白癡黑話
沒什麽的，隨便寫寫，師傅讓弄個，就弄了個。。。
正文
工欲善其事，必先利其器 ---- 孔老二
4.測度論的成長
對於平麵或者空間圖形，諸如長方形，正四麵體，橢球等等對象的“長度“，“麵積“和“體積“這樣一些表征它們的“大小“的量，在牛頓等人提出微積分以後，已經有了比較完善而且有效的處理手段。這就是我們熟知的（黎曼意義下的）定積分，它從最重要也是最基本的情形---曲邊梯形的麵積出發，解決了“實心“體（基本上就是稠密的有界閉集）的大小問題；而微積分基本定理則提供了定積分和原函數（即微分的逆運算，又叫不定積分）之間的橋梁，使得具體計算變得簡單可行。
然而很多應用問題要求理解一些結構更為複雜的點集。比如我們前麵提到的關於自然數集的某些子集的概率問題，如果我們從[0，1]區間的例子反過來設想，我們如果能夠理解所謂自然數集的“長度“這樣的概念的話，我們可以用類似以子區間（比如[0，1/2]這樣的東西）的長度來刻畫自然數的子集的“長度“，然後以兩個長度的比值來描述概率。這樣的辦法可能會比原來那種直接“數數“的辦法要好一些。又比如說，如果我們要考察某種在有理數集上的分布的話，那麽我們大概是不可能數數了，但是如果能夠搞出某種辦法來定義有理數集或者其子集的“長度“的話，我們仍然有可能研究其上的概率問題。
所以我們想推廣長度的概念。既然要推廣，我們就應該想想我們腦海裏麵的“長度“究竟是什麽東西？究竟有哪些性質刻畫了這樣一個概念呢？ 首先，長度是非負的。其次，它是唯一的，就是說一樣東西隻能有一個長度（什麽？小孩子會長高？去你的，偶說的是同一時刻的，少跟偶玩什麽德謨克裏特。。）。而我們感興趣的主要是有限的長度。此外，極其重要的是，我們看到的長度都是可加的，就是說一根棍子再連上另一根，那麽新棍子的長度就是原來兩根棍子的和。同樣的，如果把一根棍子折成兩段，那麽這兩段長度之和就等於原來棍子的長度。這些基本上就刻畫長度這個概念重要的性質。至於那些長度到底等於幾，其實沒那麽重要，或者說根本就不重要。比如說，三國演義說關公身長九尺，難道你真的信姚明隻到他胸口？測量單位是個相對標準，一旦有變，相應的數值就會變化。美國用碼，我們用米，但是就算我們不清楚相互之間的具體換算關係也不改變長度的基本性質。（雖然在這裏我不打算詳細討論，但是提一下，隻要對於長度（測度）為0的對象有一致的定義，數學上就稱這樣的測度為等價的。）
上麵3條性質，比較顯然直觀，但是威力也不夠大。尤其沒有能夠提供從有限到無限的橋。連古人都考慮到拿出一根棍子，什麽“日取其半，萬世不竭“之類，反過來想也就是說被截成的那些一段一段的小棍子（有可數的無窮多）它們的長度合起來應該正好還原成原來的那根棍子。這個性質不再是那麽簡單了，但是我們還是希望長度或者更加廣泛的“測度“最好具備它，因為這樣可以使這個概念能更加有用，同時也基本符合我們的直覺。這就是所謂的可數可加性（又叫做á-可加性）：
如果點集A1, A2, ..., Ak, ...都可以定義長度/測度，而且兩兩互不相交，A=所有A1,A2,...的並集，並且A也可以定義長度/測度的話，那麽 A的長度 = 所有A1, A2,...的長度和。
現在，讓我們以長度為樣子，試著在實數集R上麵建立一個由R的一些子集到R+(非負實數集，包括0和正無窮---偶敲不出那個通常的數學符號來，請包涵）的映射m, 使得：
1）m(空集）=0
2）對於任何實數a,b，區間[a, b]有：m([a, b])=b-a，這裏我們稱空集和閉區間為可測的。
3）對於任何子集A1,A2,...,Ak,...如果他們互不相交，而且可測，那麽它們的可數並集A也可測，並且m(A) = sum(m(Ai), i=1 to infinity), 這裏允許有正無窮在等式裏。
4）如果A可測，那麽A的補集也可測。（可以為正無窮）
這樣定義出來的映射m, 就是一個R上的測度。m的定義域B是一個被稱為á-代數的東西，這裏給出的特例是著名的Borel集，而這個測度m也叫Borel測度。這樣3樣東西合在一起（R, B, m)被稱為一個（Borel)測度空間。而B中的元被稱為可測集。
