近代數學如參天大樹，已是分支眾多，枝繁葉茂。在這棵蒼勁的大樹上懸掛著不勝其數的數學難題。其中最耀眼奪目的是四色地圖問題、費爾馬大定理和哥德巴赫猜想。它們被稱為近代三大數學難題。
300多年以來，費爾馬大定理使世界上許多著名數學家殫精竭慮，有的甚至耗盡了畢生精力。費爾馬大定理神秘的麵紗終於在1995年揭開，被43歲的英國數學家維爾斯一舉證明。這被認為是“20世紀最重大的數學成就”。
費爾馬大定理的由來
故事涉及到兩位相隔1400年的數學家，一位是古希臘的丟番圖，一位是法國的費爾馬。丟番圖活動於公元250年前後。
1637 年，30來歲的費爾馬在讀丟番圖的名著《算術》的法文譯本時，他在書中關於不定方程 x^2＋ y^2 ＝z^2 的全部正整數解這頁的空白處用拉丁文寫道：“任何一個數的立方，不能分成兩個數的立方之和；任何一個數的四次方，不能分成兩個數的四次方之和，一般來說， 不可能將一個高於二次的冪分成兩個同次的冪之和。我已發現了這個斷語的美妙證法，可惜這裏的空白地方太小，寫不下。”
費爾馬去世後，人們在整理他的遺物時發現了這段寫在書眉上的話。1670年，他的兒子發表了費爾馬的這一部分頁端筆記，大家才知道這一問題。後來，人們就把這一論斷稱為費爾馬大定理。用數學語言來表達就是：形如x^n+y^n=z^n的方程，當n大於2時沒有正整數解。
費爾馬是一位業餘數學愛好者，被譽為“業餘數學家之王”。1601年，他出生在法國南部圖盧茲附近一位皮革商人的家庭。童年時期是在家裏受的教育。長大以後，父親送他在大學學法律，畢業後當了一名律師。從1648年起，擔任圖盧茲市議會議員。
他酷愛數學，把自己所有的業餘時間都用於研究數學和物理。由於他思維敏捷，記憶力強，又具備研究數學所必須的頑強精神，所以，獲得了豐碩的成果，使他躋身於17世紀大數學家之列。
艱難的探索
起初，數學家想重新找到費爾馬沒有寫出來的那個“美妙證法”，但是誰也沒有成功。著名數學家歐拉用無限下推法證明了方程 x^3+y^3=z^3和x^4+y^4=z^4不可能有正整數解。
因為任何一個大於2的整數，如果不是4的倍數，就一定是某一奇素數或它的倍數。因此，隻要能證明n＝4以及n是任一奇素數時，方程都沒有正整數解，費爾馬大定理就完全證明了。n＝4的情形已經證明過，所以，問題就集中在證明n等於奇素數的情形了。
在歐拉證明了 n＝ 3， n＝ 4以後， 1823年和 1826年勒讓德和狄利克雷各自獨立證明了 n＝ 5的情形， 1839年拉梅證明了 n＝ 7的情形。就這樣，一個一個奇素數證下去的長征便開始了。
其中，德國數學家庫默爾作出了重要貢獻。他用近世代數的方法，引入了自己發明的“理想數”和“分圓數”的概念，指出費爾馬大定理隻可能在n等於某些叫非正則素數的值時，才有可能不正確，所以隻需對這些數進行研究。這樣的數，在100以內，隻有37、59、67三個。他還具體證明了當 n＝ 37、59、67時，方程x^n+y^n=z^n是不可能有正整數解的。這就把費爾馬大定理一下推進到n在100以內都是成立的。庫默爾“成批地”證明了定理的成立，人們視之為一次重大突破。1857年，他獲得巴黎科學院的金質獎章。
這一“長征”式的證法，雖然不斷地刷新著記錄，如 1992年更進到n＝1000000，但這不等於定理被證明。看來，需要另辟蹊徑。
10萬馬克獎給誰
從費爾馬時代起，巴黎科學院曾先後兩次提供獎章和獎金，獎勵證明費爾馬大定理的人，布魯塞爾科學院也懸賞重金，但都無結果。1908年，德國數學家佛爾夫斯克爾逝世的時候，將他的10萬馬克贈給了德國哥庭根科學會，作為費爾馬大定理的解答獎金。
哥庭根科學會宣布，獎金在100年內有效。哥庭根科學會不負責審查稿件。
