數學遊戲概率題目求答

數學遊戲概率題目求答

水寒　[e-mail]

全國人口從戰國時期到清朝初年一直波動在1000-6000萬，這個過程中80-90%的姓氏和無數民族相繼滅絕。哥倫布1492年發現美洲，美洲高產作物玉米、土豆、紅薯等陸續引入歐亞大陸，經過兩百年左右的試種，18世紀在歐亞大陸推廣，清朝康熙年間開始中國人口像歐亞其他國家人口一樣才快速增長的，中國人口從康熙的數千萬人口經過一百多年增加到19世紀初的4億（乾隆皇帝看了1792年的人口統計冊，說：“朕查上年各省奏報民數，較之康熙年間，計增十餘倍”；說明康熙初年人口最多三千萬），然後中國人口維持在4億長達一百多年。再從20世紀初的4億增加到現在的13億。

人口繁衍是小概率事件，現在全世界所有男性的Y染色體都來自多少萬年前的一個男性祖先、全世界所有女性的線粒體都來自多少萬年前的一個女性祖先。
　　
中華民族據稱是來自五千多年前的炎黃。而家譜記載現在很多人口上百萬的家族都來自一兩千年前的的一個祖先，四川很多上萬人的家族都來自300年前清朝初年的一個祖先。比如目前全國易氏250萬，都來自晉朝的易雄（就是說晉朝時期數萬易氏中間隻有易雄一個人有後裔繁衍到現在）；四川金堂2萬易氏都來自康熙時期的易文上，重慶合川一萬多易氏都來自康熙時期的易良詳。這在概率學上是可信的。很多姓氏家譜顯示中國人口平均是以32到34年(說不定是生了幾個女兒或者夭折幾個兒子後才存活一個兒子) 一代的速度在繁衍.

假如一個家族人口沒有波動，一直維持在10萬的話，平均繁衍，每個夫婦都生育兩個孩子（出生性別比為1：1）。那麽1/4生育兩個女兒，1/4生育兩個兒子，2/4生育一兒一女。第一代就有1/4的家族沒有男性後裔，第二代又有一些家族沒有男性後裔，……。請問，經過多少代這同樣的10萬人的家族都來自一個祖先？請列出計算公式。

再算算現在中國6億男性人口從概率上來自多少代之前的一個共同祖先？

假定下麵幾個前提
1.人口數量保持長時間的不變化
2.每個夫妻生育2個小孩,男女,女男,男男,女女的概率都是1/4
3.到了某一代沒有男性後代認為此家族滅亡（純粹數學問題,不涉及男女平等問題）^_^
4.每個父親生下兩個小孩(以上均是為了建立一個可分析的數學模型做的假設,不涉及實際情況)10萬男人同一個祖先，可以這樣理解,在X年前同樣有10萬男人,經過X年後X年前這10萬男人在X年後的這一代隻有1個男人有男性後代,其他沒有,從概率上就是說,X年前的這10萬個男人的一個男人在X年後的這一代有男性後代的概率是十萬分之一,也就是說沒有男性後代的概率達到十萬分之九萬九千九百九十九.

假如共有64個人， 第一代有1/4是生女女，有16個人沒有男性後裔；　　
第二代中：16人男女， 16人女男，這32個人又有8人沒有男性後裔；16人男男中有1人沒有男性後裔。　　
所以到第二代是共有16+8+1=25人沒有男性後裔，就是25/64沒有男性後裔。

說明：這純粹隻是一個數學遊戲，不是真正的人口繁衍模擬。人口繁衍比這個複雜多了，比如出生性別比就不是1:1，有些人生育七八個男孩，有些沒有結婚；有些家族繁衍數百年有數千人口，但一場戰亂、一場傳染病就將整個家族滅絕。

有個網友列出下麵的公式（到第二代是對的，但不知道用他的公式第3代及以後是否仍然正確，請各位高手評判）:
當代沒有男性後代的概率
A1 1/4
A2 3/4 * 2/3 * 1/4 + 3/4 * 1/3 * 1/16 = 9/64
An (1-A1-......-An-1)* 2/3 * 1/4+(1-A1......-An-1)* 1/3 * 1/16
　　
Bn=A1+...+An;
當Bn>=0.99999時 n>=56
經過56代人,十萬人是同一個祖先,假定每代30年需要1972年

謝謝各位高手！