時空階梯理論,破解百萬美元千禧年問題：楊-米爾斯存在性與質量間隙

楊-米爾斯存在性與質量間隙

楊－米爾斯規範場論與質量間隙是理論物理中規範場論的一道基礎問題，必須在數學上嚴格證明楊－米爾斯場論存在（即需符合構造性量子場論的標準），亦要證明它們有質量間隙，即模型所預測的最輕單粒子態為正質量。2000年，克雷數學研究所懸賞各一百萬元的數學七大千禧年難題，其中一道題為楊－米爾斯規範場論同質量間隙。^[1]

背景

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楊振寧

在物理學中，楊-米爾斯理論是一種基於非阿貝爾群的量子規範理論^[2]:508。20世紀初，物理學家期待量子理論和經典場論兩種思想可以融合^[3]:82-83。在這一方向上，最早出現的理論是英國物理學家保羅·狄拉克1927年創立的量子電動力學，簡稱QED^[2]:7，它提供了對電磁現象的量子描述，成為麥克斯韋理論的一個量子版本^[4][5]，能極為精確地解釋電磁場和電磁力。自然而然的，物理學家期待後續的理論能將電磁現象與弱力和強力一道統一起來^[6]:2。

1954年楊振寧和羅伯特·米爾斯提出了楊-米爾斯理論^[7]，它是對QED的進一步推廣^[2]:481。在此基礎上統一電磁力和強弱相互作用時，物理學家發現這一理論的“無質量性”成為症結所在^[3]:88。經典楊-米爾斯理論的核心是一組非線性偏微分方程^[8]，楊-米爾斯存在性與質量間隙難題旨在證明楊-米爾斯方程組有唯一解，並且該解滿足“質量間隙”這一特征^[3]:90，其官方表述為：對任意緊致、單的規範群，四維歐幾裏得空間中的量子楊-米爾斯理論存在一個正的質量間隙^[6]:6。質量間隙問題是量子色動力學理解強相互作用的理論關鍵，關乎理論物理學的數學基礎，其解決將意味著一個數學上完整的量子規範場論的產生^[6]:5。

這一問題的解決前景不甚樂觀，愛德華·威滕也直言“（它）對現在而言實在是太難了^[3]:92。”物理學家普遍相信質量間隙的存在，但至今未能找到確鑿的數學和物理學證明^[9]。

楊-米爾斯存在性與質量間隙問題的官方陳述由亞瑟·賈菲和愛德華·威滕寫出^[6]。

目前所知多數非凡（nontrivial）──即有相互作用──的4維量子場論皆為有截斷能標的有效場論。因多數模型的beta-函數是正的，似乎大多數這類模型皆有一支朗道極點，因完全不清楚它們有沒有非凡紫外定點。故此，若每一scale上皆定義有這樣的量子場論^[a]，它隻可能為單純的自由場論。

然而，有不可交換結構群的楊-米爾斯理論（無誇克）例外。它有一種性質稱為漸近自由，指它有一平凡（trivial）的紫外定點。因此，可以寄望它成為非凡的構造性（constructive）四維量子場模型^[b]。

非交換群楊-米爾斯理論的色禁閉性已有符合理論物理嚴謹性的證明，但未有符合數理物理嚴謹性的證明^[c]。基本上，換言之，過了QCD尺度（或者這裏應稱為禁閉尺度，因為無誇克），那些色荷粒子被色動力學的“流管”連著，所以粒子間有線性勢（“弦”張力x長度）。所以膠子之類自由賀粒子不可能存在。若沒有這些禁閉效應，應見到零質量的膠子；但因它們被禁閉，隻見到不帶色荷的膠子束綁態——膠波。凡膠波皆有質量，所以期望質量間隙的存在。

格點規範場論的結果令不少工作者相信，這個模型真的有禁閉現象（由Wilson圈的真空期望值的下降的“麵積規律”(area law)看出），但這項結果還沒有符合數學的嚴慬性。