關於平行線相交的問題，答 trivial 和 Numero

我說的一個故事

 Lobachevsky上中學的時候，發現可以讓平行線相交 建立新的幾何學。被老師斥責無可救藥。他苦惱至死，死後12年公認 - 兄貴 

我寫了這麽一句後，被兩個網友質疑：

• 更正一下：是線外過一點可以有不止一條平行線。任何幾何學中“平行線”的定義都是不相交的線。 - trivial - 

你那個Lobachevsky的典故理解錯了，給你批判一下 LOL

來源: Numero 於 2023-03-20 13:23:04 [檔案] [博客] [舊帖] [給我悄悄話] 本文已被閱讀： 44 次 (469 bytes)

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任何幾何學中平行線的定義是：如果兩條線沒交點則稱為平行。

歐氏幾何中是這樣：“過線外一點有且隻有一條線和已知線平行”

而非歐氏幾何（Lobachevskian geometry），也就是雙曲幾何，平行線多了而已

是這樣的： “過線外一點至少有兩條不同的線和已知線平行“

其實可以有無數多條。。。

這兩位應該是大學數學教授，所以我覺得應該回答一下。

首先我說的是 一個眾所周知的事實，不知道他們反對什麽，網上可以查，類似的很多：

https://k.sina.com.cn/article_6501934712_1838ba67800100rviq.html?from=science 

首先我說的沒有錯。再來看他們的論點：

trivial說的，任何幾何學中“平行線”的定義都是不相交的線 反而是錯的，諾巴切夫斯基和黎曼都是從質疑平行線是否相交開創的非歐幾何的研究，而且平行線相交也是一種流行說法，見：

Numero 給了歐幾裏得幾何和雙曲幾何的平行線定義。歐幾裏得幾何是處處曲率為1 的特別特殊的幾何，雙曲幾何是無數非歐幾何中一種特別的幾何，羅巴切夫斯基重點研究了雙曲幾何，黎曼重點研究了橢圓幾何。這些都是一些特例，隨便說一句，雙曲幾何可以引無數條平行線。你給的兩個特例定義，完全不能否定從平行線相交的質疑。而且橢圓幾何的平行線，確實是相交的，如地球經線相交在南極北極。

在非歐幾何中，不存在直線的概念，所以，我從來不用平行線這個詞。非歐幾何中最短的是測地線，距離的係數是度規，從度規可以計算曲率，各個地方的曲率可以完全不同，甚至難以計算。歐幾裏得幾何的平行線，在微分幾何中，平行線相當於是曲麵或者流形上的於測地線成90度角的係列線，因為測地線是曲率最小的曲線，沿著測地線平移的向量的大小和方向不會改變，對於給定的度規張量，這些“平行線”可以通過求測地線的微分方程來求解。

所以，Numero 的兩個定義是可取的，但是不全麵，更沒有動搖我的說法。而trivial是完全不靠譜的。