符號用法：a^n 表示a的n次方，a_n表示a的下標是n, a*b表示a和b的乘積 。符號帶來的不便，請多包涵。
先打一個比方。
如果有n個女孩待嫁，另有n個男孩待娶，怎樣的結合才是最優的呢？我們的祖先說：要講究門當戶對。就是將所有人根據某種條件打個分，把男孩和女孩分別按得分由高到低排一個順序，再將得分最高的男孩和得分最高的女孩配對，得分次高的男孩和得分次高的女孩配對，並以此類推，然後將得分最低的男孩和得分最低的女孩配對，這樣就得到總體的最優婚配。所謂門當戶對，就是強強匹配，或者強強合作。
由這個作引子，我們考慮下麵的數學問題：有兩個n項實數數列A=（a_1，a_2，。。。，a_n)和B=(b_1，b_2，。。。，b_n)，通過匹配，我們可以形成另一個n項數列C=（a_1*x_1，a_2*x_2，。。。，a_n*x_n)，其中（x_1，x_2，。。。，x_n)是(b_1，b_2，。。。，b_n)的一個排列。總共有n！個不同的排列，從而有n!個不同的n項數列。在這n!個不同的n項數列中，哪一個和最大？也就是，哪一個數列（x_1，x_2，。。。，x_n)能使得和a_1*x_1+a_2*x_2+。。。+a_n*x_n最大？因為匹配而成的數列由乘積而得，我們稱該問題為積和問題。
什麽樣的匹配積和最大呢？
答案是，強強匹配，積和最大。為方便起見，不妨假設a_1，a_2，。。。，a_n按值大小遞減排列。如果y_1，y_2，。。。，y_n也是b_1，b_2，。。。，b_n按值大小遞減排列，那麽（a_1*y_1，a_2*y_2，。。。，a_n*y_n）就是和最大的匹配。
另外，強弱匹配，積和最小。就是說，如果z_1，z_2，。。。，z_n是b_1，b_2，。。。，b_n按值大小遞增排列，那麽（a_1*z_1，a_2*z_2，。。。，a_n*z_n）就是其和最小的匹配。
兩個結論證明都不難，讀者不妨試著證明。我們將結果寫成：強強匹配，積和最大；強弱匹配，積和最小。
當然，也可考慮超過兩個的n項數列匹配問題。比如有三項n項數列A=（a_1，a_2，。。。，a_n)，B=(b_1，b_2，。。。，b_n)和
C=（c_1，c_2，。。。，c_n)，如何找到數列（y_1，y_2，。。。，y_n）和（z_1，z_2，。。。，z_n）使得它們與A匹配而成的數列
（a_1*y_1*z_1，a_2*y_2*z_2，。。。，a_n*y_n*z_n）積和最大？其中，（y_1，y_2，。。。，y_n）和（z_1，z_2，。。。，z_n）
分別是數列B和C的排列。
因為要包括奇數項的情況，我們假設數列的各項都是非負實數。這時有什麽結論？
我們的結論依然是：強強匹配，積和最大。
自然，對超過兩個的n項數列匹配問題，沒法定義強弱匹配，所以就沒有另一個結論了。
所以，我們的定理是：強強匹配，積和最大。把這個定理弄明白了，就可以證明很多有名的不等式，我們先舉幾例。
1： 算術平均不小於幾何平均：（a_1+a_2+。。。+a_n）/n 不小於 (a_1*a_2*。。。*a_n)^(1/n)，等號僅在所有a_1=a_2=。。。=a_n時成立。
2： Cauchy-Schwarz不等式：a_1*b_1+a_2*b_2+。。。+a_n*b_n 不大於 sqrt{(a_1*a_1+a_2*a_2+。。。+a_n*a_n)(b_1*b_1+b_2*b_2+。。。+b_n*b_n)}。
有興趣的朋友不妨試著證明一下。
根據這個定理，我們證明下麵的結論。如未說明，a,b,c,d均為非負實數。
1：如a正實數，則a+(1/a)>=2。
證： 考慮二元數列（1，a）和（1，1/a）。注意它們的強弱匹配是(1*1,a*(1/a))其和為1*1+a*(1/a)=2，另一個匹配是(a*1,1*(1/a))其和為a+(1/a)。
2: a^2 + b^2 + c^2 >= a*b+b*c+c*a。
證： 考慮二元數列（a,b,c）和（a,b,c）。它們的強強匹配是(a*a,b*b,c*c)，其和為a^2 + b^2 + c^2；另一個匹配為(a*b,b*c,c*a)，其和為a*b+b*c+c*a。
3：a^3+b^3+c^3 >= 3a*b*c。
證： 考慮三元數列(a,b,c),(a,b,c)和(a,b,c)。它們的強強匹配是(a*a*a,b*b*b,c*c*c)其和為a^3 + b^3+ c^3,(a*b*c,b*c*a,c*a*b)是另一個匹配，其和為：3a*b*c。
4：a/b+b/c+c/d+d/a>=4。
證： 考慮兩個四元數列(a,b,c,d)和(1/a,1/b,1/c,1/d)。它們的強弱匹配是(a*(1/a),b*(1/b),c*(1/c), d*(1/d))其和為4，(a/b,b/c,c/d,d/a)是另一個匹配，其和為：a/b+b/c+c/d+d/a。
5: (a^2)/b + (b^2)/c + (c^2)/d + (d^2)/a >= a + b + c + d。
證：考慮數列(a^2,b^2,c^2,d^2)和(1/a,1/b,1/c,1/d)，它們的強弱匹配是((a^2)/a,(b^2)/b,(c^2)/c, (d^2)/d))=(a,b,c,d); ((a^2)/b,(b^2)/c,(c^2)/d,(d^2)/a)是另一個匹配。
還可以舉出很多例子，用強強匹配定理或強弱匹配定理就可給出簡單的證明。
