先不說什麽高深的理論，試想一個簡單的問題：如果我們自己用馬金來投資股市的話，用多大的杠杆合適呢？
首先， 要考慮投資的可能回報率，用杠杆是來放大利潤，不是放大損失的，所以， 回報率必須要滿足一定的要求。
其次，得考慮借貸成本，如果利息太高的話，也是白搭。
另外，我們也得考慮股票的價格波動率，如果波動率太高，下跌幅度太大的話，有可能觸發Margin Call，那就壞醋了。
可見，可用杠杆的大小取決於三個因素：
- 期望回報率
- 利率
- 價格波動率
而量化資金分配比例的凱利公式，用到的恰好是上麵的三個參數：
下麵，根據過去發表的一些論文和書籍中引用的曆史數據，我們來看看股市的最佳杠杆比例。
Victor Haghani 和James White在2023年出版的書The Missing Billionaires中的第23章中，用1927~2022年的曆史數據，回測了SP 500在不同杠杆下的回報率：
可見，單純從回報率來講，對SP 500來說，最佳杠杆倍數（Leverage Ratio）是2（也就是借1買2），其次是1.5， 如果倍數是3的話杠杆會起到負作用，4的話更差，5的話長期回報會歸零。
以上假定的借貸成本是T-bill利率再加1%， 非常接近於倍數基金加上管理費用後的費用。
Tony Cooper在2010年發表的題目為Alpha Generation and Risk Smoothing Using Managed Volatility的論文，給出了更多不同時期的曆史數據分析。比如，這是美國股票市場從1885~2009年回報率和杠杆的關係：
其它指數在不同時期回報率和杠杆的關係分別為：
當然了，凱利公式中的三個參數都是動態的，不是固定不變的，因而最佳杠杆比例當然也應該是動態的。其中，期望回報率可以用固定值，利率的變化也比較慢，隨聯儲會利率調整而緩慢變化，而價格卻是每天都在不斷波動。
一般在實際應用中，許多基金和投資者會選擇用過去20天的價格波動計算出波動率， 然後年化成年化波動率， 再帶入公式中，對杠杆的比例進行動態調整。
建寧 2025/7/19
