在強強匹配一文中，我們考慮了下麵的數學問題：有兩個n項實數數列A=(a_1，a_2，。。。，a_n)和B=(b_1，b_2，。。。，b_n)，通過匹配，我們可以形成另一個n項數列C=(a_1*x_1，a_2*x_2，。。。，a_n*x_n)，其中(x_1，x_2，。。。，x_n)是(b_1，b_2，。。。，b_n)的一個排列。總共有n！個不同的排列，從而有n!個不同的n項數列。在這n!個不同的n項數列中，哪一個和最大？也就是，哪一個數列(x_1，x_2，。。。，x_n)能使得和a_1*x_1+a_2*x_2+。。。+a_n*x_n最大？
同理，我們也可以考慮不同的數學問題：有兩個n項實數數列A=(a_1，a_2，。。。，a_n)和B=(b_1，b_2，。。。，b_n)，通過匹配，我們可以形成另一個n項數列C(x)=(a_1+x_1，a_2+x_2，。。。，a_n+x_n)，其中(x_1，x_2，。。。，x_n)是(b_1，b_2，。。。，b_n)的一個排列。總共有n！個不同的排列，從而有n!個不同的n項數列。在這n!個不同的n項數列中，哪一個積最大？也就是，哪一個數列(x_1，x_2，。。。，x_n)能使得積(a_1+x_1)*(a_2+x_2)*。。。*(a_n+x_n)最大？
這裏的匹配數列由和而成，所以稱該問題為和積問題。我們假設各數列的每項都是正實數。
不難證明如下的結果：強強匹配，和積最小；強弱匹配，和積最大。
換言之，如果a_1,a_2,...,a_n和b_1，b_2,...,b_n都按值大小遞減排列，則(a_1+b_1,a_2+b_2,...,a_n+b_n)的積最小,(a_1+c_1,a_2+c_2,...,a_n+c_n)的積最大,其中,c_1,c_2,...,c_n是b_1，b_2,...,b_n按值從小到大遞增排列,即c_k=b_(n-k+1)。
自然，也可考慮超過兩個的n項數列匹配問題。我們依舊有：強強匹配，和積最小。
我們用這個結果，證明算術平均幾何平均不等式：(a_1+a_2+...+a_n)/n 不小於(a_1*a_2*...*a_n)^(1/n)，等號僅在a_1=a_2=...=a_n時成立。
證明：考慮n個n項數列(a_1，a_2，。。。，a_n)，其強強匹配為：(a_1+a_1+...+a_1,...,a_n+a_n+...+a_n),有積為n^n(a_1*a_2*...*a_n),
另一匹配為：(a_1+a_2+...+a_n,a_1+a_2+...+a_n,...,a_1+a_2+...+a_n)其積為(a_1+a_2+...+a_n)^n。所以
n^n(a_1*a_2*...*a_n)<=(a_1+a_2+...+a_n)^n，即(a_1*a_2*...*a_n)^(1/n)<=(a_1+a_2+...+a_n)/n。
再看一個例子：如x>=1,y>=1,則(x/y)+(y/x)<=x*y+1/(x*y)。
證明：考慮數列(x,1/x),(y,1/y),它們的強強匹配為(x+y,1/x+1/y),其積為(x+y)(1/x+1/y)。另一匹配為：(x+1/y,y+1/x)其積為(x+1/y)*(y+1/x)。所以(x+y)(1/x+1/y)<=(x+1/y)*(y+1/x)，簡化不等式後即為(x/y)+(y/x)<=x*y+1/(x*y)。
這個結果，用前麵的強強匹配積和最大也可證明，因為（x*y,1/(x*y)) 是(x,1/x)和（y,1/y)的強強匹配。不難看出，強強匹配和積最小，實際上是強強匹配積和最大的推論，但有些情況下用起來更加順手。
比如：證明如a,b,c為非負實數，則(a+b)*(b+c)*(c+a)>=8abc。
如何證明？隻需注意(a+a,b+b,c+c)是強強匹配，和積最小，其和積為8abc。