很顯然，這個B並不是所有R的子集的集合，它要小的多。大家可能會好奇的問，為什麽不能搞一個定義在所有R的子集上麵的測度呢？ 當然可以啦，比如說，你可以定義任何集合的測度都是0，完全沒有問題。這個叫做平凡測度，當然也沒有什麽用處。比如我們會期望一個有用的測度在閉區間上保持和長度具有一樣的性質，就是說應該有 m([a,b]) = b-a。 一個比Borel測度更加廣泛而且保持這個性質的測度是存在的，就是我們前一段提到過的勒貝格測度，這是一個由所謂“外測度“構造得來的測度空間，它包含所有Borel可測集，以及多得多的其他集合，而且是完全的（Complete)。然而，如果我們承認選擇公理的話，我們可以證明存在一個不可測的R的子集，這是著名的Vitali定理。以前康師傅寫的一篇介紹選擇公理的文章中提到過。這裏我們就不再深入討論了。
在了解了測度背後的“源於生活“的背景後，下麵為了節省時間和空間（畢竟，我們目前隻是在討論工具而已），請允許我不再詳細討論而直接列出一些重要的概念：
考慮非空集X,
1) X的子集集合F被稱為一個á-代數，如果
a) 空集屬於F； b) 如果A屬於F, 則A的補集也屬於F. c)F中任何元素的可數並屬於F.
2) 如果F是X的一個á-代數，m:F->[0,正無窮]，滿足：
a) m(空集）= 0； b) á-可加性：對於互不相交的A1,A2,...屬於F, A=所有A1,A2,..的並（所以也屬於F), m(A) = sum(m(Ai), i=1 to inf).
那麽三元組（X, F, m) 叫做一個測度空間，m 叫做測度。F的元叫做可測集。
3）對於測度空間(X, F, m), 如果函數 f：X -> R (實數集）滿足：任何閉區間[a, b]的原像都是可測的，那麽f被稱為一個可測函數。
4）對於可測函數，我們可以通過一個叫做“標準機器“的程序定義它對測度m的（勒貝格）積分，這個積分對於黎曼可積的函數是和定積分一致的。這個“標準機器“的具體步驟比較繁瑣，這裏不打算贅述了，有興趣的朋友可以參考
Lebesgue integral
4.測度論的成長
對於平麵或者空間圖形，諸如長方形，正四麵體，橢球等等對象的“長度“，“麵積“和“體積“這樣一些表征它們的“大小“的量，在牛頓等人提出微積分以後，已經有了比較完善而且有效的處理手段。這就是我們熟知的（黎曼意義下的）定積分，它從最重要也是最基本的情形---曲邊梯形的麵積出發，解決了“實心“體（基本上就是稠密的有界閉集）的大小問題；而微積分基本定理則提供了定積分和原函數（即微分的逆運算，又叫不定積分）之間的橋梁，使得具體計算變得簡單可行。
然而很多應用問題要求理解一些結構更為複雜的點集。比如我們前麵提到的關於自然數集的某些子集的概率問題，如果我們從[0，1]區間的例子反過來設想，我們如果能夠理解所謂自然數集的“長度“這樣的概念的話，我們可以用類似以子區間（比如[0，1/2]這樣的東西）的長度來刻畫自然數的子集的“長度“，然後以兩個長度的比值來描述概率。這樣的辦法可能會比原來那種直接“數數“的辦法要好一些。又比如說，如果我們要考察某種在有理數集上的分布的話，那麽我們大概是不可能數數了，但是如果能夠搞出某種辦法來定義有理數集或者其子集的“長度“的話，我們仍然有可能研究其上的概率問題。
所以我們想推廣長度的概念。既然要推廣，我們就應該想想我們腦海裏麵的“長度“究竟是什麽東西？究竟有哪些性質刻畫了這樣一個概念呢？ 首先，長度是非負的。其次，它是唯一的，就是說一樣東西隻能有一個長度（什麽？小孩子會長高？去你的，偶說的是同一時刻的，少跟偶玩什麽德謨克裏特。。）。而我們感興趣的主要是有限的長度。此外，極其重要的是，我們看到的長度都是可加的，就是說一根棍子再連上另一根，那麽新棍子的長度就是原來兩根棍子的和。同樣的，如果把一根棍子折成兩段，那麽這兩段長度之和就等於原來棍子的長度。這些基本上就刻畫長度這個概念重要的性質。至於那些長度到底等於幾，其實沒那麽重要，或者說根本就不重要。比如說，三國演義說關公身長九尺，難道你真的信姚明隻到他胸口？測量單位是個相對標準，一旦有變，相應的數值就會變化。美國用碼，我們用米，但是就算我們不清楚相互之間的具體換算關係也不改變長度的基本性質。（雖然在這裏我不打算詳細討論，但是提一下，隻要對於長度（測度）為0的對象有一致的定義，數學上就稱這樣的測度為等價的。）
