也談'意想不到的老虎'

       榕城老應

“意想不到的老虎”故事是一個邏輯悖論。我在中學的時候讀過，一直不得要領，直到現在才嚼出點味道來。

麥克向公主的父親求婚。國王把他帶到五個房間前說：“有一隻老虎藏在這裏，但是在你意想不到的那一個房間。你逐個把門打開。如果你足夠聰明，在打開那扇門之前猜到。我就把女兒嫁給你。”
 
麥克想：“如果老虎在第五間，我打開前麵四間的門都一定是空的，那我在打開這房間之前就能猜到它在這裏。這不是意想不到的，因為它與國王斷言相矛盾，所以老虎不可能在這裏。（第一步）

把第五間排除了，老虎隻能在剩下四個房間裏。同樣推理，也不可能在這最後的第四間。（第二步）

如法論證，老虎也不可能在第三，二間裏。（第三，四步）

如果老虎在第一間。因為老虎是在這五個房間裏，已經排除了後麵所有的房間後，就不是意想不到的。所以也被否定掉。（第五步）”
 
麥克信心滿滿地相信：如果老虎是意想不到的，就不會在這些房間裏。當他依次打開第二個門時，意想不到地跳出一隻老虎來。

國王說的話得到了驗證，都是真的。那麽麥克推理的錯誤在哪裏呢？

這個悖論還有不同的形式，諸如 Surprise Examination， Unexpected Hanging Paradox ，預測悖論等等。關於這些悖論，中文網上許多回答大同小異，大約都是從同一個地方抄來的。認為錯這第一步，第二步和最後一步，各有他們的理由。但都沒說到點子上。大家可以看“維基百科：老虎悖論” http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%80%81%E8%99%8E%E6%82%96%E8%AE%BA

英文的說，學術界對它倍有興趣，卻沒有達成一致的意見。這看似簡單悖論背後的複雜性甚至可以引申出哲學上重大的問題。見“Wikipedia：Unexpected hanging paradox” http://en.wikipedia.org/wiki/Unexpected_hanging_paradox

Wikipedia的解釋太繞，幾派看法相互攻捍，看了半天不容易得出要領，這也許是導致中文版走偏的原因。

在我看來，這錯誤的原因在邏輯上和認知上都有。給大家詳細解釋一下。

在邏輯上，國王有兩個命題：
1. 老虎在五個房間之中。
2. 老虎所在的房間你推測不出來。
 
實際上這兩個命題在推理下不相容，它們構成一個自相矛盾的判斷。你在假設下推測出老虎在任何房間都會被第二個命題否定。麥克利用它們得出老虎不在這五個房間的任何一間中。但這又與第一個命題相矛盾了。這邏輯推理的過程沒有錯，錯就在給定的前提是互相矛盾的，所以要是走了一圈就會得出矛盾的結果來。從互不相容的幾個命題出發，你可以推出任何結論。也就是說你可以用其中的命題經過一定的推理路徑得出某個結論，也可以用其中的命題經過不同的推理路徑得出與它相反的結論。

麥克推出老虎不在這五個房間裏，我們來看看這也可以推出老虎在第五個房間。

還用反證法。假設老虎不在第五間，麥克的第一步推理的結果換成了假設。按照麥克的第二，三，四，五步推理。仍然得出老虎不在這些房間裏，但這結論與命題1矛盾，所以最前麵的假設不對。因此老虎是在第五間。

我們也可以推出老虎在第二個房間。

按麥克原來的第一，二，三步套路推出老虎不在第五，四，三間。現在假設不在第二間，用假設代替第四步的結果，加上第五步結果，與命題1矛盾。依反證法，假設的反麵是對的，因此老虎必須在第二間。

反正沿著麥克推理過程兜了一圈會導致矛盾。你在這圈子任何一個地方斷開，把結論換成了假設，一直推到矛盾時，按反證法說假設不對了，那就得出與原來相反的結論。

網上的解釋是用邏輯得出與麥克的推理其中一步相反的結論，然後說這一步是錯了。這其實仍然沒有跳出這個怪圈，依然在悖論的邏輯路子裏兜圈子。

有人問，既然這兩個命題構成一個自相矛盾的判斷，為什麽國王到最後還是對的？

網上也有各種解釋。其實這隻是國王運氣好，麥克沒蒙對。他要是按照前麵路子推出來老虎在第二個房間。盡管是自由論證，麥克隻要自個兒信了，就可以牛逼哄哄地指著門說：“我推測出老虎就在這一間。” 國王豈不就是錯了？

從認知的觀點，既然國王給出的兩個命題在推理上是自相矛盾的，也就是無益於推導確實的答案，沒有信息。你用它們作為根據來推理，就是白忙乎，沒有意義。那麽國王隨便將老虎關在哪個房間，也就無從猜測，就算你蒙對了，那也是意外的。

我告訴朋友們這個故事，一位朋友說：“既然這隻老虎是‘意想不到’的，麥克怎麽可能‘足夠聰明，在打開那扇門之前猜到’呢？” 她以女性的直覺說：“這隻能解釋為：國王根本就不想把女兒嫁給麥克。麥克的錯誤是在於，還想根據國王的話，企圖用推理來猜出這‘意想不到’的結果。” 這確實是一針見血！
 
根據以上的分析，我們可以編一個後續的故事，這也是一個悖論。

公主得了內部消息後，偷偷告訴麥克：“老虎關在第二個房間，但這消息可能是錯的。”

麥克能夠據此做出正確的邏輯判斷嗎？也不能。因為這也是句自相矛盾的命題。後半句否定了前半句。如果相信“老虎在第二個房間”，則與後半句矛盾。如果得出“老虎不在第二個房間”，又與前半句矛盾。
 
朋友說：“別書呆氣了。麥克會按照他的心理狀態和對公主的了解，相信這一半忽視另一半，自覺得非常理性地押上一邊。”真實世界上行事大抵如此。

我們這個世界並不缺乏大家都相信的彼此矛盾，互不相容的大道理。人們都可以從某些大道理，依照一定的路徑，非常邏輯地推出你所需要的東西。在政治上尤其如此。偉大導師都說過：“右派可能利用我的話得勢於一時，左派則一定會利用我的另一些話組織起來，將右派打倒。”

人們之所以還口沫橫飛，引經據典，氣壯如牛地將自己心中早已想定的東西，不厭其煩地用最崇高的原則和普世價值論證出來，以示有理有據，大約不是為了蒙自己，就是為了蒙別人。