半畝泥塘
兼營墨爾本中華京劇社
肺炎模型預測
(Feb 4 2020)
中國新型冠狀病毒肺炎仍在中華大地肆虐，昨天(2月3日)的統計顯示累計感染病人已經超過兩萬人，“治愈”人數近日呈現超過死亡人數的積極傾向，許多人開始期待“拐點”的出現。今用官方公布的數字做一數學模型，試圖來推測疫情的變化發展。
病毒在大量人口中的傳播可類比於“一級反應”，傳播速度正比於處於傳染期的病人數：
dN/dt = k N
其中的速度常數 k 可看作每個病人每天感染新病人的數目。這是一極簡近似，可做如下修正改進：
(1) 病人的傳染期是有限的，假定其為 t2 , 病程超過 t2 的病人(痊愈或死亡)將不再具有繼續傳染的可能性，故
dN/dt = k (Nt – N t-t2 )
(2) 該肺炎開始流行後，逐步引起政府，衛生機構和民眾的注意，特別是1月23日以後，帶有強製性的隔離和封閉措施，對進一步的病毒傳播造成有效幹擾，這體現在反應速度常數上，起到對反應速度的抑製效果。
(3) 當然這種抑製效果不是即時的，取決於貫徹隔離措施的手段和民眾的接受和自覺程度，具體實行中體現為逐步強化的抑製效果。(現實中抑製不可能是徹底的，本模型忽略剩餘傳染性，假定在足夠長的時間段，傳染性完全消失。)
dN/dt = k exp( - 0.693*(t – t0)/t1) (N – N t-t2 )
式中 t0 為幹擾響應的滯後，t1 為隔離感染病人的半衰期，即經過時間 t1 後有一半病人被切斷傳染途徑，從而失去傳染性，
該模型中的速度係數 k 是通過擬合1月15日起前十天“無幹預”期的報告發病人數並參考後期發展而得到的。
圖1 是按照式(1)擬合的初期十天的數據。
模型計算用離散積分
Ni+1 = Ni + (dN/dt) Dt
其中 t0, t1 , t2 皆取10天。分析表明預測結果受 k,t0, t1 影響較大，對 t2 變化不敏感(t2 >10)。
圖2 是預測的累計病例和有活力病例數 [Plots are updated as data become available.]
圖3 是預測的日發病率，即每日新增病例。[Plots are updated as data become available.]
圖4 是每日的相對發病率，即每日新增病例與前日累計病例之比。[Plots are updated as data become available.]
權做大膽擬測如下：
(1) 累計感染病例可能達到十七萬，未愈未亡病例將有一峰值，大約在2月18日前後，達到7至8萬病例。
(2) 在此之前，新增病例於2月12日前後達到日增接近8000人。
(3) 在采取強製隔離措施後，每日病例相對增加已逐步減少，目前(2月4日)大約20%。2月18日前後將跌至5%以下，同時病人數開始逐步減少。
Notes added Feb 9.
補充了2月4-8日的公布數字。最新數據似乎表明新增病例已開始呈現下降趨勢, 模型尚未為此而修改。初步估算顯示, 如將表征隔離措施有效性的參數(半衰期, 目前取值為10天)相應調減, 即可擬合公布的數據走勢。綜合考慮, 暫不做此修正。
Notes added Feb 13
更新了數據對比, 數據為國家衛健委公布, 截至2月12日。
2月4日之後的數據似乎顯示新增病例呈下降趨勢, 在回答朋友問題時, 我曾說過這些數值多半是"畸形統計"的結果。12日突然增加的新增病例數值從某種意義上印證了我的懷疑。
12日的反常值可與其前1, 2, 3 ...日的數值逐日平均, 結果也標在圖中以利比較。
對累計病例, 做了相對樂觀(k=0.5, t_1 = 7 天) 和相對悲觀(k=0.44, t_1 = 14) 的兩種預測, 結果如圖示。
2月3日的擬測今日似乎仍然有效。
Notes Feb 17
目前戰疫已經普遍看作是一場戰役，第一回合基本上是由病毒主導戰場，第二回合自武漢封城開始，蔓延至多市封城，看態勢，病毒的進攻勢頭好像暫時被遏製。隨著各地返程複工，第三回合將逐步展開，如何有節製有控製地恢複人員流動和接觸，避免新一輪感染的指數增長，是下一步戰役的關鍵。有利因素一，可能病毒的毒性在減弱；二，有針對性的特效藥通過第二回合爭取來的時間也許能逐步投入戰場。
其1月7日就親自指揮，親自部署，親自隱瞞！
禍害全國老百姓，還禍害了全世界！
應馬上下台謝罪！