數學家的故事 （二）

 

5 Alexander the Great

 

先聲明一下，Alexander the Great並不是數學家。他性子太急，做不了數學家。

 

Menaechmus（公元前380—-公元前320）是古希臘的大數學家，據說當過壓力山大的老師。壓力山大對一切都有緊迫感，問：有沒有學習幾何的捷徑？他需要一個學習geometry 的shortcut。Menaechmus回答說：“O King, for traveling over the country, there are royal road and roads for common citizens, but in geometry there is one road for all.”

 

我很長時間都在困惑，為什麽古希臘要被分為前後兩個時期：Hellenic Age和Hellenistic Age。前期在歐洲，舞台中心是雅典，後期在非洲，舞台中心是埃及的Alexandria 。經過苦思冥想終於明白了，原因就在壓力山大。這樣就有必要將他揪出來亮亮相。

 

壓力山大生於公元前356年的七月，死於公元前323的六月，滿打滿算還不到34歲。他這一輩子壓力太大，恐怕沒有過過一天安穩的日子。

 

在他13歲的時候，他爸給他請了Aristotle 做老師。Aristotle是Plato的學生，著名的哲學家，學問大得不得了。

 

壓力山大的爸爸是當時希臘馬其頓的國王Phillip 二世，估計也是一個虎爸，在他16歲時就讓他綴學隨自己南征北戰。不光如此，在壓力山大20歲時他自己就被人暗殺了，弄得壓力山大不得不提前匆忙上位做國王。

 

接下來的日子壓力山大也不肯給自己減輕壓力，一路東征西討，才十幾年的功夫，愣是把希臘建成了一個龐大的帝國。

 

他在埃及建了一個新城，以他自己的名字命名，叫Alexandria。公元前332年，他在那裏建立首都。

 

壓力山大閑不住，打起仗來就停不下來。沒辦法，誰叫他打仗總贏呢？一直打到古老的印度，後來士兵都想家了，他才打道回府。

 

可能是壓力太大了吧？公元前323年6月，風華正茂的Alexander the Great，在巴比倫死了。那年他33歲！

 

不久以後，他的老師Aristotle也死了。

 

於是人們將公元前323年做為古希臘前後期的分水嶺。接下來的古希臘就步入Hellenistic Age了，也有人稱之為Alexandria Age。古希臘數學的黃金時代，就要在Alexandria閃亮登場啦！

 

6 Euclid

 

Alexander the great 死了，他的帝國分裂成了三個國家。內戰是少不了的，到了公元前306年，埃及牢牢控製在Ptolemy 的手中。Ptolemy一世是個開明的君主，這時就可以專注於精神文明的建設了。

 

他在Alexandria建了一所學院，叫博物館。博物館名氣很大。它要叫第二，世上誰敢稱第一？不光如此，他還聘請了當時各地有名的學者，收集了大量藏書。據說藏書有70多萬冊。

 

在眾多的學者當中，有一位叫Euclid，是數學家。他寫的《幾何原本》，一直流傳至今。非常遺憾，這麽一位影響巨大的人物，世人對他的生平卻所知甚少。

 

他是一位慈祥和藹的老人，既謙遜又公正。他的幾何原本，編輯整理了前人的工作，他力求準確地把榮譽賦予給真正的發明者。

 

據說有位學生在學習第一個定理時就問：“學這玩意，我能得到什麽呢？” Euclid吩咐他的傭人：“給他幾分錢吧，他想學有所獲。”

 

估計幾何在當時是高大上的東西，Ptolemy也心裏癢癢，想學著玩玩。當然他沒興趣一個定義一個定理地學。做君王的誰有哪個耐心？他自然想找捷徑。Euclid告訴他：“There is no royal road to geometry”。哈哈，曆史有時就是驚人的相似。還記得同樣想走捷徑的Alexander the Great 嗎？

 

古人最早接觸的數是自然數，就是1，2，3，……，而在自然數中有一類特殊的數被稱為素數。素數就是大於 1 但隻能被 1 或者自己整除的數，比如2，3，5，7，等等，而4，6，8，9，等就不是素數，而是複合數。很自然碰到的問題就是，素數有多少呢？Euclid證明了有無窮多。證明很奇妙，用的是反證法。就是先假設隻有有限多個素數，比如n個，然後再導出荒唐的結果，從而說明原來的假設有誤。

 

他是這麽證明的，假如隻有n個素數，分別是p1，p2，……，pn。然後他又構造一個數N=p1 * p2* …* pn+1。然後他問，N是什麽數呢？不能是素數啊，因為已假設素數隻有n個，它們都比N小，所以隻能是複合數，換句話說，應該有一個比它小的素數能夠除盡它。但從N的構造中可以看出這樣的素數並不存在，從而導致N既不是素數，又不是複合數，由此產生了矛盾。產生矛盾的根源在於假設是錯的，所以素數有無窮多個。

 

幾何原本有十三篇，其中第五篇專門講解Eudoxus 的比例理論。據說成就最大的就是這篇。有興趣的朋友可以讀一讀由Morris Kline寫的“Mathematical Thought from Ancient to Modern Times”。

 

有人問，比例理論完全解決了無理數問題嗎？沒有！那還得再等兩千多年。到了19世紀，一個叫Dedekind （1831—1916）的德國數家才把無理數的問題徹底解決了。

據估計Euclid可能生於公元前325年，卒於哪年？連估計都沒有了，不能不說是個遺憾。

[高楓大葉]

輕鬆的文筆，實在科普文章

[泥中隱士]

寫的很好望繼續寫。歐幾裏德之後的阿基米德又做了不少工作。