上麵3條性質，比較顯然直觀，但是威力也不夠大。尤其沒有能夠提供從有限到無限的橋。連古人都考慮到拿出一根棍子，什麽“日取其半，萬世不竭“之類，反過來想也就是說被截成的那些一段一段的小棍子（有可數的無窮多）它們的長度合起來應該正好還原成原來的那根棍子。這個性質不再是那麽簡單了，但是我們還是希望長度或者更加廣泛的“測度“最好具備它，因為這樣可以使這個概念能更加有用，同時也基本符合我們的直覺。這就是所謂的可數可加性（又叫做á-可加性）：
如果點集A1, A2, ..., Ak, ...都可以定義長度/測度，而且兩兩互不相交，A=所有A1,A2,...的並集，並且A也可以定義長度/測度的話，那麽 A的長度 = 所有A1, A2,...的長度和。
現在，讓我們以長度為樣子，試著在實數集R上麵建立一個由R的一些子集到R+(非負實數集，包括0和正無窮---偶敲不出那個通常的數學符號來，請包涵）的映射m, 使得：
1）m(空集）=0
2）對於任何實數a,b，區間[a, b]有：m([a, b])=b-a，這裏我們稱空集和閉區間為可測的。
3）對於任何子集A1,A2,...,Ak,...如果他們互不相交，而且可測，那麽它們的可數並集A也可測，並且m(A) = sum(m(Ai), i=1 to infinity), 這裏允許有正無窮在等式裏。
4）如果A可測，那麽A的補集也可測。（可以為正無窮）
這樣定義出來的映射m, 就是一個R上的測度。m的定義域B是一個被稱為á-代數的東西，這裏給出的特例是著名的Borel集，而這個測度m也叫Borel測度。這樣3樣東西合在一起（R, B, m)被稱為一個（Borel)測度空間。而B中的元被稱為可測集。
很顯然，這個B並不是所有R的子集的集合，它要小的多。大家可能會好奇的問，為什麽不能搞一個定義在所有R的子集上麵的測度呢？ 當然可以啦，比如說，你可以定義任何集合的測度都是0，完全沒有問題。這個叫做平凡測度，當然也沒有什麽用處。比如我們會期望一個有用的測度在閉區間上保持和長度具有一樣的性質，就是說應該有 m([a,b]) = b-a。 一個比Borel測度更加廣泛而且保持這個性質的測度是存在的，就是我們前一段提到過的勒貝格測度，這是一個由所謂“外測度“構造得來的測度空間，它包含所有Borel可測集，以及多得多的其他集合，而且是完全的（Complete)。然而，如果我們承認選擇公理的話，我們可以證明存在一個不可測的R的子集，這是著名的Vitali定理。以前康師傅寫的一篇介紹選擇公理的文章中提到過。這裏我們就不再深入討論了。
在了解了測度背後的“源於生活“的背景後，下麵為了節省時間和空間（畢竟，我們目前隻是在討論工具而已），請允許我不再詳細討論而直接列出一些重要的概念：
考慮非空集X,
1) X的子集集合F被稱為一個á-代數，如果
a) 空集屬於F； b) 如果A屬於F, 則A的補集也屬於F. c)F中任何元素的可數並屬於F.
2) 如果F是X的一個á-代數，m:F->[0,正無窮]，滿足：
a) m(空集）= 0； b) á-可加性：對於互不相交的A1,A2,...屬於F, A=所有A1,A2,..的並（所以也屬於F), m(A) = sum(m(Ai), i=1 to inf).
那麽三元組（X, F, m) 叫做一個測度空間，m 叫做測度。F的元叫做可測集。
3）對於測度空間(X, F, m), 如果函數 f：X -> R (實數集）滿足：任何閉區間[a, b]的原像都是可測的，那麽f被稱為一個可測函數。
4）對於可測函數，我們可以通過一個叫做“標準機器“的程序定義它對測度m的（勒貝格）積分，這個積分對於黎曼可積的函數是和定積分一致的。這個“標準機器“的具體步驟比較繁瑣，這裏不打算贅述了，有興趣的朋友可以參考
Lebesgue integral
評論
目前還沒有任何評論
登錄後才可評論.
