也談“髒臉博弈”問題（1）

榕城老應

一桌人在吃燒烤，其中有三個人不小心將醬汁沾到臉上，大家都能看到別人的臉但不知道自己的。出於禮貌各人都默不吱聲，也不敢露怯去擦自個兒的臉。這時候女招待進來說：“這裏有人臉髒了，請他自己擦了！”連說兩次都沒人反應，到了第三次，剛好是這三個人明白過來，把自個兒的髒臉擦了。問他們是怎麽知道的？

這個問題是 1953 年 Littlewood 書中一個例子的變種，中文稱為“髒臉博弈”。其他諸如帽子顏色，眼睛顏色，一個村莊的慘案等等都是這個問題的變種，具有相同的邏輯結構。這類問題邏輯上比較繞，需要有很清晰的頭腦才能想通。我看過的解法都沒把道理說透。直到學了“公共知識”的理論才想通了。在這裏將體會給大家介紹一下。

首先，女招待的話包含兩個內容。一是：至少有一個人臉髒了。二是：要求知道了的人自己出來承認。這一桌人都不傻，都會根據女招待的話和大家的反應去猜測自己的狀態。

女招待說後，“至少有一個臉髒了”這個判斷就成為大家的公共知識，誰都可以用它來進行推斷。這時候大家想：如果隻有一個人臉髒了，那麽這個髒臉的人會看到別人全是幹淨的臉，他就該明白這個髒臉人是他自己了。女招待說了一次後，他就會馬上把自己臉給擦了。女招待說了一次後沒人行動，這說明原來的假設不對了，這髒臉的人至少得有兩個。

大家都是聰明人，我知道這推斷，你也知道這推斷，我知道誰都知道這推斷，誰都知道我知道這推斷，。。。，一句話，這“髒臉的人至少有兩個”也成了公共知識，大家都可以用來推測別人的推斷。好了，如果隻有兩個髒臉，那其中一人隻能看到一個髒臉，他就該明白自己也是髒臉。女招待催促第二次後，他倆會乖乖地把臉擦了。還沒人出來認賬，說明這髒臉的人至少有三個。

當這三位髒臉的老兄，在現實中隻看到桌上兩個髒臉時，就會在女招待第三次催促時把臉給擦了。至於桌上的其他人，知道至少有三個髒臉時，他們看到的是三張髒臉，正在忐忑不安地看別人的反應，還無法判斷自己是否髒臉。到了這三位髒臉的老兄擦了臉，其他人就明白了原來自己的臉不髒，不然這髒臉的老兄看到的也是三張髒臉，就不會推斷出自己的臉髒。

依照這個邏輯，我們可以很容易地推廣到 N 個髒臉人的情況，他們都會在女招待第 N 次催促後明白過來。請注意，這桌中還可以有任何數量臉沒髒的人。

在這個問題解法中，女招待的“至少有一個臉髒了”這句話是個關鍵，它提供了整個推理的支撐。但是桌中的所有人在女招待來到之前都看到了這個事實。從信息的角度，這女招待沒有提供任何新鮮的東西，為什麽會造成不同呢？這“桌中至少有一個臉髒了”的事實，女招待不說也是：我知道，你知道，大家都知道，你能推測出我知道，我也能推測出你知道。這眾所周知的事實能不能代替女招待的話，用它來做上述解法的起點呢？