貓語閑聊生活中的悖論

貓語閑聊生活中的悖論

在生活中，我們會常常遇到一些令人疑惑現象。比如說，為什麽我等的那班公交車就總是不來。公交車時刻表上是10分鍾一班，我是隨機到達車站的，那我有可能等1分鍾，也有可能等10分鍾，照理說我應該平均等待5分鍾左右。可實際上我總是要等上差不多10分鍾。可能有人會說，這個叫幸存者偏差，你隻記得在運氣差的時候吐槽。

其實，這不是幸存者偏差，而是一個著名的“等待時間悖論”(Waiting Time Paradox）。在實際生活中，如果公交車平均10分鍾來一班，那你等車的平均時間並不是5分鍾，而是一定比5分鍾長。

我們來看個最簡單的情況。你計劃早上7點多從家裏出發，坐10分鍾1班的公交車去公司上班。假設公交車司機很厲害，擁有無視一切路況，絕對準時抵達公交站的超能力，那理論上這班車的到站時間應該是7點10分。再假設你是絕對隨機的在7點到8點之間的某一刻出現在車站。那你平均的等車時間就是5分鍾。

但事實上，很有可能前麵三輛車的司機因為時間早，路況簡單，乘客少，把車開得超快，而導致時間間隔變成了5分鍾。而後麵的司機師傅又因為肚子疼中途下車上了個廁所，也許因乘客過多，路上車多堵車等等，總之後三輛的間隔變成了15分鍾。於是這六輛車的到站時間就變成了7點5分，10分，15分，30分，45分和8點整。

雖然1小時還是6班車，但如果你7點到7點15之間到車站，你平均等待時間是2分半，如果你7點16到8點之間到車站，你平均要等待7分半。也就是說，你有1/4概率等2分半，還有3/4的概率等7分半。加權平均一下，你的平均等待時間變成了6分15秒，要比你5分鍾的等車期望值長了25%。

就是因為司機是會有的開的快，有的開的慢，那乘客的等待時間就一定會變長。這裏問題的本質是因為乘客坐上快車和慢車的概率是不相等的。慢車因為它慢，占據的時間就更多，所以乘客更有可能，落入等慢車的區間裏，從而拉長了你的等待時間。

如果司機是會越開越受到隨機因素的影響，那麽從起點站均勻出發的公交車，它們之間的距離就會越來越隨機。有時候幾輛車前後腳連著進站，有時候等死也不來。理論上可以證明，如果公交車非常隨機的到站，那兩輛車到站的時間間隔會服從一個指數分布(exponential distribution)。而1小時內到站的公交車數量會服從一個泊鬆分布(Poisson Distribution)，在這種情況下你的平均等車時間，就等於發車的時間間隔。也就是說10分鍾一班的公交車，你平均就得等10分鍾。聽著很反直覺，但這是數學上可以證明的事實。

還有一個和“等待時間悖論”非常相似的悖論，叫“友誼悖論”(Friendship Paradox）。它是說，你的朋友比你有更多的朋友。是不是會經常覺得你自己在大型聚會上，不知道怎麽跟別人說話，但你的朋友卻是左右翻飛，感覺跟誰都聊得個熱火朝天的。心裏有點鬱悶哈，我的朋友們就比我更受歡迎嗎？

直覺上你會覺得，我的朋友數和我朋友的朋友數，那應該差不多嘛。我們不都是就那麽幾個朋友嗎？但是平均來說，你的朋友大概率擁有比你更多的朋友。這個道理其實也非常簡單。因為朋友多的人，會更有可能是你的朋友。所以你的朋友，更有可能擁有比你多的朋友。

不過呢，你也不用為自己朋友少而感到失落哈。因為同樣的道理，你的敵人也擁有比你更多的敵人，這麽一想是不是有點安慰了呢？同樣的道理，你的前任也大概率擁有比你更多的前任。這就是所謂的“廣義友誼悖論”(Generalized Friendship Paradox）。

“等待時間悖論”和“友誼悖論”，看上去離得很遠，其實他們很像。坐不上公交車和交不到朋友，冥冥之中有同樣的本質。而他們背後就是所謂的“檢查悖論”（Inspection Paradox）。“檢查悖論”是一種統計現象，主要出現在不均勻分布的事件中。它指的是在隨機抽樣時，較大的數值往往更有可能被抽到，從而使得我們觀察到的結果有偏差。

比如一個學校裏，有人多的大班和人少的小班。你想調研一下，班級的平均人數，就隨機問了十個同學你班有多少人，再取平均。你覺得你的抽樣很隨機。但是因為大班人多，所以這十個人更可能來自大班，你的調研結果一定是偏大的。公交車悖論也是一樣，你是在用自己的時間，去感受公交車的平均到站時間，那你就有更大的概率在等站距時間更長的慢車。

事實上，生活中的“檢查悖論”無處不在。開車趕路的人總是覺得自己走哪條道，那條道就堵。航空公司覺得，自己的航班統計下來平均的上座率並不高。但乘客都覺得飛機很擠，因為有更多的乘客擠在那些很擠的航班裏。

“檢查悖論”提醒著我們，你看到什麽，取決於你在看哪。我們對世界的感觸，構成了我們對世界的認知，而我們是在盲人摸象。我們的經驗會因為觀察世界的方式而變化。有時候你以為在隨機公平地采樣，但其實你的采樣方式，卻成了一種偏見的來源。當你擠在飛機裏的時候，堵在路上的時候，等公交車的時候，我們應該認識到，現在的煩躁，隻不過是“檢查悖論”罷了。得知了原理之後，你是不是豁然開朗了？

寫到這裏，忽然想起，在2024年美國總統競選過程中，有一些形形色色奇奇怪怪的民調結果，是不是一次次地見證了“檢查悖論”？