屠龍英雄和二次數學危機
寫給那些，喜歡數學和不喜歡數學的人們
寫給那些，了解數學家和不了解數學家的人們
實數，一條見首不見尾的神龍，它象一個幽靈一直在數學武林中徘徊，很久以來，數學高手們隻是通過幾何的直觀了解它，至於它的內部結構了解甚少，它內部含有哪些類型的數，它們各有多少？神龍實數到底是周身通透連續的，一個數一個數緊挨著稠密地排列著的，還是象羊肉串，一段一段地串在一起的，這個問題困繞了數學武林高手幾個世紀。
數學大神牛頓和萊布尼茨在十七世紀創建的微積分，由於運算的完整性和應用的廣泛性，微積分成為解決數學和物理問題的重要工具。一路走來，解決了不少數學，物理的實際問題，但忽視了嚴密的數學理論，微積分的基礎很不牢靠，最後卡在了微分，積分，和求導中極限的無窮小量是什麽的關口，究竟等於零，還是一個什麽數？這不僅關係到微積分基礎，也關係到整個數學大廈基礎的問題。終於到了必須麵對和解決實數這條神龍的結構問題，也就是數學的二次危機。
雖然經過數學大師柯西(法國數學家1789 - 1857)和魏爾斯特拉斯(德國數學家1815 - 1897)和其他一些數學家的努力，用他們創造性的工作，指出無窮小量和無窮大量都不是一個數而是一個變量，用ε-δ的數學語言定義了極限，雖然解決了一些問題，但實數的 連續性問題還是沒有根本解決。
此時有兩位屠龍英雄橫空出世了，一位是德國數學家戴德金(1831 - 1916),他手執妖刀， 創造了戴德金分割法，象現在做微創手術一般，在神龍實數任何精細的部位用妖刀切割下去，然後觀察分析刀口兩邊的數，用邏輯推理證明了實數這條神龍確確實實是連續的(此處略去五百個字)，而不是象羊肉串，一段一段地串在一起的。另一位是德國數學家康托，他的方法與戴德金的不同，他創建了集合論，仿照“庖丁解牛”之法，把神龍大卸若幹，分門別類的聚在一起，證明了實數這條神龍不僅可以分為，自然數，有理數，無理數，代數數(它們是整係數代數方程的根)，還有超越數(如е和π)等集合，而且它們是有序地稠密連續地排列著的。雖然這些集合裏的數都有無窮多個，但無窮之間也有差別，康托指明了超越數的個數比無理數要多得多，無理數的個數比有理數要多得多。無窮既有可數的無窮，象自然數全體集合，有理數全體集合，也有不可數的無窮，象無理數全體集合，和整個實數集合。康托先生破天荒地把無窮分成了不同等級，無窮的最低等級----可數無窮 名為阿列夫零(數學符號是ℵ0)。如果兩個無窮集合相互之間能夠一一對應就稱為等勢。 等勢的意思就是兩個集裏的元素是“一樣多”。比如，康托先生用了這樣的辦法，把整條龍的肉一寸一寸地切下來，排成隊，編好號，把雙數號的肉組成一個集合，整條龍的肉組成另外一個集合，然後用一一對應方法，
雙數集 總體集
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8 ← → 4
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結果雙數集中的肉竟然和整條龍的肉一樣多，局部等於整體，用有限的眼光是不可思議啊! 用無窮的概念卻是順理成章。
十九世紀末，在戴德金，康托和柯西，魏爾斯特拉等數學家建立了完備的(連續的)實數理論，而且在這基礎上，導出六大完備性定理，確界原理，單調有界原理，區間套定理，海涅-博雷爾有限覆蓋定理，柯西收斂準則，魏爾斯特拉斯聚點定理（波爾查諾致密性定 理)，為微積分奠定了牢固的基礎，從後克服了二次數學危機。而康托的“連續統猜想”更是開辟了數學的新時代。人們可以對“集合宇宙”有一個這樣的感性認識：它是“天外有天”，是“數學界的黑洞”。康托創建的集合論是現代數學的基礎，許多新的學科在它的基礎上產生和發展起來的，如群論、環論、拓撲、泛函等。(夕陽語曰：康托的“連續統猜想”這問題提出後，許多數學家想要證明，但是不能成功。直到1963年在美國斯坦福大學讀書的25歲青年保羅·柯恩（Paul Cohen）解決了這個問題，他的證明隻有五頁長 登在《美國國家自然科學院會訊》〔Proc．Nat．Acad．Sci．U．S．A．50（1963），1143—1148〕) 。
正是這樣，數學武林迎來了群星燦爛，百星相爭的二十世紀。
當巴黎聖母院的鍾聲響起，迎來了二十世紀第一次數學武林大會，在萬眾矚目中，德國哥廷根學派全盛時期的掌門人、數學武林中的“無冕之王”、“數學界的亞曆山大”希爾伯特出場了，他首先高度讚譽康托的集合論“是數學天才最優秀的作品”，“是人類純粹智力活動的最高成就之一”，“是這個時代所能誇耀的最巨大的工作”。然後發表了題為《數學問題》的著名演講，他打開他深居廟堂，苦心研究的希氏寶典，亮出了他研究的二十三個新套路，套路之廣，遍及分析，代數，幾何，數論各大流派，套路之新，前所未聞，套路之難，難於上青天。盡管如此，各路武林高手聽了卻歡呼雀躍，個個磨拳擦掌，躍躍欲試。(夕陽語曰：希爾伯特問題中的大多數在20世紀中得到了解決和部分解決。還有一些我們熟知的問題，如黎曼猜想及哥德巴赫猜想和孿生素數猜想，一般代數數域的阿貝爾擴張等沒有解決。)
武林大會的地主是法國最偉大的數學家之一，理論科學家和科學哲學家亨利·龐加萊。龐加萊被公認是19世紀後和20世紀初的領袖數學家，是繼高斯之後對於數學及其應用具有全麵知識的最後一個全才數學家。他對數學、數學物理和天體力學做出了很多創造性與基礎性的貢獻。他提出的龐加萊猜想是數學中最著名的問題之一。最後，他作了總結發言：“(數學)精神具有創造符號的能力，從而正是精神，構造了隻是符號特殊係統的數學連續統。其能力隻是受到避免矛盾的必要性的限製；但是，隻有經驗向精神提供刺激物，精神才能利用這種能力。讓我們齊心合力共同奮進吧！”說著，將帥旗一揮，幾何、代數、分析三軍齊發，十八路諸侯搖旗呐喊，各英雄幹將攻城拔寨，一路掩殺，直取中原，大有直搗黃龍之勢。按下不表。
卻說三軍行至峽穀，四周天昏地暗，忽聽一聲英國號響，刹那間，火把四起，火光亮處，但見一幟旌旗，上麵繡著鬥大的一字“羅”，一將橫槍立馬擋住去路，此將軍不是別人，正是英國數學家，諾貝爾文學獎獲得者伯特蘭·羅素伯爵，眾將怕有閃失，便勒住馬，不敢近前。隻聽得羅將軍大喝一聲道，“誰能解理發師悖論耳？”聲如巨雷，三軍上下聞之，個個麵露難色，不敢作答，悄然偃旗息鼓，鳴金而退。(夕陽語曰：著名的理發師悖論是伯特蘭·羅素提出的。一個理發師的招牌上寫著：城裏所有不自己刮臉的男人都由我給他們刮臉，我也隻給這些人刮臉。)
欲知後事，請聽下回分解。
此文摘自夕陽紅紅“星光燦爛：二十世紀100位數學巨星排行榜”。
