-*-紫色王家思絮絮-*-
我思無邪、我行無悔
正文
在美國第一次聽初中數學課紀實 (流水帳)
1)
離表姐家很近，盡管在不同的州，但是距離不到兩個小時的車程，所以周末或者節假日偶爾也去表姐家玩。上個周末禮拜六，我就陪著我那差不多 12 歲的侄兒聽了一堂初中數學課。這個侄兒還是以前在北京出生的，三歲就隨父母來到了新澤西，所以漢語講得一點都不好。美國的公立中小學建築我自然見了很多，通常每個學校隻有一棟建築，而且一般不超過兩層。小學 (Elementary School) 一般規模較小，通常隻有幾百人，初中 (Middle School) 較大一些，高中 (High School) 更大，一般的高中注冊學生大約在一千到兩千多人，有的人口稠密的地區，據說一所高中可以有五千學生 (例如在芝加哥)。大家可以想像，兩千學生全部集中在一棟建築裏，那棟建築肯定是很大的，不熟悉的人進去後有時會覺得置身於城堡之中，摸不清方向。
中小學雖然見得多，但是若論在中小學聽課，我這真還是破天荒第一次。其實別說聽課，之前我可連中小學的大門 (指教學樓的大門，不是指校門，因為一般沒有校門與圍牆) 都沒有邁進過。這堂課是數學課，大約兩個小時。出於好奇，我征得那位教師的允許後，也興致勃勃地和十來個孩子一起坐在教室裏，聽完了這堂幾何課。下麵我就將這堂課實錄下來，供有興趣的朋友參考。
可能先得交代幾句，這堂課的學生雖然都隻是初一年級 (六年級)，但是卻是高中課程。事實上那位教師，科林斯女士 (也是位博士，隻是不知是教育學博士還是數學博士，我也不好意思去問)，是高中教師而不是初中教師。也就是說，能上這堂課的學生都是學校的“尖子生”，因此這堂課可能並沒有什麽代表意義，和通常的課堂可能有比較大的差別。但是我隻聽過一堂課，所知也隻有這些。
美國的中小學義務教育一共是十二年，有的地方六年級算小學，有的算初中 (像我這侄兒，雖然是六年級，但是算初中)；有的地方高中有四年，有的隻有三年，不同的州、不同的縣、甚至不同的城鎮規定都不一樣，但是加起來都必須是十二年，因此高中畢業生通常都是十八歲，和咱們差不多。美國的學校沒有什麽統編教材。其實別說什麽全國統編教材，即使在同一學校，不同的老師教材也不一樣，有的甚至壓根兒就沒有教材 (特別是小學)。而且，通常情況下即使有教材，那教材也是由學校發的。
美國的學校由於人種和文化背景等原因，學生水平相差很大 (你看我們人種和文化其實很單一的，但是學生所學相差也不小，對不對？美國學生的差距就更大了)。通常美國學生按照人種分為亞裔、高加索血統白人 (也就是“傳統”的歐洲血統人，例如盎格魯-撒克遜、斯拉夫、日爾曼人等)、西班牙血統人、黑人等，其中亞裔和高加索血統白人的智商明顯高於黑人和西班牙血統人。因為公立學校的教育必須立足於中下遊學生，所以有些比較聰明的、學有餘力的學生就會覺得學校的課程過於簡單，所以基本上每個學區、每個學校都開設有各俱特色的“天才學生培養計劃”(Gifted/Talented Programs)。除了豐富多彩的課外活動外 (這些課外活動通常包括體育、藝術、音樂、探險、數學、科學等興趣小組和俱樂部)，這些比較聰明的孩子所開設的課程也比普通學生的更難。比如就數學而言，他們通常初中就學高中的內容，高中學大學的內容。
美國的中學所開設的課程，如果將雜七雜八的課程都算的話，估計上百門，但是最主要的課程，還是和我們差不多：數學、閱讀 (Reading)、英語 (English，主要側重於寫作)、科學 (Science，以物理為主)、社會科學 (Social Science，可能以曆史和文化為主) 和生物 (Biology)，其中最重要的是數學和閱讀。我這侄兒的數學、閱讀和科學都在“天才班” (其實這沒有什麽，中國人的孩子一般都不蠢的，何況他父母都是早年北大畢業生)。一般情況下，我覺得美國孩子的閱讀、寫作學得不算差，生物和科學 (以物理為主) 也算學得馬馬虎虎，唯一的例外就是數學，學得非常差。
