趣味數學（七） 兩個概率問題

口袋裏有三張卡片，一張正反兩麵皆黑，一張正麵白反麵黑，還有一張反麵白正麵黑。

問題一：你從中取出一張卡片平放在桌上，發現是黑的，問另一麵也是黑的概率幾何？

這涉及到條件概率。用（XY，Z）表示正麵是X，反麵是Y，向上一麵為Z，用B表示黑色，W表是白色。比如，（BW，B）表示，卡片的正麵為黑，反麵為白，黑麵向上。同理，（BW，W）表示，卡片的正麵為黑，反麵為白，白麵向上。

我們先列出所有可能的結果，也即樣本空間如下：

1：（BB，B）
2：（BW，B）
3：（WB，B）
4：（BW，W）
5：（WB，W）

其中，事件1發生的概率為1/3，其它四個事件發生的概率均為1/6。用條件概率計算公式，P(1|向上一麵是黑)=P(1)/{P(1)+P(2)+P(3)}=(1/3)/{1/3+1/6+1/6}=1/2.

問題二：你閉起眼睛從中取出一張卡片遞給我，我看了兩麵之後總是選出黑的一麵向上平放在桌上，問你另一麵也是黑的概率又是幾何？

這裏同樣涉及到條件概率。其樣本空間如下：

1：（BB，B）
2：（BW，B）
3：（WB，B）

這裏，三個事件發生的概率都是1/3。請注意，問題一中的事件4和5不見了。不難算出，問題二中，兩麵都黑的概率是1/3。

不知讀者對問題的解答有沒有疑問？

如沒有，恭喜你，因為這裏的問題和“趣味數學（一） 風乍起，吹皺一池春水”中的驢車問題等價。驢車問題，不少人還心存疑慮。

為什麽說這兩個問題等價呢？不妨假設幸運觀眾甲選中的是一號門。讓二號門對應卡片的正麵，三號門對應卡片的反麵，黑麵對應驢，白麵對應跑車。這樣就建立了兩個問題的對應關係。甲挑中了跑車對應卡片兩麵皆黑，甲挑中了驢則分別對應另外兩種卡片的情形。這樣，問題二就相當於主持有意打開一扇有驢的門，然後問甲願不願交換。這時交換顯然有利。

[朝霞滿天]

回複碧藍天的評論:
藍天會開玩笑。等你的不老荒情。

[碧藍天]

還是佩服！隻有下輩子，我才可能有個這麽好的數學腦子。