鄒堅峰
彩虹那頭尋找狐狸的家
說的是，南美亞馬遜雨林中一隻美麗的蝴蝶，扇動一下翅子，引起一場席卷美國德克薩斯州的龍卷風。
可能嗎？假說那隻蝴蝶每扇一下，造一個龍卷，每分鍾扇二十下，三秒鍾一下，不多吧，那德州可就熱鬧了。當那隻蝴蝶扇動翅子的時候，亞馬遜雨林還有無數的翩翩蝶舞在擾動空氣，你怎麽就能指定是這隻而不是那隻蝴蝶在作用？彼此產生的擾動效應是疊加增強還是相互對消？再說在同一時刻，地球上發生擾動空氣的運動，大過蝶動的無計其數，僅把每人的呼吸算上，同一時間就有五十億個事件在發生。五十億個擾動源一起在作用，這龍卷風到底是聽誰的？
蝴蝶效應是個比喻，說起初的一件小事可以引發日後的大事。小到芝麻落地，大到乾坤倒轉。它是一個力學問題，也是個數學問題。現在人們喜歡把這個名詞用在社會學，經濟學，預測學上。譬如一個叫高盛的美國財務公司做假賬，可以引發全球金融風暴。
這名詞來自一位叫勞倫茲的美國老頭兒在七十年代的一項研究。
老頭兒研究氣象，將大氣運動方程簡化，得到一組方程，稱之勞倫茲方程。對這組方程求解，結果揭示了一係列詭異的現象，得到的解呈現不穩定，分叉，振蕩，突變，發散和混沌。
這些數學現象稱之非線性現象，對應的數學，屬於應用數學的一個重要分支----非線性力學。
老頭兒名噪一時，成了七八十年代美國氣象界唯一的一位科學院院士。他的入選竟與氣象無關，而是靠著數學上的這些發現成就功名。
非線性力學現象在自然界中非常普遍。這裏我試試把這個問題說清楚。
先說什麽叫線性力學。 “線性”就是一對一，自變量和因變量都是一次方，如一條由拉纖而行進的船，纖夫在岸上走一段，河裏的船就向前移動一段，纖夫是因，船隻是果，因果關係對等平穩，用數學函數圖來表達，其函數關係是一條直線。要知道船隻下一個時間在哪個位置，隻要查看纖夫的位置即可得出。
非線性現象不是這樣，一個因可以對應多個果，這些果往往會出現不可預測的放大和跳動，或者無果，譬如共振現象。當橋上有一支軍隊整齊走過，他們踏步的頻率如果接近橋體的固有震蕩頻率，橋體就會坍塌。這裏，軍隊是因，橋體是果，軍隊的踏步是一個觸發因子，經過共振這樣一個力學機製，使得橋體受力在瞬間被放大。從數學上看，用波動方程求橋的振幅，在方程中作為頻率的因子出現在分母上，當頻率趨近某個值，分母趨近零，其結果波幅變的無窮大，橋因此除了坍塌別無選擇。
最簡單的非線性函數用圖表示，是一條曲線，如拋物線。複雜一些的，則可能是帶有許多拐點的一簇曲線，這些曲線甚至呈現不連續的尖銳起伏，甚至是一堆淩亂無序的點，連曲線都找不到。當橫坐標變量有一個微小的變化，對應的縱坐標函數值可以產生斷崖式的跳躍。
回到蝴蝶效應。
大氣運動方程從牛頓第二定律出發，在球坐標係中建立一組複雜的非線性偏微分方程，複雜到無法直接求解。氣象研究卡在這裏，氣象問題變成了數學問題。許多氣象人，興趣從氣象轉向數學，勞倫茲就是最具代表的一位。
這組方程變量之間的關係表現出非線性力學的普遍現象，就是解對初始值的敏感性。當初始值稍有一點誤差漂移，求得的結果會相差十萬八千裏。即使像一隻蝴蝶扇動翅膀，產生對空氣的微弱擾動，也會使計算結果變得麵目全非。
在氣象實踐中，這些初始值就是靠觀測取得的氣溫，氣壓，風向，風速，這些數值通過遙感或百葉箱的讀數取得，有一個允許的誤差範圍，沒有人可以保證這些數據的完全精確。由此，人們曾經對中長期天氣預報，尤其是氣候的預報是否存在可行性表達過懷疑。
然而人們借助對這組方程的研究，得到了許多氣象現象的非線性力學解釋，從小尺度的台風，暴雨，到大尺度的季風突發，厄爾尼諾，氣候災變。
蝴蝶效應是個生動的比喻，它從數學上揭示了自然界中萬物存在相關性，這種相關性具有相互抵消或相互放大的機製。這種機製在上帝創造世界的時候就被設定在那裏，你可以從數學中看到它的存在。一旦有一個觸發事件生成，這種機製就會被激活，於是一些不可預測的結果就會發生。