2)
去學校之前，我拿了侄兒所在的天才教育班數學教學規劃。教學規劃上麵是這樣寫的：
六年級：代數 I (Algebra I)
七年級：幾何，代數 II (Geometry, Algebra II)
八年級：代數 II，矩陣，統計 (Algebra II，Matrices，Statistics)
-----------------------------------------
九年級：微積分預備課 I，微積分預備課 II (Pre-calculus I，II)
十年級：微積分 I，微積分 II (Calculus I，II)
十一年級：微積分 III (Calculus III)，概率統計 (Probability & Statistics)
十二年級：常微分方程 (Differential Equations)，線性代數 (Linear Algebra)
侄兒所在的這個學區，6--8 年級算初中，9--12年級算高中。大家看到，對普通的美國學生而言，上麵所列的 6--9 年級的課程其實是高中課程，10--12 年級的課程其實是大學課程。學生們在高中學些大學課程其實好處大大的，首先，在高中學這些課程，特別是聲望比較好的高中通過這些課程的考核後，其成績大學是承認的，所以這不但節省了時間，而且還節省了錢，因為高中教學是免費的，而大學是要收學費的，特別地，這些孩子很多都會被名牌大學錄取，考慮到名牌大學的不俗學費，所以節省的錢其實不少；其次，學生如果能在高中通過這些考試，這也間接地證明了其能力，所以這也給他們申請名牌大學提供籌碼。
我問侄兒，代數 I 主要包括些什麽。侄兒說，主要是多項式、分解因式、一元一次方程、一元一次不等式、一元二次方程等。我又問，按照課程規劃，你們不是要到七年級才學幾何嗎？為什麽現在學幾何，而且在周末？表姐給我解釋道，因為侄兒念小學時那所小學開設的幾何過於簡單，隻會算一些周長和麵積，幾何預備知識不足，所以學校安排給幾何有所缺陷的孩子周末補課，因此這不算正式的幾何課。真正的幾何要下學期開設。
我開車送侄兒去高中。諾大的停車場幾乎是滿的，原來許多高中學生周末自己開車來學校搞體育比賽 (美國 16 歲即可拿駕照開車)，有的家長也來湊熱鬧，幫自己的孩子助威。這所高中是州內很好的一所，一千多學生，一棟兩層的教學樓，深紅色的磚外表，顯得結實而又古色古香。轉到一個僻靜處才找到一個停車位置，隨侄兒走進教學樓主門。原以為主門處有值班員守候著，不料裏麵居然沒有，空蕩蕩的，那份安靜和清涼，不經意之間給人帶來一絲寒意。進門後拐了幾個彎，到了指定的教室。走進教室一看，數學教師科林斯女士已經在那裏準備著投影儀，還有一個白人小姑娘，臉頰曬得黑黑的，顯然是學生之一，在幫助老師整理課桌。教室裏大約有二十來張座位，顯得有些零亂。小姑娘見我這樣一個陌生人來到，似乎略有不適，害羞地說了句嗨，然後繼續低頭整理課桌。我給科林斯老師打了個招呼，說我從來沒有聽過美國中學生的課，您是否介意我聽一堂課。科林斯老師笑道，當然不介意，榮幸之至，You are absolutely welcome，然後又問你是不是懂數學 (Do you understand math?)。我不料科林斯老師會來如此一問，一怔之下我隻得說，我的專業是計算機科學和工程 (Computer Science and Engineering)。科林斯老師哈哈笑道，原來如此，那你肯定懂了，希望我剛才的問題沒有冒犯你......
