對非線性薛定鍔方程的一點淺顯認識 (僅限於NLSE孤子)

 對非線性薛定鍔方程的一點淺顯認識 (僅限於NLSE孤子)歡迎大家來討論一下nonlinear Schrödinger equation，Ginzburg-Landau equation和Gross-Pitaevskii equation 之間的聯係和區別 我的理解是NLSE是最普遍的，後麵兩個是它的推廣。NLSE能描述的孤子態最少，隻能亮或者暗的，沒有兩個共存的情況。而且NLSE描述孤子態的是哈密頓孤子，沒有損耗和增益，一碰到損耗就死。nonlinear Schrödinger equation iψt = −½ψxx + κ|ψ|2ψ.NLSE中亮孤子的嚴格條件是：色散（時間光孤子）或者自聚焦介質（空間光孤子）。NLSE中暗孤子嚴格條件是：正色散（時間光孤子）或者自散焦介質（空間光孤子）。GLEQ用於超導體和光孤子，GPE用於BEC中的孤子態。GLEQ倒是和GPE很像，而且它們描述的孤子態 之間有對應關係。GLEQ中亮孤子非嚴格條件是：負色散（時間光孤子）或者自聚焦介質（空間光孤子）。隻所以稱為非嚴格條件是：因為我們最近在正色散的光纖中也發現了亮孤子 (Optics Express, Vol. 17, Issue 2, pp. 455-460)。依次類推，自散焦介質中也可以看到亮孤子，隻是沒人看到。GLEQ中暗孤子非嚴格條件是：正色散（時間光孤子）或者自散焦介質（空間光孤子）。依次類推，在負色散或者自散焦介質中也可能看到暗孤子，隻是現在沒有人看到。BEC中亮孤子條件是：冷原子間吸引力。BEC中暗孤子條件是：冷原子間排斥力。依次類推，盡管原子間隻有排斥力，但是也可以看到亮孤子，這個在nature上最近有報道。當冷原子間隻有吸引力，如果在外加磁場的作用下，觀察到了暗孤子。這樣看來，BEC中孤子態的研究反而超前於光孤子。因為，BEC中的孤子理論已經完全顛覆了NLSE中的經典孤子理論。Gross-Pitaevskii equationi\hbar\frac{\partial\Psi(\mathbf{r})}{\partial t} = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r}) + g\vert\Psi(\mathbf{r})\vert^2\right)\Psi(\mathbf{r}) .類比關係，BEC中的粒子間排斥力就相當於色散（時間光孤子）或者折射率（空間光孤子）如果考慮到了非線性係統的多維性，多體性，損耗，增益以及孤子態之間的非線性耦合作用等等因素，就不能用NLSE，必需用擴展式GLEQ或者擴展式GPE。並且，這個擴展式GLEQ或者擴展式GPE可以完全顛覆NLSE所描述的經典孤子理論：出亮孤子的地方可能出暗的，出暗的地方也可能出亮的。假如考慮到了孤子態的矢量特性，多一個自由度會更加複雜。但是它們的物理本質是不會變的：GLEQ中得出的結論可以完全套到BEC中的孤子態，反之亦然。本文標簽： 論文 物理 理論 光學 孤子