凱利公式還有兩個隱藏的推論，第一個是隻有勝率100%的賭局才值得all in，否則不存在必贏；第二個是隻有賭局的期望收益率為正數

凱利公式還有兩個隱藏的推論，第一個是隻有勝率100%的賭局才值得all in，否則不存在必贏；第二個是隻有賭局的期望收益率為正數才能使用凱利公式，否則是不值得投資的，更別提必贏。

“凱利公式”是有關賭博和投資的一個利益最大化策略。

 

1818黃金眼采訪受騙當事人

那麽，凱利公式究竟是什麽？它真的有所謂的必贏魔力嗎？

我們當然要從凱利這個人講起，他的全名叫小約翰·拉裏·凱利，是個美國人。二戰的時候在美國海軍當飛行員，戰後在德克薩斯大學讀了本科和研究生，1953年博士畢業。

凱利的博士論文是做材料研究的，別以後也找了一份比較對口的工作，但並不順利，沒有得到老板的賞識，到他30歲的時候，加入了貝爾實驗室。

在貝爾實驗室，凱利被認為是一個非常有趣的人，他加入槍械俱樂部，和妻子組隊打橋牌錦標賽，給敞篷車裝上彈射座椅……他也被認為是當時整個貝爾實驗室裏第二聰明的人，而第一聰明的是香農。

凱利公式也是他玩出來的一個意外。當時凱利正在研究電視信號的壓縮方法，結果卻研究起了賭博來，源頭是一檔電視答題節目的熱播，名叫《64000美元的問題》（The $64000 Question）。

節目本身和賭博其實不太相關，最多算是博弈，但因為節目的火爆，有人就開設了賭局，賭的是哪個選手能夠最終獲勝。可是由於節目在紐約錄製，住在美國東海岸的人可以看到實時直播，而西海岸的播出要延後3小時。

因此就有西海岸的賭徒利用電話提前獲得了節目信息，利用這種手段作弊賭博。凱利對此很感興趣，但是他不是想贏錢，而是希望研究一下這些作弊賭徒如何將利潤最大化的問題。

當然，這也說明東西海岸節目播出雖然有3個小時的時間差，但可能停止投注時節目還沒有播完，因此賭徒通過電話得知的信息有限的，但足以大大提高勝率。

《64000美元的問題》節目錄製現場

凱利就針對這種簡單的賭局推算出了一種利潤最大化的“必贏”公式。

f*=（bp-q)/b，其中f*為計算出來的凱利最優投資比例，b 為賠率，即期望盈利/預計虧損，p 為成功概率，q 為失敗概率，即 1-p。

舉個最簡單的例子，假設一個拋硬幣猜正反的簡單賭局，每局賭注1元，猜中了得2元，猜錯了輸掉1元，也就是賠率b=2，勝率p=0.5，帶入公式後算得f*=0.25。

也就是說，在這樣一個簡單的拋硬幣賭局中，如果所有的條件都不變，且能夠無限次重複的情況下，每次投入所持有本金的25%，可以在不輸光本金的前提下實現收益最大化。

同時，凱利公式還有兩個隱藏的推論，第一個是隻有勝率100%的賭局才值得all in，否則不存在必贏；第二個是隻有賭局的期望收益率為正數才能使用凱利公式，否則是不值得投資的，更別提必贏。

凱利的這個研究也引起了香農的興趣，建議他寫成文章發表到雜誌上，起初擬的標題為“信息理論與賭博”，但當時AT&T公司的高管認為可能導致大眾認為電話業務助長了非法賭博，最終在1956年發表的時候改為了“信息率的新解釋”。

老男神克勞德·香農

不過這篇文章在發表後其實並沒有激起多大的水花，直到一位叫愛德華·索普的賭徒出現。

索普其實也不是普通人，28歲就在麻省理工當教授了，他當時利用職務之便使用早期的計算機IBM 704計算了賭博遊戲21點的勝率變化。

後來又在香農的建議下讀了凱利的文章，了解到了凱利公式這種投資策略，並創造接下來的奇跡。

IBM 704計算機

在賭桌上，索普通過記牌的方法來判斷勝率，再運用凱利公式來計算自己投注金額，第一次從技術上打敗了賭場，在20世紀60年代，索普和一個職業賭徒用一個周末的時間就贏了11000美元（相當於今天約500000美元，以金價計算）。