我和侄兒協助那位小女孩三下五除二將課桌擺得整整齊齊。不一會兒，上課開始了，學生也都到齊了。我數了數，包括侄兒在內，一共是十個學生，五個男孩，五個女孩；四個學生看起來像中國人 (其中兩個女孩)。我在最後一排撿了個座位坐下，同時為了表示對老師的尊敬，我裝模做樣地拿出個筆記本做筆記。其實我從小就是個喜歡交頭接耳的人，哪裏學會了作筆記......很多時間裏其實我在考慮著給屈原前輩寫首七絕，力求心能二用。老師在台上講她的，我在下麵寫詩，花一個小時寫首七絕打油，總沒有問題吧？
教材很厚，精裝的，很重。美國的教科書就這樣，又簡單又羅嗦，像八股文填鴨似的手把手教讀者，那種謹小慎微，那種苦口婆心，倒似乎生怕讀者不會一個蘿卜一個坑會走錯腳步從而墜入萬丈深淵似的，我一直不喜歡這種羅嗦的風格，盡管我說話羅嗦。我喜歡簡潔簡明的教材，例如俄羅斯人編寫的，短短幾頁能囊括很多內容。
今天補習的內容是第五章三角形，一開始就嚐試用三角形全等 (Congruent Triangles) 去證明等腰三角形的兩個底角相等 (Congruent)，以及其逆定理 (Converse Theorem)。看來上次課他們已經講述了三角形全等的判定，學生們對幾個判定方法都能對答入流，大家對證明這個定理似乎都沒有什麽困難 (本來很簡單，是不是)，但是科林斯老師還是要求每個學生很嚴格、很詳細地寫出推導步驟，說幾何的精髓和美就在於其邏輯的嚴謹。他們的表述和我們以前的不一樣，我們以前的平麵幾何證明，通常都是
因為...所以...
的格式，對不對？他們則列成兩欄，寫成如下的格式：
Statement (論斷) | Reason (理由)
----------------------------|------------------------------
|
證完後科林斯老師又要求大家用笛卡兒標架 (平麵解析幾何) 去證明結論。證完後科林斯老師又要求大家將這個命題的逆命題 (Converse)，反命題 (Inverse) 以及逆反命題 (Contrapositive)，並且引述了很簡單的形式邏輯。總之，就我看來，課程的內容很簡單，但是科林斯老師牽涉得很雜，而且她似乎在刻意傳授某種係統而嚴謹的思維 (注：這個天才教育計劃的主要目的就是培養學生的自學能力)。如此這般大約過去了半個小時。
隨後科林斯老師用投影儀展示了大約和上麵這個圖差不多的圖形，其中 M、N 是所在邊的中點，然後要求大家直觀猜測所有可能的結論。大家七嘴八舌，三個臭皮匠頂個諸葛亮似的，自然很快地猜到了 MN // BC，MN = BC * 1/2。當然，大家都知道，這就是很簡單的中位線定理。不過呢，有位看起來像中國人的小女孩也猜了個不對的結論，那就是三角形 AMN 的麵積是三角形 ABC 的麵積的一半。科林斯老師先感謝這個學生的猜測，問她怎麽會猜到這個結論。小姑娘說，因為 MN 隻有 BC 的一半，所以對應的三角形的麵積也應該隻有一半。老師又問，從圖上看，你覺得小三角形的麵積有大三角形的麵積一半嗎？小姑娘說，看起來是沒有，大約隻有三分之一，但是因為長度剛好一半，所以我覺得麵積也應該有一半。我在後麵看了，暗笑不已。天，要說服這個小姑娘可不容易呢，盡管她也承認麵積看起來沒有一半，但是她很依賴自己的理性 (盡管這種理性導致的猜測是錯的)，幾乎到了寧信度無自信也的地步，且看科林斯老師如何說服她。
大家知道小三角形的麵積隻有大三角形麵積的四分之一。要證明這點非常簡單，科林斯老師假設 L 是 BC 的中點，連接 LM，LN，這樣四個小三角形全等，所以AMN 的麵積隻有 ABC 的四分之一。小姑娘顯然被說服了，但是科林斯老師並未“罷休”，她先要小姑娘口算 1/2 * 1/2 是多少。小姑娘似乎有些迷惑，因為這是小學二年級的算術，對不對，但還是遵照吩咐說了 1/4。老師然後要這個小姑娘繼續說出三角形的麵積公式，小姑娘回答說是底線乘高然後除以 2。科林斯老師笑道，現在好了，小三角形的底線長度是大三角形的幾分之幾？小姑娘答曰二分之一。那麽高呢？小姑娘答曰二分之一。那麽， 1/2 * 1/2 是多少？小姑娘羞澀一笑，道，1/4。
