17 Bernoulli兄弟
這裏的Bernoulli兄弟是專有名詞，指的是Jakob Bernoulli和Johann Bernoulli倆兄弟。祖上為了逃避宗教迫害，於1583年從比利時逃到瑞士，他們的父親最後在Basel安頓了下來。
Bernoulli家族是數學史上最偉大的家族，曾經在連續的三代當中產生了八位數學家，其中三位聲名遠揚，最為著名的就是Bernoulli兄弟。他們的名字有時也寫成James和John，或者Jacques和Jean。
Bernoulli家族名氣之大，有這麽一個故事作為佐證。Daniel Bernoulli是Johann Bernoulli的兒子，也是一位大數學家，在一次旅行途中，和一位陌生人聊天，聊得很開心，末了他很謙虛地介紹自己：“順便介紹一下，我是Daniel Bernoulli“。不料那位聊友以為他吹牛，用開玩笑的的口吻回答：“我，” 他慢條斯理地說，“是Isaac Newton!”。
Jakob，生於1654年，是家中十個孩子裏的老五。父親要他學神學，他也的確學過一段神學，後來實在沒興趣。他的興趣在數學，通過自學，他於1687年成了Basel大學的數學教授。
Johann是家中老幺，生於1667年。同樣屈從於父親的壓力，一開始學的是醫學。無奈他也深愛數學，1687年就偷偷跟著Jakob學習數學了。過了兩年，他就和老哥功夫不差上下。他有數學天賦，也愛到處顯擺，顯示自己功夫了得。Jakob很難接受小自己十幾歲的小弟和自己平起平坐，總喜歡在公開場合戲稱他為自己的小學生，弄得Johann不舒服，於是兄弟倆的明爭暗鬥開始了。
在1684年和1686年，Leibniz發表了兩篇關於微積分的文章。Jakob深深為之吸引，一頭紮進Leibniz的論文之中，不久就成為這方麵的專家。Leibniz這樣說：“微積分隻有很少人知道，我不知有誰比他懂得更多。”
Jakob在解析幾何，變分法和概率論等分支都有重要貢獻。概率論中的大數定理，就是他發現並證明的。大數定理是概率論中最重要的定理之一，另一個重要定理就是中心極限定理了。
Jakob在1705年過世。他的重要著作《Ars conjectandi》在他死後八年發表。
早在1690年，Jakob提出一個存在很久的問題，那是一個關於懸鏈線的問題。假設A和B是在同一水平線上的兩個不同點，有一根比兩點間直線距離長的繩子，兩端分別固定在A和B上，繩子所形成的曲線是什麽樣子？Galileo考慮過這個問題，以為是個拋物線，但是沒法證明。Jakob這時已是少數幾個懂微積分的專家，覺得微積分也許能派上用場。他苦思冥想了一年多時間，還是沒有著落。
1691年Johann找到了答案。同時給出正確答案的還有Leibniz和Huygens。1718年，Johann在給朋友信中寫道：
我哥苦思冥想一年沒有結果；我呢，比較幸運，因為我懂得技巧（我不是吹牛，我為什麽要隱瞞真相呢？）。我整整想了一個晚上，……，第二天一早，我就跑去對他說，不要再折磨你自己啦，那根本就不是拋物線，你再費勁也證明不了的。
這時候他還沒忘記貶損他哥呢，他哥已經過世十三年啦！
數學中有一個著名的無窮級數，叫調和級數，它是所有自然數的倒數之和。用數學表示出來，就是1/1 +1/2+1/3+1/4+•••。這個級數是收斂還是發散？答案並不明顯。Johann先證明了它的發散，由Jakob在1689年發表，標題是“Tractatus de seriebus Infinitis”。文中給出了級數發散性的證明，還特別強調：“是我老弟第一個發現了它的證明”，這在Bernoulli兄弟中可是太稀罕啦！
它的證明非常有趣，我們就在這裏介紹一下。
我們知道，Leibniz在法國逗留期間，遇到了Huygens，成了Huygens的學生。當時Huygens給了他一道難題，就是求無窮級數
S=1+1/3+1/6+1/10+1/15+1/21+•••的和，其中級數的第n項是第n個三角數的倒數。第n個三角數可以表示成n(n+1)/2，排成數列，就是1，3，6，10，15，21，•••
聰明的Leibniz想出了下麵的方法：
S/2=1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+•••
S/2=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+•••
S/2=1。所以S=2。
利用Leibniz的結果，Johann給出了下麵的巧妙證明。
用A表示調和級數，用A1，A2，A3，•••，分別表示如下級數
A2=A1-1/2= 1/6+1/12+1/20+1/30+•••=1/2
以此類推，我們有An=1/n。所以
A1+A2+A3+•••=1+1/2+1/3+•••=A。注意到
A1= 1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+•••
A2= 1/6+1/12+1/20+1/30+•••
A3= 1/12+1/20+1/30+•••
所以A1+A2+A3+•••
=1/2+(1/6+1/6)+(1/12+1/12+1/12)+•••
= 1/2+1/3+1/4+•••
= A-1，結果我們發現A=A-1。如果A是有限數，就會導出0=-1這樣一個荒謬的結論。所以A不可能是有限數，必然是無窮大。
順便提一下，調和級數的發散，更早的時候就為人知，但Bernoulli兄弟並不知道。早在1350年，法國數學家Nicole Oresme就證明了它的發散，而意大利數學家Pietto Mengoli(1625—1686)也在1647年給出了證明。
L’Hospital 於1704月過世。這時Johann已不滿足簡單的致謝了，他要告知世人，他才是本書真正的作者。他甚至控訴作者剽竊了他的成果。
當然這時L’Hospital已無力反駁了。
Johann妒忌心十足，從他如何對待兒子Daniel 可見一斑。Daniel多次獲得法國科學院頒發的獎章，他居然因為兒子取得巨大成就而不讓他進自家的大門。Daniel十次獲獎，他自己隻得過兩次，太氣人了，做兒子的，怎麽可以超過老子？多麽沒有麵子啊！
Johann還有一位年輕的學生，名叫Leonhard Euler。
Euler是數學史上一顆耀眼的星星，馬上就要閃亮登場了！
Waiting for Gauss, Riemannian geometry (only Gauss understood), Seven Bridges problem, four color for map, 17 equal divide a circle, and most recently, prove Fermat's Last Theorem.