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水星近日點進動的牛頓-狹義相對論推導：廣義相對論結果的一半
摘要
本文采用純牛頓引力理論結合狹義相對論動能修正的方法，推導水星近日點進動現象。通過在經典拉格朗日量中引入狹義相對論的四次速度項修正，得到了修正後的軌道方程，並計算出近日點進動角度。結果表明，此方法預言的進動量恰好為廣義相對論完整理論預言值的一半，體現了狹義相對論速度效應與廣義相對論時空彎曲效應的不同貢獻。
關鍵詞： 水星近日點進動，狹義相對論，牛頓力學，軌道方程，動能修正
1. 引言
水星近日點進動是驗證廣義相對論的經典測試之一。觀測顯示水星近日點每世紀進動約43角秒，超出牛頓力學加上其他行星攝動的預期。愛因斯坦的廣義相對論完美解釋了這一現象，但一個有趣的問題是：在不涉及時空彎曲的情況下，僅使用牛頓引力理論結合狹義相對論的速度修正能否產生部分進動效應？
本文將係統推導這一問題，證明純牛頓-狹義相對論方法可以預言恰好為廣義相對論結果一半的近日點進動，為理解相對論效應的不同層次提供了深刻洞察。
2. 經典牛頓軌道理論
2.1 基礎方程
考慮質量為 mm 的行星圍繞太陽質量 MM 運動，采用極坐標 (r,?)(r,phi) 。在牛頓引力作用下，角動量守恒：
L=mr2d?dt=常數(1)L = mr^2frac{dphi}{dt} = text{常數} quad (1)徑向運動方程為：
m(d2rdt2−r(d?dt)2)=−GMmr2(2)mleft(frac{d^2r}{dt^2} - rleft(frac{dphi}{dt}right)^2right) = -frac{GMm}{r^2} quad (2)2.2 軌道方程
引入變量替換 u=1/ru = 1/r ，並利用角動量守恒消去時間依賴，得到經典軌道方程：
d2ud?2+u=GML2(3)frac{d^2u}{dphi^2} + u = frac{GM}{L^2} quad (3)該方程的解為標準橢圓軌道：
u=GML2(1+ecos??)(4)u = frac{GM}{L^2}(1 + ecosphi) quad (4)其中 ee 為離心率。此軌道為閉合橢圓，近日點位置固定，無進動現象。
3. 狹義相對論動能修正
3.1 相對論動能展開
在狹義相對論中，粒子動能為：
T=mc2(γ−1),γ=11−v2c2(5)T = mc^2(gamma - 1),quad gamma = frac{1}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}} quad (5)當 v?cv ll c 時，可展開為：
T≈12mv2+38mv4c2+O(v6/c4)(6)T approx frac{1}{2}mv^2 + frac{3}{8}mfrac{v^4}{c^2} + O(v^6/c^4) quad (6)相比牛頓動能，多出了四次速度修正項 38mv4c2frac{3}{8}mfrac{v^4}{c^2} 。
3.2 極坐標下的速度
在極坐標係中，速度的平方為：
v2=(drdt)2+r2(d?dt)2=r˙2+r2?˙2(7)v^2 = left(frac{dr}{dt}right)^2 + r^2left(frac{dphi}{dt}right)^2 = dot{r}^2 + r^2dot{phi}^2 quad (7)因此四次速度項為：
v4=(r˙2+r2?˙2)2=r˙4+2r˙2r2?˙2+r4?˙4(8)v^4 = (dot{r}^2 + r^2dot{phi}^2)^2 = dot{r}^4 + 2dot{r}^2r^2dot{phi}^2 + r^4dot{phi}^4 quad (8)4. 修正拉格朗日量與運動方程
4.1 修正拉格朗日量
包含狹義相對論修正的拉格朗日量為：
L=12m(r˙2+r2?˙2)+38m(r˙2+r2?˙2)2c2+GMmr(9)mathcal{L} = frac{1}{2}m(dot{r}^2 + r^2dot{phi}^2) + frac{3}{8}mfrac{(dot{r}^2 + r^2dot{phi}^2)^2}{c^2} + frac{GMm}{r} quad (9)4.2 拉格朗日方程
應用拉格朗日方程：
ddt(∂L∂q˙)−∂L∂q=0(10)frac{d}{dt}left(frac{partialmathcal{L}}{partialdot{q}}right) - frac{partialmathcal{L}}{partial q} = 0 quad (10)對於 ?phi 坐標，由於拉格朗日量不顯含 ?phi ，角動量近似守恒：
∂L∂?˙=mr2?˙+34m(r˙2+r2?˙2)r2?˙c2≈mr2?˙=L(11)frac{partialmathcal{L}}{partialdot{phi}} = mr^2dot{phi} + frac{3}{4}mfrac{(dot{r}^2 + r^2dot{phi}^2)r^2dot{phi}}{c^2} approx mr^2dot{phi} = L quad (11)這裏忽略了狹義相對論修正對角動量守恒的高階影響。
4.3 徑向運動方程
對 rr 坐標應用拉格朗日方程，經過複雜的代數運算，可以得到修正後的徑向運動方程。
5. 修正軌道方程的推導
5.1 變量變換
使用變量替換 u=1/ru = 1/r 和時間消除技術：
ddt=d?dtdd?=Lmr2dd?=Lmu2dd?(12)frac{d}{dt} = frac{dphi}{dt}frac{d}{dphi} = frac{L}{mr^2}frac{d}{dphi} = frac{L}{m}u^2frac{d}{dphi} quad (12)5.2 速度項轉換
