趣味數學（五）再論稱球

假如我們能夠使用k次天平找出n個球中的一個壞球並告之輕重，並且沒有一個球在k次稱法中總在同一個盤中，如何在這個基礎上用k+1次天平找出更多的球中的一個壞球並告知輕重？

我們說，用k+1次天平，能找出3n+3個球中的一個壞球，作法如下。

將3n＋3個球依次標號為a_1，a_2，...，a_n；b_1，b_2，...，b_n；c_1，c_2，...，c_n；d_1，d_2，d_3。

假設對標號為1，2，...，n的n個球，k次稱法分別為W_1，W_2，...，W_k。

現在我們用如下稱法：在每次稱法中，a_i，b_i，c_i放在i對應的盤中。在這k次稱法中，d_1總放在左盤，d_2總放在右盤。在接下來的一次稱法W中，d_2和所有的b球放在左盤，d_３和所有的c球放在右盤，d_1和所有的a球不在盤中。請注意，在這（k+1)次稱法中，依然沒有一個球總在同一個盤中。

我們說，按這樣的稱法，就能找出3n+3個球中的一個壞球。為什麽？理由如下。

如果在前k次稱法中，每次結果都一樣，那就表示壞球必在d_1，d_2，d_3中；在下一次稱法中就能進一步確定壞球和輕重了。

如果壞球不在d_1，d_2，d_3中，在前k次稱法，能找到壞球x，那就表示我們的壞球必在a_x，b_x，c_x之中，接下去的稱法必能進一步確定哪一個是壞球和輕重。

接下來讓我們看一個簡單問題：如何使用２次天平找出３個球中的壞球？這個就容易了。第一次，左盤放１號球，右盤放２號球，３號球放一邊；第二次，左盤放２號球，右盤放３號球，１號球放一邊。這樣很容易找出壞球並告知輕重。

這樣，使用３次天平找出個12球中的壞球也就不難了。具體稱法如下：

  左盤                                右盤
-------------------             ---------------------
a_1，b_1，c_1，d_1               a_2，b_2，c_2，d_2
a_2，b_2，c_2，d_1               a_3，b_3，c_3，d_2
b_1，b_2，b_3，d_2               c_1，c_2，c_3，d_3

知道數學歸納法的朋友，不難把這個結果推廣為：使用k次天平，能夠找出(3^k-3)/2個球中的一個壞球並告之輕重。

[朝霞滿天]

謝碧藍天留言。我得慢慢改，盡量使它通俗易懂。

[碧藍天]

這複雜了點。一看頭就疼，把俺這文科生嚇壞了！先頂著數學家！