隨後科林斯老師又像以前那樣要大家給出這個命題的逆命題、反命題、逆反命題並且從形式邏輯出發判斷真偽，然後用解析幾何證明了中位線定理。
休息幾分鍾後，繼續上課。科林斯老師先講述了什麽是中線、垂線、角平分線和垂直平分線，然後每個人發個作圖的工具，要求大家嚴格作圖，分別將三角行的三條中線、垂線、角平分線和垂直平分線畫好，看能得出什麽結論。當然，大家知道，這三條中線、垂線、角平分線和垂直平分線各自相交於一點，分別稱為重心、垂心、內(切圓圓)心，以及外(接圓圓)心。大家花了半個小時作圖，基本上同意了這四種不同的線各自會相交於一點。隨後，因為時間關係，科林斯老師拿角平分線講述了一下，然後就布置作業，下課了。
我一看布置的作業，哇，算小題的話，怕莫有四五十個！盡管是一周的作業，但是也算很多了吧？當然，我隨便看了兩個，很簡單，隻是這十個學生盡管是“天才班”的學生，但是幾何基礎卻不怎麽樣，四、五十個小題下來，也夠他們忙碌的了，何況這是他們的“額外負擔” (因為這不算正式的幾何課，而是補課)，須不知很多學校基本上就沒有家庭作業呢！
----THE END----
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離表姐家很近，盡管在不同的州，但是距離不到兩個小時的車程，所以周末或者節假日偶爾也去表姐家玩。上個周末禮拜六，我就陪著我那差不多 12 歲的侄兒聽了一堂初中數學課。這個侄兒還是以前在北京出生的，三歲就隨父母來到了新澤西，所以漢語講得一點都不好。美國的公立中小學建築我自然見了很多，通常每個學校隻有一棟建築，而且一般不超過兩層。小學 (Elementary School) 一般規模較小，通常隻有幾百人，初中 (Middle School) 較大一些，高中 (High School) 更大，一般的高中注冊學生大約在一千到兩千多人，有的人口稠密的地區，據說一所高中可以有五千學生 (例如在芝加哥)。大家可以想像，兩千學生全部集中在一棟建築裏，那棟建築肯定是很大的，不熟悉的人進去後有時會覺得置身於城堡之中，摸不清方向。
中小學雖然見得多，但是若論在中小學聽課，我這真還是破天荒第一次。其實別說聽課，之前我可連中小學的大門 (指教學樓的大門，不是指校門，因為一般沒有校門與圍牆) 都沒有邁進過。這堂課是數學課，大約兩個小時。出於好奇，我征得那位教師的允許後，也興致勃勃地和十來個孩子一起坐在教室裏，聽完了這堂幾何課。下麵我就將這堂課實錄下來，供有興趣的朋友參考。
可能先得交代幾句，這堂課的學生雖然都隻是初一年級 (六年級)，但是卻是高中課程。事實上那位教師，科林斯女士 (也是位博士，隻是不知是教育學博士還是數學博士，我也不好意思去問)，是高中教師而不是初中教師。也就是說，能上這堂課的學生都是學校的“尖子生”，因此這堂課可能並沒有什麽代表意義，和通常的課堂可能有比較大的差別。但是我隻聽過一堂課，所知也隻有這些。
美國的中小學義務教育一共是十二年，有的地方六年級算小學，有的算初中 (像我這侄兒，雖然是六年級，但是算初中)；有的地方高中有四年，有的隻有三年，不同的州、不同的縣、甚至不同的城鎮規定都不一樣，但是加起來都必須是十二年，因此高中畢業生通常都是十八歲，和咱們差不多。美國的學校沒有什麽統編教材。其實別說什麽全國統編教材，即使在同一學校，不同的老師教材也不一樣，有的甚至壓根兒就沒有教材 (特別是小學)。而且，通常情況下即使有教材，那教材也是由學校發的。
