一 兩人對決
在一片荒野之地，甲乙兩人相距百步之外，各自持槍怒目而立。他們簽下了生死文書，接受了如下挑戰：輪流向對方射擊，生死由命，存亡在天。經過抽簽，甲先行。兩人均非百發百中的神槍手：甲乙打中目標的概率分別是a和b，並且都帶有用不完的子彈。
請問，甲乙各自存活的概率是多少？
用p和q分別表示甲乙存活的概率。甲如何才能活下來呢？甲要活下來，隻有通過以下方式。
1：甲第一槍命中，概率為a；
2：甲第一槍不中，乙第一槍也不中，甲第二槍命中，概率為(1-a)(1-b)a；
3：甲第一槍不中，乙第一槍也不中，甲第二槍不中，乙第二槍也不中，甲第三槍命中，概率為(1-a)(1-b)(1-a)(1-b)a；
4：。。。
等等，等等，依此類推，。。。，所以
p=a+(1-a)(1-b)a+(1-a)(1-b)(1-a)(1-b)a+...
=a{1+(1-a)(1-b)+(1-a)(1-b)(1-a)(1-b)+...}
=a/{1-(1-a)(1-b)}。
同理可得
q=(1-a)b+(1-a)(1-b)(1-a)b+(1-a)(1-b)(1-a)(1-b)(1-a)b+...
=(1-a)b{1+(1-a)(1-b)+(1-a)(1-b)(1-a)(1-b)+...}
=(1-a)b/{1-(1-a)(1-b)}。
概率p，還可用以下辦法通過條件概率算得。
用A表示甲第一槍命中，用B表示甲第一槍不中，乙第一槍命中，用C表示甲第一槍不中，乙第一槍也不中，則：p=P(活|A)P(A) + P(活|B)P(B)+P(活|C)P(C)。
不難算出：P(A)=a，P(B)=(1-a)b，P(C)=(1-a)(1-b)，並且P(活|A)=1，P(活|B)=0，P(活|C)=p。為什麽P(活|C)=p？因為這時又是甲先行，舊戲重現。所以p=a+p(1-a)(1-b)。從中也可得p=a/{1-(1-a)(1-b)}。
二 亂世英雄
好萊塢有部經典西部影片“The good, the bad and the ugly”。影片的結尾，三個槍手等距離站立在墓地的一塊空地上，正進行三人的生死角逐，觀眾凝神而視：好人，壞人，醜陋之人，誰將贏得最後的勝利？
我們也將看到一場三人的生死角逐：在曠野之地，等距離地站著甲，乙，丙三人，持槍而立。三人的槍法如下：丙是神槍手，百發百中；乙槍法也佳，十有九中；甲差一點，隻有五五之數。角逐的規則如下：如輪到某人打，他可決定先打誰，如打中，餘下的那人接著打，如未中，則被打之人優先接著打，甲先行。槍擊持續到隻有最後一人勝出。
平時不努力，臨陣徒傷輩，甲該如何辦呀？
大家都想活下來，甲應該先打誰呢？
用a,b,c分別表示甲，乙，丙打中的概率。已知：a=0.5,b=0.9,c=1。
策略一：甲先打乙，P(甲活)=P(甲活|甲打中乙)P(甲打中乙)+P(甲活|甲未打中乙)P(甲未打中乙)。
我們已知P(甲打中乙)=a，P(甲未打中乙)=1-a。如甲打中乙，則輪到丙打，甲必死，所以
P(甲活|甲打中乙)=0。如甲未打中乙，則輪到乙打，乙必先打丙；如打中，便回到甲乙對決的局麵了。如未中，丙必先打乙，乙死，甲有最後一次機會。所以有：
P(甲活)=P(甲活|甲未打中乙)P(甲未打中乙)
=(1-a)P(甲活|甲未打中乙)
=(1-a)｛bP(甲活|乙打中丙)+(1-b)P(甲活|乙未打中丙)｝
=(1-a)｛ab/[1-(1-a)(1-b)]+(1-b)a｝。
代入a=0.5,b=0.9可得P(甲活)=0.26184。
策略二：甲先打丙，P(甲活)=P(甲活|甲打中丙)P(甲打中丙)+P(甲活|甲未打中丙)P(甲未打中丙)。
我們已知P(甲打中丙)=a，P(甲未打中丙)=1-a。如甲打中丙，則輪到乙打，變成甲乙對決乙先打的局麵了。如未中，丙必先打乙，乙死，甲有最後一次機會。
所以有：
P(甲活)=aP(甲活|甲打中丙)+(1-a)P(甲活|甲未打中丙)
=a(1-b)a/{1-(1-a)(1-b)}+(1-a)a
代入a=0.5,b=0.9可得P(甲活)=0.27631。
兩種策略，甲活的機會都不大，凶多吉少。
但是，且慢，為了活命，甲決定耍次賴皮，還有如下兩種策略，好死不如賴活嘛。
策略三：甲先打丙，但第一次故意不中，丙必先打乙，甲再全力以赴打丙，甲活的概率是a=0.5。
策略四：甲先打乙，但第一次故意不中，乙必先打丙。如乙未打中丙，丙必先去掉乙，甲還有一次全力拚搏的機會。如乙打中丙，又變回甲乙對決的局麵了。所以，
P(甲活)=bP(甲活|乙打中丙)+(1-b)P(甲活|乙未打中丙)
=ba/[1-(1-a)(1-b)]+(1-b)a
代入a=0.5,b=0.9可得P(甲活)=0.52368。
利用策略四，甲存活的概率大大提高，但是有點耍賴，讀者朋友評評，做這個賴皮，值還是不值？
這樣一來，三流混混甲活下來的概率竟然最大。真是亂世出英雄啊！
更為悲劇的是，神槍手丙能活的概率竟然隻有區區的0.05。大家說，哪裏評理去？天妒英才啊！
