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稱球智力題之稱的次數與可檢驗球個數之間的關係
用一架天平三次檢驗十三個球的趣味題被人稱為世界上最好的智力題。是否最好尚難定論，但至少是很有趣味。有人以不同方式推導出允許稱的次數與可檢驗球的個數之間的函數關係式，以下是筆者之推導過程。
原題： 有13個鋼球，特征相同，其中有一個重量異常，但不知是偏重還是偏輕，要求用一架沒有砝碼的天平稱三次，找出那個重量異常球。
解答：
第一節 3次稱13個球
左右邊各放4個，旁邊留5個。
1，平衡，則壞球在旁邊的5個當中，再稱2次即可找出壞球，方法如下：
從這5個未知球中拿出3個放在天平的一邊，就左邊吧，從已確定的8個好球中拿出3個放在右邊，稱。
（1）若平衡，則5個未知球中餘下的2個為可疑球。取任意1個可疑球與1個好球相稱即可找出壞球。
（2）若不平衡，並且，
（a）左邊重，則壞球在左邊的3個當中，而且壞球比正常球重。取3個可疑球中的2個分別放在天平的兩邊相稱，重者為壞球。如平衡，則餘下的一個可疑球為壞球。
（b）左邊輕，則壞球仍在左邊的3個當中，但壞球比正常球輕。取3個可疑球中的2個分別放在天平的兩邊相稱，輕者為壞球。如平衡，則餘下的一個可疑球為壞球。
2，不平衡，則旁邊的5個為好球，壞球在天平上的8個當中。
設左邊重，從左邊（重的一邊）拿出3個放在旁邊，從右邊（輕的一邊）拿出3個轉移到左邊，從已經確定的5個好球中拿出3個加在右邊，此時，每邊仍為4個，但內容變了，稱。
（1）平衡，則壞球在從左邊拿出的3個當中，而且壞球比正常球重。隻需再稱1次即可找出壞球（方法參見前文紅色部分）。
（2）不平衡，仍然是左邊重，則拿出的3個和由右邊轉移到左邊的3個都是好球，壞球在左右邊未挪窩的2個當中（左右邊各1個）。再稱1次即可找出壞球（方法參見前文藍色部分）。
（3）變成左邊輕，則拿出的3個和左右邊未挪窩的2個都是好球，壞球在由右邊轉移到左邊的3個當中，而且壞球比正常球輕。隻需再稱1次即可找出壞球（方法參見前文綠色部分）。
3，當第一稱不平衡時，上述第二步的方法有多種，其基本原理是將可疑球分為3，3，2三組（若另有一標準球，也可分為3，3，3三組），其中兩組可能包含的壞球可知其偏重或偏輕，而第三組如包含壞球則仍不知其輕重。
有人提出，如允許稱四次可檢驗多少個球？稱五次或更多次數呢？
第二節 4次稱40個球
第一次，左右邊各放13個，旁邊留14個。
1，平衡，則兩邊共26個為標準球，壞球在旁邊的14個當中，再稱3次即可找出壞球。
左邊放5個待檢球，右邊放4個待檢球和一個標準球，旁邊留5待檢球。
(1)，平衡，則壞球在旁邊的5個當中，再稱2次即可找出壞球，方法參見第一節。
(2)，不平衡，則旁邊的5個為好球，壞球在天平上的9個待檢球當中。
設左邊重，從左邊（重的一邊）拿出3個放在旁邊，從右邊（輕的一邊）拿出3個轉移到左邊，從已經確定的5個好球中拿出3個加在右邊，此時，每邊仍為5個，但內容變了，稱。
(a)，平衡，則壞球在從左邊拿出的3個當中，而且壞球比正常球重。隻需再稱1次即可找出壞球（方法參見前文紅色部分）。
(b)，不平衡，仍然是左邊重，則拿出的3個和由右邊轉移到左邊的3個都是好球，壞球在左右邊未挪窩的3個當中（左邊2個，右邊1個）。再稱1次即可找出壞球，方法為：取未挪窩的左邊2個球，分別置於天平兩邊相稱，重者為壞球。如平衡，則右邊那個未挪窩的為壞球。
(c)，變成左邊輕，則拿出的3個和左右邊未挪窩的3個都是好球，壞球在由右邊轉移到左邊的3個當中，而且壞球比正常球輕。隻需再稱1次即可找出壞球（方法參見前文綠色部分）。