美國的學校由於人種和文化背景等原因，學生水平相差很大 (你看我們人種和文化其實很單一的，但是學生所學相差也不小，對不對？美國學生的差距就更大了)。通常美國學生按照人種分為亞裔、高加索血統白人 (也就是“傳統”的歐洲血統人，例如盎格魯-撒克遜、斯拉夫、日爾曼人等)、西班牙血統人、黑人等，其中亞裔和高加索血統白人的智商明顯高於黑人和西班牙血統人。因為公立學校的教育必須立足於中下遊學生，所以有些比較聰明的、學有餘力的學生就會覺得學校的課程過於簡單，所以基本上每個學區、每個學校都開設有各俱特色的“天才學生培養計劃”(Gifted/Talented Programs)。除了豐富多彩的課外活動外 (這些課外活動通常包括體育、藝術、音樂、探險、數學、科學等興趣小組和俱樂部)，這些比較聰明的孩子所開設的課程也比普通學生的更難。比如就數學而言，他們通常初中就學高中的內容，高中學大學的內容。
美國的中學所開設的課程，如果將雜七雜八的課程都算的話，估計上百門，但是最主要的課程，還是和我們差不多：數學、閱讀 (Reading)、英語 (English，主要側重於寫作)、科學 (Science，以物理為主)、社會科學 (Social Science，可能以曆史和文化為主) 和生物 (Biology)，其中最重要的是數學和閱讀。我這侄兒的數學、閱讀和科學都在“天才班” (其實這沒有什麽，中國人的孩子一般都不蠢的，何況他父母都是早年北大畢業生)。一般情況下，我覺得美國孩子的閱讀、寫作學得不算差，生物和科學 (以物理為主) 也算學得馬馬虎虎，唯一的例外就是數學，學得非常差。
2)
去學校之前，我拿了侄兒所在的天才教育班數學教學規劃。教學規劃上麵是這樣寫的：
六年級：代數 I (Algebra I)
七年級：幾何，代數 II (Geometry, Algebra II)
八年級：代數 II，矩陣，統計 (Algebra II，Matrices，Statistics)
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九年級：微積分預備課 I，微積分預備課 II (Pre-calculus I，II)
十年級：微積分 I，微積分 II (Calculus I，II)
十一年級：微積分 III (Calculus III)，概率統計 (Probability & Statistics)
十二年級：常微分方程 (Differential Equations)，線性代數 (Linear Algebra)
侄兒所在的這個學區，6--8 年級算初中，9--12年級算高中。大家看到，對普通的美國學生而言，上麵所列的 6--9 年級的課程其實是高中課程，10--12 年級的課程其實是大學課程。學生們在高中學些大學課程其實好處大大的，首先，在高中學這些課程，特別是聲望比較好的高中通過這些課程的考核後，其成績大學是承認的，所以這不但節省了時間，而且還節省了錢，因為高中教學是免費的，而大學是要收學費的，特別地，這些孩子很多都會被名牌大學錄取，考慮到名牌大學的不俗學費，所以節省的錢其實不少；其次，學生如果能在高中通過這些考試，這也間接地證明了其能力，所以這也給他們申請名牌大學提供籌碼。
我問侄兒，代數 I 主要包括些什麽。侄兒說，主要是多項式、分解因式、一元一次方程、一元一次不等式、一元二次方程等。我又問，按照課程規劃，你們不是要到七年級才學幾何嗎？為什麽現在學幾何，而且在周末？表姐給我解釋道，因為侄兒念小學時那所小學開設的幾何過於簡單，隻會算一些周長和麵積，幾何預備知識不足，所以學校安排給幾何有所缺陷的孩子周末補課，因此這不算正式的幾何課。真正的幾何要下學期開設。