後來索普把自己的研究和經曆寫成了暢銷書，他出名了也被賭場封殺了，但他後來成為了華爾街成功的對衝基金經理，而凱利公式也順帶進入了大眾的視野。

愛德華·索普和他的二十一點研究

但實際上，經典的凱利公式並不適用於二十一點遊戲，因為二十一點的勝率會隨著牌的變化而變化的。

二十一點的規則大多數人應該都了解，簡單來說就是手上的牌點數總和不得超過21點，否則爆掉輸掉賭注，剩下的點數大的為贏。

賭場的多人遊戲中，玩家除了要與其他對手競爭，還要與莊家競爭，而莊家按照規定的策略拿牌，當點數大於17時才停止拿牌，莊家的存在才能讓賭場保證賺錢。

索普的突破口就在莊家，當剩餘的牌裏小點數（2-8點）的牌越少，玩家的優勢也就越大，因為莊家很可能會因為拿到大點數的牌而爆掉。

在一些情況下，比如剩餘牌的數量較少，且點數較大，玩家的勝率能得到顯著的提高，此時才會符合凱利公式中期望收益率為正的前提，但仍然是變化的，隻能說索普應用了凱利公式的策略。

總之，凱利公式出名了，或許是最早被賭徒們奉為必勝的秘訣，或許是索普成為對衝基金經理後的成功被人馬後炮了，再加上後來流傳巴菲特和格羅斯都曾使用凱利公式來投資，也就難免有人把這些歸功於數學公式的神奇。

凱利公式（紅線）在100次硬幣賭局模擬中的收益

然而，經典凱利公式隻能說給投資者提供了一些策略建議，但現實中的投資行為要比假設的二元賭博遊戲複雜得多，盲目套用隻會適得其反。

賭博遊戲的規則是人為設定的，賠率和勝率都是一致或者可以計算的，並且遊戲可以無限次地重複下去。而現實生活中的投資，比如股票、基金、期貨，它們的賠率和勝率不僅未知且難以估算。

另外，簡單的二元賭博遊戲中，輸了會損失本金，而現實中的投資一般並不會完全虧損掉本金，因此凱利公式的一般形式是不能直接套用的。

還有更細節的問題，現實中的單筆交易金額並不一定是可以無限分割的，即便它滿足了凱利公式中的條件，也有可能因為剩餘資金低於最低交易額，比如股票交易中的一手，就會導致投資無法繼續下去，必須注入新的資金。

凱利公式在很多實際投資中並不是必贏的，甚至也不是收益最大的。

有學者做了一個簡單的投資模擬，假設有一個投資有60%的概率漲20%，同時有40%的概率跌20%，總體的期望收益率達到4%，算是不錯的投資。

套用凱利公式後，得出最佳的投資比例為資金的20%，進行100輪模擬交易後，所得為初始資金的1.98倍，而投資100%和拉了150%杠杆的模型分別為6.24倍和3.36倍。

可見凱利公式（紅線）的在模擬中的收益並非最大

當然在這個簡化的投資模擬中，凱利公式的收益更穩定，而後兩者的收益和風險也更大，這可能無法反應真實的交易，但也足夠說明凱利公式並非萬能。

不過話也不能說得太死，在滿足條件的遊戲或者投資中，嚴格遵循凱利公式理性投資的話是真的可以穩定獲益的，隻不過這樣期望收益率為正的穩定送錢局，又有哪個憨憨莊家願意開呢？

別忘了凱利最初的研究針對的可是用電話作弊的賭局，而索普則是用更先進的計算機鑽了賭場遊戲規則的空子，而大多數普通人隻會被騙子鑽了情感的空子。

最後，交友需謹慎，投資有風險，賭博毀一生。