2，不平衡，則旁邊的14個為好球，壞球在天平上的26個當中。
設左邊重，從左邊（重的一邊）拿出9個放在旁邊，從右邊（輕的一邊）拿出9個轉移到左邊，從已經確定的13個好球中拿出9個加在右邊，此時，每邊仍為13個，但內容變了
，稱。
（1）平衡，則壞球在從左邊拿出的9個當中，而且壞球比正常球重。隻需再稱2次即可找出壞球（方法另文詳述）。
（2）不平衡，仍然是左邊重，則拿出的9個和由右邊轉移到左邊的9個都是好球，壞球在左右邊未挪窩的8個當中（左右邊各4個）。再稱2次即可找出壞球（方法參閱第一節）。
（3）變成左邊輕，則拿出的9個和左右邊未挪窩的8個都是好球，壞球在由右邊轉移到左邊的9個當中，而且壞球比正常球輕。隻需再稱2次即可找出壞球（方法另文詳述）。
第三節 5次稱121個球
第一次，左右邊各放40個，旁邊留41個。
1，平衡，則壞球在旁邊的41個當中，再稱4次即可找出壞球（參閱第二節）。
2，不平衡，則旁邊的40個為好球，壞球在天平上的80個當中。
設左邊重，從左邊（重的一邊）拿出27個放在旁邊，從右邊（輕的一邊）拿出27個轉移到左邊，從已經確定的39個好球中拿出27個加在右邊，此時，每邊仍為40個，但內容變了，稱。
（1）平衡，則壞球在從左邊拿出的27個當中，而且壞球比正常球重。隻需再稱3次即可找出壞球（方法另文詳述）。
（2）不平衡，仍然是左邊重，則拿出的27個和由右邊轉移到左邊的27個都是好球，壞球在左右邊未挪窩的26個當中（左右邊各13個）。再稱3次即可找出壞球（方法參閱第二節）。
（3）變成左邊輕，則拿出的27個和左右邊未挪窩的26個都是好球，壞球在由右邊轉移到左邊的27個當中，而且壞球比正常球輕。隻需再稱3次即可找出壞球（方法另文詳述）。
第四節 如果已知壞球是偏重或偏輕
如果已知壞球比正常球重或輕，則稱1次可檢驗3個球，方法可參見第一節紅色或綠色部分。
稱2次可檢驗9個球。方法如下：
若已知壞球比正常球重。每邊放3個，旁邊餘3個。
1，平衡，則壞球在旁邊的3個當中，方法可參見第一節紅色部分。
2，不平衡，則壞球在較重的一邊3個當中，方法參見第一節紅色部分。
稱3次可檢驗27個球。方法如下：
若已知壞球比正常球重。每邊放9個，旁邊餘9個。
1，平衡，則壞球在旁邊的9個當中，方法可參見前段。
2，不平衡，則壞球在較重的一邊9個當中，方法參見前段。
顯而易見，稱的次數對應於可檢驗的個數是一個等差數列和一個等比數列，即1、2、3、4……與3、9、27、81……。設稱的次數為X，可檢驗的個數為Y，可得出二者的關係為：
Y = 3x
第五節 允許稱的次數與可檢驗球的個數之間的關係
由第一、二、三節的過程可看出，每當稱的次數遞增一時，第一步放在旁邊的球的個數等於少稱一次可檢驗的總個數加1，例如，稱3次可檢驗13個球，稱4次程序的第一步就是先取14個球放在旁邊。
還可看出，第一稱每一邊放的球個數是這樣一個遞增數列：4，13，40，121……。稍微注意一下，便可看出每兩個相鄰數的差為以下等比數列：
9，27，81……。在此等比數列前麵再添加二項，就變成1、3、9、27、81……。而這個數列的前n項之和就恰好構成了前述第一個數列，即1+3=4，1+3+9=13，1+3+9+27=40……。由此我們可以發現規律，允許稱的次數與可檢驗球的個數之間的關係為：
稱3次可檢驗球的個數：2(1+3)+5=13
稱4次可檢驗球的個數：2(1+3+9)+14=40
稱5次可檢驗球的個數：2(1+3+9+27)+41=121
……
設稱的次數為n，可檢驗球的個數為m，不難看出二者的關係為：
m=(3n-1)/2
這就是稱的次數n與可檢驗球的個數m之間的函數關係式。