我開車送侄兒去高中。諾大的停車場幾乎是滿的，原來許多高中學生周末自己開車來學校搞體育比賽 (美國 16 歲即可拿駕照開車)，有的家長也來湊熱鬧，幫自己的孩子助威。這所高中是州內很好的一所，一千多學生，一棟兩層的教學樓，深紅色的磚外表，顯得結實而又古色古香。轉到一個僻靜處才找到一個停車位置，隨侄兒走進教學樓主門。原以為主門處有值班員守候著，不料裏麵居然沒有，空蕩蕩的，那份安靜和清涼，不經意之間給人帶來一絲寒意。進門後拐了幾個彎，到了指定的教室。走進教室一看，數學教師科林斯女士已經在那裏準備著投影儀，還有一個白人小姑娘，臉頰曬得黑黑的，顯然是學生之一，在幫助老師整理課桌。教室裏大約有二十來張座位，顯得有些零亂。小姑娘見我這樣一個陌生人來到，似乎略有不適，害羞地說了句嗨，然後繼續低頭整理課桌。我給科林斯老師打了個招呼，說我從來沒有聽過美國中學生的課，您是否介意我聽一堂課。科林斯老師笑道，當然不介意，榮幸之至，You are absolutely welcome，然後又問你是不是懂數學 (Do you understand math?)。我不料科林斯老師會來如此一問，一怔之下我隻得說，我的專業是計算機科學和工程 (Computer Science and Engineering)。科林斯老師哈哈笑道，原來如此，那你肯定懂了，希望我剛才的問題沒有冒犯你......
我和侄兒協助那位小女孩三下五除二將課桌擺得整整齊齊。不一會兒，上課開始了，學生也都到齊了。我數了數，包括侄兒在內，一共是十個學生，五個男孩，五個女孩；四個學生看起來像中國人 (其中兩個女孩)。我在最後一排撿了個座位坐下，同時為了表示對老師的尊敬，我裝模做樣地拿出個筆記本做筆記。其實我從小就是個喜歡交頭接耳的人，哪裏學會了作筆記......很多時間裏其實我在考慮著給屈原前輩寫首七絕，力求心能二用。老師在台上講她的，我在下麵寫詩，花一個小時寫首七絕打油，總沒有問題吧？
教材很厚，精裝的，很重。美國的教科書就這樣，又簡單又羅嗦，像八股文填鴨似的手把手教讀者，那種謹小慎微，那種苦口婆心，倒似乎生怕讀者不會一個蘿卜一個坑會走錯腳步從而墜入萬丈深淵似的，我一直不喜歡這種羅嗦的風格，盡管我說話羅嗦。我喜歡簡潔簡明的教材，例如俄羅斯人編寫的，短短幾頁能囊括很多內容。
今天補習的內容是第五章三角形，一開始就嚐試用三角形全等 (Congruent Triangles) 去證明等腰三角形的兩個底角相等 (Congruent)，以及其逆定理 (Converse Theorem)。看來上次課他們已經講述了三角形全等的判定，學生們對幾個判定方法都能對答入流，大家對證明這個定理似乎都沒有什麽困難 (本來很簡單，是不是)，但是科林斯老師還是要求每個學生很嚴格、很詳細地寫出推導步驟，說幾何的精髓和美就在於其邏輯的嚴謹。他們的表述和我們以前的不一樣，我們以前的平麵幾何證明，通常都是
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的格式，對不對？他們則列成兩欄，寫成如下的格式：
Statement (論斷) | Reason (理由)
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證完後科林斯老師又要求大家用笛卡兒標架 (平麵解析幾何) 去證明結論。證完後科林斯老師又要求大家將這個命題的逆命題 (Converse)，反命題 (Inverse) 以及逆反命題 (Contrapositive)，並且引述了很簡單的形式邏輯。總之，就我看來，課程的內容很簡單，但是科林斯老師牽涉得很雜，而且她似乎在刻意傳授某種係統而嚴謹的思維 (注：這個天才教育計劃的主要目的就是培養學生的自學能力)。如此這般大約過去了半個小時。
