七大數學難題7: BSD猜想(丟番圖方程問題)

　 
  難題七： 貝赫-斯維訥通－戴爾猜想 Birch-Swinnerton-Dyer (丟番圖方程問題)

從中學起, 我們就會問, 到底有多少組數(x, y, z) 可使x² + y² = z² 不定代數方程成立. 那時不用說, 講到數, 指的都是整數。

這方程有一個特點，隻含未知數的整數次冪，係數也都是整數，這類方程被稱為整係數代數多項式方程。公元3世紀，希臘數學家丟番圖Diophantus(200？～284？）在他的長篇巨著《算術》(共13卷, 經過1700多年，流傳至今的隻有六卷)裏, 對整係數代數多項式方程進行了大量研究, 後人把整係數代數多項式方程稱為丟番圖方程（Diophantus Equation）。

對於丟番圖方程，數學家感興趣的是它是否有整數解（或自然數解）。歐幾裏德證明了x² + y² = z²有整數解,並給出了完全解。然而2x－2y＝1則沒有整數解（因為方程的左邊為偶數，右邊卻為奇數）。
對於一般的丟番圖方程來說，判斷它是否有整數解是件極困難的事，其中最著名的例子就是費馬猜想，即xⁿ + yⁿ = zⁿ ,在n＞2時沒有非零整數解，直到1995才由Andrew Wils證明。
  
過去, 數學家的研究隻針對特定形式的丟番圖方程, 看它是否有整數解。有沒有辦法對一般的丟番圖方程是否有整數解進行研究呢？或者，是否可以找到一種普遍的算法，用來判定一個任意的丟番圖方程是否有整數解，從而一勞永逸地解決這類問題呢？這便是著名的希爾伯特第十問題。這樣的問題在數學上被稱為判定問題（Decision Problem），因為它尋求的是對數學命題進行判定的算法。
  
事實上，馬蒂雅謝維奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希爾伯特第十問題是不可解的!即，不存在一般的方法來確定該方法是否有一個整數解。
  
當解是一個Abel簇的點時，就是貝赫和斯維訥通－戴爾猜想 : ”有理點的群的大小與一個函數z(s)在點s=1的性態有關。並且，如果z(1)=0成立,那麽就存在無限多個有理點(解); 相反，如果z(1)=0不成立,那麽隻存在有限個有理點(解)。

到了今天, 數學家還是無計可施, 搞不出個所以然來。因此而成為實際難題之一.我們再看看數學家怎麽說的, 波奇和斯溫納頓-戴雅猜想(Birch and Swinnerton - Dyer Conjecture)：對有理數域上的任一橢圓曲線, 其L函數在1的化零階等於此曲線上有理點構成的Abel群的秩。

說的是什麽呀? 太艱澀了. 現在的數學總是事先一堆誰都不懂的”定義”,

有理數域::= 就是”所有有理數組成的集合”, (不過這些有理數要滿足一些條件, 那是數學家的瑣事, 在這我們不管它).
橢圓曲線::= 就是不定方程xⁿ + yⁿ = zⁿ , N=2時的情形.

Abel群的秩.: 群是一種代數結構, 就是一組運算規則; Abel群就是群的一種.

秩: 當群被簡化為一個”數”(x)時, 秩就是數x的絕對值|X|; 當群被簡化為一個”數組”(x,y, ….,z)時, 秩就是數組(x,y, ….,z)的維數|(x,y, ….,z)|; 當群被簡化為一個”矩陣”X時, 秩就是矩陣X的秩|X|; 對一般的群G, 其秩就是秩|G|.
注意到了吧?  xⁿ + yⁿ = zⁿ , 當n>2時, 不就是著名的費馬大定理嗎---當n>2時沒有整數解(Andrew Wiles已證) ?!, 哪它有什麽解呢? 正是一山還比一山高, 那就是 穀山-誌村猜想:

[對於一個橢圓曲線, 如果其序列和從模形式得到的序列相同, 該橢圓曲線被叫做”模化的橢圓曲線。穀山-誌村定認為: "所有有理數域上的橢圓曲線是”模化的"]。
這一猜想,其實比費馬大定理還大的定理也被Andrew Wiles等一幫人證明了的.….

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1. D. Hilbert’s No.10 Problem “Given a diophantine equation with any number of unknown quantities and with rational integral numerical coefficients: to devise a process according to which it can be determined by a finite number of operations whether the equation is solvable in rational integers.”  D. Hilbert’s No.10 Problem.