來自constant的 原題和原證：
是否存在連續函數f(x)，使得對任意x，都有 lim(n->oo)f(nx) = 0，但是 lim(x->oo)f(x) != 0?
基本上，有一列區間[d_n,u_n]->oo, 使得f在這些區間上>某個常數c>0。對每個區間，k>1/(u_n-d_n)後，k*[d_n,u_n]之間就沒有空隙了，即有一個k*[d_n,u_n]包含了以後的某一個[d_m,u_m]。這樣就可以得到一串k_1,k_2,...,n_1,n_2,..., 使得k_i*[d_(n_i),u_(n_i)]包含[d_(n_i+1),u_(n_i+1)]。最後就可以用區間套得到一點x，使得f(k_1*x),f(k_1*k_2*x),f(k_1*k_2*k_3*x),...,都大於c。
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deuss: 直覺是，因x可以任意小，nx會密密麻麻撒滿數軸，所以lim_{x->oo}f(x)=lim_{n->oo}f(nx)
其實不然。如果條件改成 for any rational x ， lim_{n->oo} f(xn)=0，nx仍會密密麻麻撒滿數軸
但lim_{x->oo} f(x) != 0 仍有可能
設想g(x)=1在所有x=sqrt(p), p 是素數，否則=0 。該函數本身不連續，但可以從(sqrt(p)-r,0)和(sqrt(p)+r,0)各連一線至(sqrt(p),1)，呈脈衝狀，其中r=r(p)=1/p^3 。所得連續函數即為所尋f(x).
給定有理數x, h=1/x^2= i/j,這裏i,j為整數。我們要證明，當n足夠大時，nx不可能落入任一脈衝區。
若不然，nx=sqrt(p)+a, |a|<1/p^3
nn=p*i/j+c, |c|<1/p^2
nnj=pi+cj=pi, (因nnj和pi是整數，而|cj|<1/p<1)
由於p是大素數，所以，不可能。
好漂亮的思路和圖示.謝謝!!!