謝謝各位對我前麵貼子的斧正，不一一致謝了。
回答一下幾個網友的問題：小孩初中數學學完微積分後，高中再學些什麽？
先說個趣事，天普大學博士畢業，在普林斯頓高等研究院 和 伯克利數學研究所 做博士後，最後在紐約大學 任教授的 張高勇 於 1994年 在 Annals of Mathematics （數學領域最權威的刊物）發表著名論文，證明了著名的Busemann-Petty問題在n=4 下成立！轟動一時，被譽為 幾何學此領域中最有意義的結果。
1999年，還是在最權威、最重要的數學年刊 Annals of Mathematics 上，張高勇 又發表了一篇論文，證明了Busemann-Petty問題在n=4 下 不成立！ 再次轟動一時。
可見，什麽才是嚴格的，顛撲不破的數學證明？ 數學證明的嚴格性 應該不是小事，數學學到一定程度，計算就退居二線了，數學證明才是最基本的工作 和最重要的技能。
有些家長，或者小孩，把學習當作百米競賽，隻爭朝夕，隻想拚命的把大學，甚至研究生的數學都趕快學完。這種精神嘖嘖稱讚，也沒什麽不好。但不一定對所有小孩都適用。
小孩初中數學學完微積分後，高中可以按照有些去學抽象代數，實複分析，如果你喜歡。我想還有一些其他選擇，比如 學些 更 foundation 的東西，比如 數學邏輯，比如 set theory, type theory, category theory 等等。還有就是 學習如何做證明題，即使為了今後40萬什麽的，這些可能更有用，也更容易。
我發現，尤其是美國的中學生，幾乎都不會做數學證明，如何證明 1+1 = 2？ 這裏不是指哥德巴赫猜想，而是如何從其他公理出發，得出 1+1=2 這個結果。記得羅素在 principia mathematica中花了很多頁，從加法公理證明了 1+1=2. 而且並不難，但是絕對是非常好的數學素質教育，高中生是不是可以學習一下這個。
數學證明有很多方法，比如 proof by contraposition, 就是通過證明命題的逆反命題，從而證明了原命題。我發現 大多數美國中學生並不會。
還有 反證法，proof by contradiction, 從否命題推出錯誤結論，從而得證。
還有數學歸納法，中國中學很強調，美國中學好像沒學。也許是裏麵的嚴格性讓美國教師 望而卻步。
還有暴力法 brute force，曆數法 complete induction，窮盡法 Proof by exhaustion
加上統計法，概率法，組合法。。。構造性證明法，非構造性證明法。。。
近年的計算機輔助證明法，比如地圖的四色定理。
最後上2道題，不是證明題，而是模擬數學研究中，證明（或者反證）2個猜想：
- 假設 n 是任意正整數，如果 n 是偶數，除以2 （n-> n/2)，如果是奇數，乘以3再加1 (n->3n+1)。最後的序列是否將是 4，2，1，4，2，1.。。。。 證明或者反證
- 假設 n 是 正的奇數，是否有：
這裏和數學競賽不同的是，數學競賽是證明題，命題肯定是成立的。你的任務就是證明它成立。在實際研究中，比如哥德巴赫猜想，他隻是一個猜想。
如果高中生對上麵猜想感興趣，不妨可以做做。起碼可以鍛煉數學素質、培養數學興趣。
太難的課，往往會扼殺小孩的興趣。我有個親戚小孩在馬裏蘭上初中，他們學校自稱是第一個在初中就教編程的，有Java課，有 Python課，很豐富，親戚小孩很感興趣，也上了不少。後來他們高中畢業上大學的時候，他並沒有選 CS，我問為什麽？ 他說，他們很少有人選CS，因為絕大部分同學覺得 編程太難了，根本學不懂，不是學 CS的料，我想，這也許是 拔苗助長的一個例子。有人初一就是編程天才，但大多數學生在初一就學編程，反而產生了反感。