隨後科林斯老師用投影儀展示了大約和上麵這個圖差不多的圖形，其中 M、N 是所在邊的中點，然後要求大家直觀猜測所有可能的結論。大家七嘴八舌，三個臭皮匠頂個諸葛亮似的，自然很快地猜到了 MN // BC，MN = BC * 1/2。當然，大家都知道，這就是很簡單的中位線定理。不過呢，有位看起來像中國人的小女孩也猜了個不對的結論，那就是三角形 AMN 的麵積是三角形 ABC 的麵積的一半。科林斯老師先感謝這個學生的猜測，問她怎麽會猜到這個結論。小姑娘說，因為 MN 隻有 BC 的一半，所以對應的三角形的麵積也應該隻有一半。老師又問，從圖上看，你覺得小三角形的麵積有大三角形的麵積一半嗎？小姑娘說，看起來是沒有，大約隻有三分之一，但是因為長度剛好一半，所以我覺得麵積也應該有一半。我在後麵看了，暗笑不已。天，要說服這個小姑娘可不容易呢，盡管她也承認麵積看起來沒有一半，但是她很依賴自己的理性 (盡管這種理性導致的猜測是錯的)，幾乎到了寧信度無自信也的地步，且看科林斯老師如何說服她。
大家知道小三角形的麵積隻有大三角形麵積的四分之一。要證明這點非常簡單，科林斯老師假設 L 是 BC 的中點，連接 LM，LN，這樣四個小三角形全等，所以AMN 的麵積隻有 ABC 的四分之一。小姑娘顯然被說服了，但是科林斯老師並未“罷休”，她先要小姑娘口算 1/2 * 1/2 是多少。小姑娘似乎有些迷惑，因為這是小學二年級的算術，對不對，但還是遵照吩咐說了 1/4。老師然後要這個小姑娘繼續說出三角形的麵積公式，小姑娘回答說是底線乘高然後除以 2。科林斯老師笑道，現在好了，小三角形的底線長度是大三角形的幾分之幾？小姑娘答曰二分之一。那麽高呢？小姑娘答曰二分之一。那麽， 1/2 * 1/2 是多少？小姑娘羞澀一笑，道，1/4。
隨後科林斯老師又像以前那樣要大家給出這個命題的逆命題、反命題、逆反命題並且從形式邏輯出發判斷真偽，然後用解析幾何證明了中位線定理。
休息幾分鍾後，繼續上課。科林斯老師先講述了什麽是中線、垂線、角平分線和垂直平分線，然後每個人發個作圖的工具，要求大家嚴格作圖，分別將三角行的三條中線、垂線、角平分線和垂直平分線畫好，看能得出什麽結論。當然，大家知道，這三條中線、垂線、角平分線和垂直平分線各自相交於一點，分別稱為重心、垂心、內(切圓圓)心，以及外(接圓圓)心。大家花了半個小時作圖，基本上同意了這四種不同的線各自會相交於一點。隨後，因為時間關係，科林斯老師拿角平分線講述了一下，然後就布置作業，下課了。
我一看布置的作業，哇，算小題的話，怕莫有四五十個！盡管是一周的作業，但是也算很多了吧？當然，我隨便看了兩個，很簡單，隻是這十個學生盡管是“天才班”的學生，但是幾何基礎卻不怎麽樣，四、五十個小題下來，也夠他們忙碌的了，何況這是他們的“額外負擔” (因為這不算正式的幾何課，而是補課)，須不知很多學校基本上就沒有家庭作業呢！
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評論
紫色王家
2009-06-20 21:34:50
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悄悄話
謝謝！這些東西，我“居然”還記得大部分......
steveshaw63
2009-06-19 14:08:55
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悄悄話
I have a master degree in engineering, but I have to admit there is not much left now...
登錄後才可評論.
