一道奧數幾何題的幾種不同思路（微信群討論總結）

朋友（著名新浪博主）萬精油在微信群裏轉了一道幾何題，說是在微博上看到的小升初題目。我覺得這題如果真是小升初就有點難，不過還算是初中幾何內容。我把這個題目發到我們的數學科學競賽微信群和其他一些各地家長群中（共有30多個群），看看大家都怎麽做。微信群裏的對話和討論總結如下：
我：今天給大家出個初中幾何題（從朋友處轉來，據說是小升初，不知是真是假）。題目如圖（為討論方便重新畫的），AB是一個半圓的直徑，CDEF和CGHK都是正方形，已知半圓的半徑等於1，求兩個正方形的麵積之和。

（我們是真正的“日不落”微信群，成員遍及全球，群裏藏龍臥虎，題目一出現，反響激烈，一分鍾之內幾十位家長和學生給出了答案：就是“1”！我加了一句：“光說答案不算數，要有過程！”大家又紛紛給出了解答過程，有快有慢，最快的三位家長大概是推娃訓練有素，SAT以及AMC答題技巧信手拈來，給出了三種特殊情況）
家長A：題目裏可沒有說兩個正方形分別有多大，那就假定一樣大吧，剪切一下就是一個大正方形，邊長就是半徑，麵積等於1。

家長B：題目要算兩個正方形的麵積之和，又不告訴邊長，那肯定是無論兩個正方形怎麽變，麵積和都一樣。所以我也取個特殊情況，先把一個正方形放到最大，另一個再加上去，剪剪切切也是1。

家長C：題目也沒說正方形一定要在半圓內部啊，我就取個極端情況吧，大正方形就以半徑為邊了，小正方形大小為0，答案也是1。
我：打住，打住！咱們還是不要用這種快餐式答題好吧？特殊情況用來猜答案做參考，是可以當作一種方法，但是不算完整的解答。選擇題的應試技巧，現在的孩子們學得太多，快餐式答題，對學數學沒什麽好處。會猜數的孩子不少，因為美國數學教育大部分都是隻看答案，所以孩子從小養成隻會猜數的壞習慣，競賽答題也一樣，算一算特殊值，有了選擇就完事大吉。作為應試技巧，我們也會在考前教一些，不過隻是為了提高幾分，不代表真正學到了數學。所以平時我們留作業，一般都要學生寫解題過程。對這道題來說，如果能從數學上證明正方形大小不影響結果，在此之後再假定兩正方形一樣大或其他特殊情況，就算是可以接受的解法了。
（這時候又一位家長貼出了解答。）
家長D：取圓心O，連OH和OE，則OH和OE都是半徑，所以長度都等於1。設兩個正方形的邊長分別是a和b，CO的距離是x，就可以用勾股定理列方程：
a^2 + (a+x)^2 = 1
b^2 + (b-x)^2 = 1
下麵是解方程的技巧。兩式展開後相減，
2(a^2 - b^2) + 2(a+b)x = 0
解出x = b - a。代入第一個方程，得到
a^2 + b^2 = 1
這代表兩個正方形的麵積之和等於1。

我：這個解法好！不過初中幾何用代數方程來解，還是複雜了一些。有沒有純幾何的方法？
家長E：大家看看這樣解行不行：把兩個正方形的底邊換個位置，就是在CD上取一點M，讓MD等於小正方形的邊長a，那麽KM就剛好等於大正方形的邊長b。這樣一來兩個直角三角形HKM和MDE是全等的，因此MH等於ME。因為H和E都是圓上的點，而M在直徑上，這說明M必須是圓心。於是和前一個解法一樣得到
a^2 + b^2 = 1
所以答案是1。

我：好！這個思路很直觀，適合初中生。還有別的方法嗎？
家長F：我的孩子用的是坐標法。
家長G：三角函數也可以！
家長H：用複數！
……
（過了好幾天，仍然有家長在群裏分享解答）
我：大家真是八仙過海，各顯其能啊！同學們的解法都非常好！看來各位家長不僅善於推娃，自己也非常努力。除去猜數的方法之外，常規的解法大家分享了不少，可以歸結為兩大類，一類是硬算的辦法，從圓心出發連線列方程，巧解代數方程給出答案；另一類是純幾何，把兩個正方形的底邊互換位置後發現新的分點就是圓心，對題目中的幾何形狀的關係有更深刻的理解。兩者可以說是殊途同歸。這道題先告一段落，感謝各位的踴躍參與，我們經常在群中分享題目，歡迎大家繼續參加！

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