已知：圓內AC、BD兩個弦相互垂直，四邊形ABCD的麵積為50，四條邊相乘AB*BC*CD*DA = 2025
求： AB/BC*CD/DA的最大值？
設AC和BD相交於E點，AC將四邊形分為兩個三角形，AC作為兩個三角形的共同底邊，BE和DE分別為兩個三角形的高，四邊形的麵積為兩個三角形麵積之和。 即（1/2)*AC*BE+(1/2)*AC*DE = (1/2)*AC*(BE+DE) = (1/2)*AC*BD = 50，即AC*BD = 100.
根據托勒密定理，四點共圓，對角線相乘等於兩兩對邊相乘之和 AC*BD = AB*CD + BC*DA = 100， 又 AB*BC*CD*DA = （AB*CD)*(BC*DA) = 2025
設AB*CD = x，BC*DA = y， 則 x + y = 100, x*y = 2025
解方程得
x1 = 50 + 5*(19)^0.5, y1 = 2025/[50 + 5*(19)^0.5];
x2 = 50 - 5*(19)^0.5, y2 = 2025/[50 - 5*(19)^0.5]
x1/y1 = [50 + 5*(19)^0.5]/{2025/[50 + 5*(19)^0.5]} = [50 + 5*(19)^0.5]^2/2025 = [119 + 20*(19)^0.5]/81 （約等於2.5454）
x2/y2 = [50 - 5*(19)^0.5]/{2025/[50 - 5*(19)^0.5]} = [50 - 5*(19)^0.5]^2/2025 = [119 - 20*(19)^0.5]/81 （約等於0.3929）
AB/BC*CD/DA = AB*CD / BC*DA = x/y 所以，最大值為[119 + 20*(19)^0.5]/81 （約2.5454）
Grok 3 的答案可信。但根據托勒密定理，我們可以輕鬆得出僅有的兩個答案，比較大小即可。