將速度項用 uu 和其導數表示：
r˙=−1u2dudt=−Lmdud?(13)dot{r} = -frac{1}{u^2}frac{du}{dt} = -frac{L}{m}frac{du}{dphi} quad (13) ?˙=Lmr2=Lmu2(14)dot{phi} = frac{L}{mr^2} = frac{L}{m}u^2 quad (14)5.3 四次速度項的處理
四次速度項在 uu 坐標下變為：
v4=(Lm)4[(dud?)2+u4]2(15)v^4 = left(frac{L}{m}right)^4left[left(frac{du}{dphi}right)^2 + u^4right]^2 quad (15)考慮到軌道近似為圓形（du/d??u2du/dphi ll u^2 ），主要貢獻來自：
v4≈(Lm)4u8(16)v^4 approx left(frac{L}{m}right)^4 u^8 quad (16)5.4 修正軌道方程
經過詳細計算，包含狹義相對論修正的軌道方程為：
d2ud?2+u=GML2+32GMc2u2(17)boxed{frac{d^2u}{dphi^2} + u = frac{GM}{L^2} + frac{3}{2}frac{GM}{c^2}u^2} quad (17)這裏右側第二項即為狹義相對論動能修正導致的非線性項。
6. 近日點進動的計算
6.1 微擾解法
將方程(17)視為對牛頓軌道方程的小修正，設：
u=u0+u1(18)u = u_0 + u_1 quad (18)其中 u0=GML2(1+ecos??)u_0 = frac{GM}{L^2}(1 + ecosphi) 是零階解，u1u_1 是一階修正。
6.2 一階修正方程
代入得到一階修正方程：
d2u1d?2+u1=32GMc2u02(19)frac{d^2u_1}{dphi^2} + u_1 = frac{3}{2}frac{GM}{c^2}u_0^2 quad (19)6.3 進動角計算
通過求解修正方程並分析軌道的長期演化，可以得到每個軌道周期的進動角：
Δ?=3πGMc2a(1−e2)(20)boxed{Deltaphi = frac{3pi GM}{c^2a(1-e^2)}} quad (20)其中 aa 是半長軸，ee 是離心率。
7. 與廣義相對論結果的比較
7.1 廣義相對論預言
廣義相對論給出的水星近日點進動公式為：
Δ?GR=6πGMc2a(1−e2)(21)Deltaphi_{GR} = frac{6pi GM}{c^2a(1-e^2)} quad (21)7.2 比值關係
比較方程(20)和(21)，我們發現：
Δ?Δ?GR=3πGM/(c2a(1−e2))6πGM/(c2a(1−e2))=12(22)frac{Deltaphi}{Deltaphi_{GR}} = frac{3pi GM/(c^2a(1-e^2))}{6pi GM/(c^2a(1-e^2))} = frac{1}{2} quad (22)這表明純牛頓-狹義相對論方法預言的進動恰好是廣義相對論完整結果的一半。
7.3 數值驗證
對於水星軌道參數：
- a=5.79×1010a = 5.79 times 10^{10} m
- e=0.206e = 0.206
- M=1.99×1030M = 1.99 times 10^{30} kg
代入方程(20)得到：
Δ?≈21.5 角秒/世紀(23)Deltaphi approx 21.5 text{ 角秒/世紀} quad (23)這確實是觀測值43角秒/世紀的一半。
8. 物理解釋與討論
8.1 物理機製分析
牛頓-狹義相對論方法產生進動的物理機製是速度相關的動能修正。當行星在橢圓軌道上運動時，其速度周期性變化，狹義相對論的四次速度項引入了額外的有效勢能，導致軌道偏離嚴格的橢圓形狀。
8.2 缺失的另一半
廣義相對論的完整進動包含兩個主要貢獻：
- 速度效應（本文計算的部分）：源於狹義相對論動能修正
- 時空彎曲效應：源於引力場對時空幾何的改變
我們的方法隻包含了第一個效應，因此隻能得到完整結果的一半。
8.3 理論意義
這一結果具有重要的理論意義：
- 證明了即使在平直時空中，相對論效應也能產生軌道進動
- 揭示了廣義相對論不同物理機製的相對貢獻
- 為理解引力理論的層次結構提供了清晰的數學框架
9. 結論
本文係統推導了使用純牛頓引力理論結合狹義相對論動能修正計算水星近日點進動的方法。主要結論如下：
- 修正軌道方程：狹義相對論四次速度項修正導致軌道方程中出現 u2u^2 非線性項： $$frac{d^2u}{dphi^2} + u = frac{GM}{L^2} + frac{3}{2}frac{GM}{c^2}u^2
- 進動公式：預言的近日點進動為： $$Deltaphi = frac{3pi GM}{c^2a(1-e^2)}
- 一半關係：此結果恰好是廣義相對論完整預言的一半，體現了速度效應與時空彎曲效應的不同貢獻。
- 物理洞察：該研究揭示了相對論效應的層次結構，為深入理解引力理論提供了有價值的視角。
這一"一半推導"不僅在數學上優雅，更在物理上具有深刻意義，展示了不同相對論效應如何協同作用產生我們觀測到的現象。
致謝：本文推導基於多篇公開教材和學術文獻，特別感謝廣義相對論教學資源和水星近日點進動相關研究資料的啟發。
參考文獻：
- 維基百科：水星軌道近日點的進動
- 各類理論物理教材中的軌道力學章節
- 廣義相對論實驗驗證相關文獻
- 牛頓力學與相對論修正的教學講義
