好問題! 可能我之前的解答過於簡略，也不嚴格，容易引起誤解，讓我詳細說明一下1和2.
============================================
問題1 因為f(x) 自變量是定義在文中所定義的函數鏈上（ai). 但是ai 是永遠不小於3／4，所以x 在1／2與3／4 之間無取值 （擴展之後的函數在1／4到3／4)之間無定義）。不知這樣理解對不對。
答： 首先，因為我們需要提供f(x)全體實數範圍上的定義，通過對稱性可隻考慮x大於等於1/2範圍，而[1/2,3/4]是屬於這個範圍的，我們肯定需要給出f(x)在其中的定義。 我理解你的困惑：g(x)=f(f(x)) ≥ 3/4 因此好像無法讓[1/2,3/4]中的值放入函數鏈中。 其實這是因為我之前"函數鏈沒有第一項"這一說法不準確。
回顧一下我們求證的思路，是把區間A=[1/2,∞)分解為無數個如下函數鏈的並集:
..., a[-n], a[-n+1], ... a[-1], a[0], a[1], ... a[n], ...
滿足 a[i+2]=g(a[i])
而每個這樣的鏈條又是又兩個如下這樣的等價類合成：
..., b[-n], b[-n+1], ...., b[-1], b[0], b[1], ... b[n], ...
..., c[-n], c[-n+1], ...., c[-1], c[0], c[1], ... c[n], ...
b[i+1] = g(b[i]) , c[i+1] = g(c[i])
我當時說函數鏈沒有第一項，即向左向右都可以無限延申，這一論斷的前提是諸如b[i]的等價類數列也可向左向右無限延申。注意對b[i]中任意一項t, 排在它前麵的是g^(-1)(t)，排在它後麵的一項是g(t). 因此我們之前的論述中默認了這一”事實”:
對 任何 x∈A， 都有
g(x)∈A , g^(-1)(x)∈A ---- (1)
我們之前已證g(x)≥x ， 因此 g(x)∈A無疑
不幸的是, 正如你提到的， g^(-1)(x) ∈A並不一定成立
事實上, 把A分為如下三個集合的並集:
B= [1/2,3/4) C=[3/4,1) D=(1, ∞)，
那我們有如下結論：
1)對任意x∈D, 有g^(-1)(x) ∈D
2)對任意 x∈B, g^(-1)(x) 不存在
3)對任意 x∈C, 有數n使得g^(-n) (x) ∈B, 從而g^(-n-1) (x) 不存在
注意g^(-1) (x)=sqrt((x-3/4)) + 1/2, 因此2)顯然
對於1), 當x>1時， g^(-1)(x)=sqrt(x-3/4)+ 1/2>sqrt(1-3/4)+ 1/2=1 故g^(-1)(x) ∈D
對於3), 當3/4≤x< 1 時，令t=1-x, 則 0 g^(-1)(x)=sqrt(x-3/4)+ 1/2=sqrt(1-t-3/4)+ 1/2=sqrt(1/4-t)+ 1/2
x- g^(-1) (x)= 1-t- sqrt(1/4-t)+ 1/2=sqrt(1/4-t+t^2 )- sqrt(1/4-t)
=t^2/(sqrt(1/4-t+t^2 )+ sqrt(1/4-t))
> t^2/(2sqrt(1/4-t+t^2 ))
=t^2/(1-2t)
=δ
這裏δ是一個正數。
又注意 g^(-m)(x)-g^(-m-1)(x)= (g^(-m-1)(x) - 1)^2 > (g^(-m) (x)- 1)^2 = g^(-m+1)(x) - g^(-m) (x)
因此當m>(x-3/4)/δ 時，就有g^(-m) (x)<3/4. 故肯定有n使得g^(-n) (x) ∈B
現在我們清楚了，當x∈D, 也就是x>1時，x在等價類可向左無限延申:
..., b[-n], b[-n+1], ...., b[-1], b[0], b[1], ... b[n], ...
當x∈B或x∈C時，x在等價類中不能向左延申或最多隻能延申有限次, 即等價類有個左端點
b[0], b[1], … b[n]…
好像後一種情況的出現推翻了之前的證明，其實不然，我們隻需將證明過程修正一下：即把函數鏈分為兩種：
I 左右無限延申： ..., a[-n], a[-n+1], ... a[-1], a[0], a[1], ... a[n], ...
II 有左端點，向右無限延申： a[0], a[1], ... a[n], ...
////// 在I 和 II 中 a[i+2]=g(a[i])
對於D中的等價類，我們可每取兩個組成I型函數鏈，如之前證明過程中的那樣：
..., b[-n],c[-n]，b[-n+1],c[-n+1], ..., b[-1],c[-1],b[0],c[0],b[1],c[1],...,b[n],c[n],...
而對B或C中的等價類，我們可每取兩個組成II型函數鏈，
b[0],c[0],b[1],c[1],...,b[n],c[n],...
兩種情況得到的f(x)都滿足f(f(x))=g(x)
============================================
問題2． 為什麽有必要證明函數鏈之間無交集呢？ 在我看來，定義f(ai)=a(i+1) 已經足夠滿足（1）式。是要排除f(x)是個常數的可能性嗎？
答：函數鏈之間非交是必需的。如若不然，設有兩個函數鏈
…a[-n],…. a[-1], a[0], a[1], …. a[p-1], a[p], a[p+1], …
…b[-n]…. b[0], b[1], … b[q-1], b[q], b[q+1]…
有一個公共元素： a[p] = b[q]
設 t = a[p] = b[q]
根據我們的定義，f(t)是要定義其在數據鏈中的下一個元素, 那我們就遇到矛盾了： f(t)不能既等於a[p+1]又等於b[q+1]
