獅山巡禮
投資雜談
假設我和你賭一場：擲骰子，如果你擲到了六，你會得到你總身價的一百倍財富。如果擲到任何其他數字，你必須把你所有的財富都給我，包括你的退休金。
還有一個條件，我非常富有，就算經濟萎靡，你也不用擔心我的支付能力。
問題來了：你應該參與這場賭注嗎？
如果你是一個受到良好培訓的投資者，答案可能是當然，來吧。因為這場賭注，你的投資預期回報率接近16倍。
但你的直覺是什麽？也許你對你現在的處境很滿意；也許你擁有一棟房子、一輛好車和一架私人飛機。如果贏了比賽，你比別人富有一百倍，你會快樂一百倍嗎？如果你突然一無所有，你的幸福感會降低多少？
遊牧人基金的Nick Sleep提到過，當投資者評估一家企業的價值時，他們在潛意識中都有一棵決策樹，各個分支代表所有可能的未來以及它們發生的概率。股價可以被視為這些分支的概率加權價值的總和，形成期望值。短期投資者會依據這個期望值進行投資決策。但問題在於，這並不能準確反映未來的實際情況！公司的下一步並不是同時訪問所有這些分支，而是有時間的順序，會依次訪問其中的一個分支，然後再訪問下一個。
這個例子說明了思考風險情況時的一個常見缺陷，這可能會讓我們對過度風險視而不見。這是金融市場的一個重要問題。市場的投資者對這個模型不同思考可能會讓他們成為成功者，或者犧牲品。在這個投資的宇宙中，一切都是擲骰子遊戲。但是，對這種遊戲的風險和回報的分析給出了截然不同的答案。
以下，被很多人視為投資者在進行概率分析時容易犯的錯誤的經典分析。
就這個擲骰子的例子，我們將首先概述風險問題的經典處理方法，以及替代方案，最後討論這兩種方案的實際後果。
丹尼爾伯努利是流體力學的奠基者，發現了伯努利定律。同時，他也是概率論大師，他在概率論中引入正態分布誤差理論，成為我們經濟和金融學中分析的基本要素。
他在1738年為經濟學家現在所說的聖彼德堡悖論提供了答案時，就考慮到了我們的賭博遊戲。這個悖論問的是，一個理性的人應該為一張彩票支付多少錢，而彩票中獎的幾率很低。
他指出，僅靠數學並不能捕捉到擲骰子的情況。數學僅僅為我們產生了接近16倍的回報（確切的說是1583.33%）的數字，但它不能給這些數字帶來意義。因為根本原因是我擁有多少財富無關緊要，重要的是我的財富對我來說有什麽用處。我下周可能需要一次昂貴的救命手術，這限製了我冒險賭博的能力。或者我叫貝索斯，當我得到財富時，我隻是打個招呼，說些無關緊要的話，繼續在威尼斯的婚禮。
伯努利憑直覺認為，我總財富的有用性（即效用）的增加，應該與我已經擁有的財富成反比。如果我已經很富有了，再多掙一美元也不會有太大區別（盡管他也承認有例外，比如一個在監獄裏的富人，由於購買自由所需的額外成本，他的效用比獲得同等數額的窮人增加得更多）。從數學上講，這個假設相當於所謂的對數效用函數。在1738年之前，效用函數已經被確立為一個反映風險偏好的概念，並成為投資以預期回報和回報不確定性為特征的問題的標準答案。
伯努利的答案，對數效用，將數學與我們的直覺相協調。回到這個賭博，你財富的預期效用（或對數）是負無限的，這是對賭博的強烈警告。但由於他的觀點是直觀的，因此很容易有個例，例如包括像富人囚犯這樣的例外。因此，伯努利的同行們援引人類的個例，強調對問題的全麵處理超出了理性的範疇。但這聽起來更像是一個廉價的借口，而不是問題的答案。
約翰拉裏凱利在1956年伯努利處理這個問題218年後指出了一種不那麽脆弱的觀點，奇怪的是，這種觀點仍然處於經濟理論的邊緣。這次，我們用一樣的賭博，跟隨凱利，在沒有效用的情況下，專注於時間的不可逆性。由於我們考慮的是隨機性的情況，我們對一些預期的或平均的曉勇感興趣。因為如果我麽能反複玩這個遊戲，我們可能會預期多輪的表現會收斂到回報平均水平。
為什麽我們會期待這個？如果我讓你擲100次骰子，告訴我你得到了多少個6，你的答案大約是17個。或者，我們可以通過給100個人每人一個骰子，讓每個人擲一次，來衡量預期的六個骰子的數量。在這種情況下，我們會發現類似數量，大約是17個六。無論我們看時間平均值（你擲骰子很多次）還是總體平均值（很多人每人擲一次骰子），隨著試驗次數的增加，得到六的可能性將收斂到1/6。
兩個不同計算的平均值應該是相同的，這似乎微不足道這足以讓數學或物理學家質疑它。然而，並非所有情況都是這樣的；也存在非遍曆情況，這些情況往往與遍曆情況看似微不足道一樣違反直覺。
當我們談論預期回報和平均績效時，我們必須更加小心嗎？基於時間和基於遍曆/集合，實際上形成了兩個平均值，而不是一個。兩種表征投資的方法，兩個含義不同的量。讓我們依次考慮每一個，問哪一個與我們的情況相關，看看它們是否相同。
