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【金碧輝煌的聖殿（1、支柱和邏輯體係）】

(2023-10-21 18:06:04) 下一個

金碧輝煌的聖殿（1、支柱和邏輯體係）

不知什麽原因，WXC中最近多處討論現代科學技術為什麽沒有在中國出現的問題。各方網友從多個角度去探討，比如曆史、科學史、文化傳統、思維方式，乃至人種等。而我，卻願意從一個具體的層麵去看這個問題，那就是for some reason，中國未能產生係統的數學和與之相關的邏輯體係，使得實證科學未能發展起來。

在中國，人們常把數學歸類於科學。實際上數學就是數學，Mathematics is not a part of Science. 數學是科學之母。數學的邏輯體係使得實證科學得以發展。

在2400年前，數學發展史上發生了一個大事件，就是古希臘數學家歐幾裏德（Euclid）結合前人的發現，創立了歐氏幾何學。他寫成的《幾何原本》(“The Elements”)共13卷，從5條公理（axiom）為支柱，以演繹法（三段論）作為主要邏輯推斷法，證明了465個命題（proposition）。建立起了一座幾何聖殿。

作為這個盛典的支柱的5條公理是 —

**從一點向另一點可以引一條直線。

**任何線段都能向兩邊無限延伸成一條直線。

**任何給定的線段，均可以其一個端點為圓心，以該線段作為半徑做一個圓。

**所有直角都相等。

**通過直線以外的一個點，存在且僅存在一條與該直線平行的直線。

【後來，數學家發現最後一條平行線公理可以作為一種選擇，而不當作必然的幾何真理，進而發展出全新的與日常空間經驗不同的非歐幾何（non-Euclidean geometry），這完全是另一個話題。】

《幾何原本》的意義不僅僅在於它闡述的幾何命題，更在於它的嚴密的邏輯體係，這為數學的其他分支（如代數、數論、解析幾何等）的發展打下了堅實基礎，也為以後科學技術的發展創造了條件。歐氏幾何顯示了理性思維的力量，使得後世真理追尋者都力圖效仿這樣的理論體係，比如經典力學和相對論，都是從幾條基本原則或定律演繹出來的體係。

《幾何原本》在數學史乃至人類思想史上有著無比崇高的地位。《幾何原本》是發行最廣、使用時間最長的書，共有二千多種不同文字的版本。它的印刷量僅次於《聖經》。

為什麽以演繹、歸納、反證等為手段的理性思維極端重要，我們可以以Pythagorean theorem （畢達哥拉斯定理，勾股定理）的證明來說明一下：中國古代的數學書《周髀算經》記述了“勾三股四玄五”，即在直角三角形中，如果兩直角邊長分別是3和4的話，斜邊長為5。這是畢達哥拉斯定理的一個特例，即3²+4²=5²，但如果沒有一個幾何的邏輯體係，要得到a²+b²=c²的一般證明，或輕易發現勾股數（如5-12-13，8-15-17，等等）都是做不到的。畢達哥拉斯定理有幾百種證明法。我們看一看基於公理體係的歐幾裏得證明 —

假定ΔABC是直角三角形，角A為直角。要證明該定理，就該圖來說，就是證明不論是怎樣一個直角三角形，兩個直角邊做成的正方形（藍色和粉色），其麵積之和等於斜邊做成的大正方形。

首先，通過5條公理，經過不複雜的工作，我們可以得到：1. 基於SAS的三角形全等定理；2.如果一個三角形與一個矩形同底同高，則麵積為其一半。上麵兩條作為定理，是基於公理的“真理”，也是進一步證明其他真理（這裏是畢達哥拉斯定理）的前提。

我們做3條輔助線：自A點向BC作垂線，交BC於K。延長AK，延長線交DE於L。連接AD。連接CF。根據上麵的定理（1）和圖中三個正方形的事實，我們得出結論ΔEBC與ΔABD是全等的。下一步，根據上麵定理（2），正方形ABFG的麵積是2x ΔCBF的麵積；同理矩形BDLK的麵積是2x ΔABD的麵積。於是就有突破了：既然兩個全等三角形有相同的麵積，那麽ABFG的麵積就一定與BDLK麵積相同。同理，正方形ACIH的麵積與矩形CELK相同 ……. 這樣，畢達哥拉斯定理就得證了！

伽利略說“數學是上帝用來書寫宇宙的文字。”隻有當人類逐漸理解了這個“文字”以後。才可能開始更大規模地改造世界。按照科學史的一般說法，人類曆史上共出現了三次重大的產業革命。第一次以蒸汽機、紡織機等為主體 ;第二次是以發電機、電動機、電話通訊等為主體技術 ;第三次的主體技術是計算機、原子能、自動化等。如果沒有對數學真理的掌握和它高屋建瓴的參與，400年前開始的第一次產業革命絕不可能發生 …… 因此，現代科學技術未能出現在中國的直接原因，也就不言自明了。

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另：

我認為，人類目前或許正處於第四次技術革命的前夜，這次革命可能是以AI、生物技術、量子計算和量子通訊等為主導，而其中數學的作用一如既往地巨大。

此外，數學對人類精神世界的作用也是不容忽視的。它影響著人們的思維方式、世界觀和藝術觀。嚴謹的邏輯思維和嚴密的推理，反映是人類對真理的追求，這種追求實證的嚴謹思維，對於擯棄愚昧、減少盲從和打破思想束縛是十分重要的。

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金碧輝煌的聖殿（1、支柱和邏輯體係）】 - 唐宋韻 - ♂ (7704 bytes) (61 reads) 10/24/2023 11:54:50 (4)