發生的概率是30%，則它不發生的概率是100% - 30% = 70%. 

概率論把樣本空間S、事件域F、概率P放在一起，組成一個三位一體的東西 (S, F, P), 稱為概率空間。這麽簡簡單單的概率空間定義引發了許多深奧理論。當然不少與概率論有關的有趣結果在這裏說的“公理化”的概率論創建以前就有了。