首先是集合平均值：當經濟學家或伯努利談到預期回報時，他們通常指的是一個平均值，該平均值是所有可能結果的總和，並由這些結果的概率加權。一個例子是我們遊戲的每輪預期回報率為接近16倍。
再深入一點，我們發現這種計算使用了無限多個相同機製的係統或我們宇宙的副本的集合的概念裝置。係綜平均同時考慮了宇宙可能進化到未來的所有可能路徑。遵循某個場景的集合中係統的分數是該場景的概率，最終的期望值，是宇宙所有可能的結果的概率加權平均。
危險就在這裏：如果我們實際上沒有同時玩很多相同的遊戲，那麽這樣的平均值隻有在與我們感興趣的平均值相同的情況下才具有實際意義。從這裏到未來可能有很多可能的道路，但最終實現的，隻會是其中一條。在我們的賭博遊戲中，你冒著損失全部財富的風險。這顯然不能同時進行多次，所以集合平均值並不是真正的相關數量。
對於基於時間的平均值：也許它與集合平均值相同，我們使用哪一個並不重要。換句話說，我們要問，這種情況是遍曆的嗎？考慮到時間的推移，你明天玩遊戲的能力取決於今天決定的後果，而下個月的能力則取決於其間的30天結果。另一方麵，合奏中一個玩家玩遊戲的能力並不取決於其他玩家的運氣。因此，集合平均回報率與時間平均回報率是兩個不同的東西：單筆投資的時間平均表現總是比集合平均表現差。
因此，不幸的是，真正的情況並不是遍曆所有可能性。在我們賭博遊戲中，我讓你冒著失去你所擁有的一切風險的事實並沒有給數學留下深刻印象。
它產生了一個預期的回報，似乎強烈建議你玩這個遊戲。但是你卻可能失去一切。這是因為集合包括你自己的少數幸運副本，它們的巨大收益很容易彌補你可能的損失。而在時間線上，這是不可能的。這就是我們所說的：
一失足成千古恨，再回頭是百年身
我們需要認識到，在分析一個賭注的時候，我們使用了一個不恰當的平均值，隱含地將遊戲視為我們可以與那些沒有實現的集合進行交互，並實現所有宇宙的加權平均回報。
如果你真的發現自己集合類的遊戲中，一定要玩這個遊戲。
但如果你隻是凡人，我建議你不要這樣做。這個遊戲的時間平均增長率，就像預期的對數效用一樣，是負無窮。如果你不相信我，連續玩幾次試試。時間視角強調，隨著時間的推移，我們切斷了從現在到未來的潛在宇宙的不同數量的分支，而不是效用的不同變化。視角的差異是微妙的，但具有深遠的影響。
我們考慮了一個極其危險的遊戲進行說明，但上述論點都不是針對它的。一般來說，時間視角揭示了可能被認為合理的風險上限。例如，假設我為你提供了一個類似但不同的遊戲：你可以擲骰子，無論你賭什麽，如果你擲6，我都會給你100倍的賭注。這種情況是不同的，因為你可以保留一些財富，以防你失敗。事實上，時間視角會告訴你投資約16%的淨資產，並繼續玩遊戲，在每一輪後將賭注調整到相同的比例。它還告訴你，隨著時間的推移，你將實現每輪約33%的增長率。
至關重要的是，如果你選擇冒更大的風險，你會得到更少的收益（當然，如果你的風險低於財富的16%，你也會得到更少）。
關於投資組合理論和風險管理的文獻主要使用集合平均值和效用的組合，忽略了時間，或者充其量將其影響裝入效用函數中。在這種方法中，時間不可逆性，即避免過度風險的不可動搖的物理動機，被任意指定的風險偏好所取代。隨著相應的學術框架的建立（大約從20世紀70年代開始），主要基於常識的監管約束逐漸放鬆。
在投資環境中，集合平均值和時間平均值之間的差異通常很小。然而，當風險增加時，當相關性阻礙多樣化時，當杠杆率加劇波動時，當資金變得便宜時，當資本要求放鬆時，這一點變得很重要。如果獎勵結構，比如獎勵收益但不懲罰損失的獎金，以及某些傭金計劃，為過度風險提供激勵，問題就會出現。
如果風險承擔的唯一限製來自表達風險偏好的效用函數，而不是時間不可逆的客觀論證，則尤其如此。換句話說，在沒有足夠限製的效用函數的情況下使用集合平均值將導致過度冒險和最終崩潰。聽起來很熟悉？
僅考慮時間並不能捕捉到投資者或社會的風險偏好。這些偏好總是取決於個人情況，包括動機，例如道德動機，這些動機確實超出了數學的範圍。但時間因素確實為明智的風險設定了客觀的上限，並在很大程度上使我們的直覺合理化。今天的風險管理往往隻依賴於投資者指定他們的風險偏好，或者說，效用函數，而沒有明確考慮時間的影響。
前幾天，我的銀行問我是哪種風險類型，顯然是在期待一個回答，比如我喜歡賭博，或者我總是戴著自行車頭盔。當我回複了一份關於時間的聲明，並如實地回答說我是那種喜歡看到自己的錢快速增長的人時，他們以為我在開玩笑。