10萬馬克在當時是一筆很大的財富，而費爾馬大定理又是小學生都能聽懂題意的問題。於是，不僅專搞數學這一行的人，就連很多工程師、牧師、教師、學生、銀行職員、政府官吏和一般市民，都在鑽研這個問題。在很短時間內，各種刊物公布的證明就有上千個之多。
當時，德國有個名叫《數學和物理文獻實錄》的雜誌，自願對這方麵的論文進行鑒定，到 1911年初為止，共審查了111個“證明”，全都是錯的。後來實在受不了沉重的審稿負擔，於是它宣布停止這一審查鑒定工作。但是，證明的浪潮仍洶湧澎 湃，雖然兩次世界大戰後德國的貨幣多次大幅度貶值，當初的10萬馬克折算成後來的馬克已無多大價值。但是，熱愛科學的可貴精神，還在鼓勵著很多人繼續從事 這一工作。
姍姍來遲的證明
經過前人的努力，證明費爾馬大定理取得了許多成果，但離定理的證明，無疑還有遙遠的距離。怎麽辦？來必須要用一種新的方法，有的數學家用起了傳統的辦法——轉化問題。
人們把丟番圖方程的解與代數曲線上的某種點聯係起來，成為一種代數幾何學的轉化，而費爾馬問題不過是丟番圖方程的一個特例。在黎曼的工作基礎上，1922 年，英國數學家莫德爾提出一個重要的猜想。：“設F（x，y）是兩個變數x、y的有理係數多項式，那麽當曲線F（x，y）= 0的虧格（一種與曲線有關的量）大於1時，方程F（x，y）＝0至多隻有有限組有理數”。1983年，德國29歲的數學家法爾廷斯運用蘇聯沙法拉維奇在代 數幾何上的一係列結果證明了莫德爾猜想。這是費爾馬大定理證明中的又一次重大突破。法爾廷斯獲得了1986年的菲爾茲獎。
維爾斯仍采用代數幾何的方法去攀登，他把別人的成果奇妙地聯係起來，並且吸取了走過這條道路的攻克者的經驗教訓，注意到一條嶄新迂回的路徑：如果穀山——誌村猜想成立，那麽費爾馬大定理一定成立。這是1988年德國數學家費雷在研究日本數學家穀山——誌村於1955年關於橢圓函數的一個猜想時發現的。
維爾斯出生於英國牛津一個神學家庭，從小對費爾馬大定理十分好奇、感興趣，這條美妙的定理導致他進入了數學的殿堂。大學畢業以後，他開始了幼年的幻想，決心去圓童年的夢。他極其秘密地進行費爾馬大定理的研究，守口如瓶，不透半點風聲。
窮七年的鍥而不舍，直到1993 年6月23日。這天，英國劍橋大學牛頓數學研究所的大廳裏正在進行例行的學術報告會。報告人維爾斯將他的研究成果作了長達兩個半小時的發言。10點30 分，在他結束報告時，他平靜地宣布：“因此，我證明了費爾馬大定理”。這句話像一聲驚雷，把許多隻要作例行鼓掌的手定在了空中，大廳時鴉雀無聲。半分鍾 後，雷鳴般的掌聲似乎要掀翻大廳的屋頂。英國學者顧不得他們優雅的紳士風度，忘情地歡騰著。
消息很快轟動了全世界。各種大眾傳媒紛紛報道，並稱之為“世紀性的成就”。人們認為，維爾斯最終證明了費爾馬大定理，被列入1993年世界科技十大成就之一。
可不久，傳媒又迅速地報出了一個“爆炸性”新聞：維爾斯的長達200頁的論文送交審查時，卻被發現證明有漏洞。
維爾斯在挫折麵前沒有止步，他用一年多時間修改論文，補正漏洞。這時他已是“為伊消得人憔悴”，但他“衣帶漸寬終不悔”。1994年9月，他重新寫出一篇108頁的論文，寄往美國。論文順利通過審查，美國的《數學年刊》雜誌於1995年5月發表了他的這一篇論文。維爾斯因此獲得了1995～1996年度的沃爾夫數學獎。
經過 300多年的不斷奮戰，數學家們世代的努力，圍繞費爾馬大定理作出了許多重大的發現，並促進了一些數學分支的發展，尤其是代數數論的進展。現代代數數論中 的核心概念“理想數”，正是為了解決費爾馬大定理而提出的。難怪大數學家希爾伯特稱讚費爾馬大定理是“一隻會下金蛋的母雞”。
