-*-紫色王家思絮絮-*-
我思無邪、我行無悔
正文
先說明一下，這裏的圓錐曲線，也稱為二次曲線，就是大家所熟知的橢圓、拋物線以及雙曲線的統稱，這是中學數學中的平麵解析幾何的主要內容，相信大家都還記 得。曆史上第一位對圓錐曲線作出係統研究的是古希臘大拿阿波羅尼斯，他老人家將圓錐曲線的主要性質幾乎一網打盡，直到一千多年後笛卡兒創立了解析幾何才有 了質的改變。溫習一下，我們有：
橢圓 (&圓 as a special case)：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1；
雙曲線：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1；
拋物線：y^2 = 2ax
這些 (由定義導出的) 公式，相信大家都記得，即使是成色十足的文科大拿也應該記得。另外再說明一下，為了後文表述的簡潔，我們假設空間是一維的，以 x 標記；時間自然是一維的 (當然如果是 2 維或者以上，那現在大約隻有供大家在哲學上胡掰的意義)，以 t 標記。光速不變是指狹義相對論意義下的真空中慣性參照係中的光速不變；或者從廣義相對論的角度來說，是指某個“點”附近的平直空間滿足絡倫茲變換 (理解這點可能稍微困難一點，但是卻是至關重要的，建議蒙古物理學家們仔細體會)。
好了，有了這些鋪墊，俺們從初等幾何的觀點出發，來考察“光速不變”以及相關話題 (例如因果律) 的幾何意義。盡管咱們隻涉及初等幾何，但會涉及到非歐幾何，所以對許多蒙古數學家和蒙古物理學家而言，某些表述可能會有點陌生。涉及非歐幾何的部分，俺想 了想，將在下集裏集中表述。
在閑侃 (1) 中咱們說過，在看起來非常合理的假設下，從變換群的觀點出發，可以推理出咱們這個物理世界的運動速度必須對應以下三種情形之一：
a) 速度可以是任意值；特別，速度的最大值是無窮大；
b) 速度存在個上限值；
c) 速度存在個下限值。
不同的情形對應著不同的時空；從幾何觀點看，也對應著不同的幾何。對最簡單的 a) 而言，大家知道，相應的時空變換是迦利略變換，對應著牛頓經典力學，在不同的參照係中，t1 = t2，完全和空間無關，時間是絕對的；若不考慮時間部分，其對應的幾何就是大家最熟悉的歐幾裏得幾何；但若考慮兩維時空 (as a whole，記住這裏咱們約定了，為了表述簡單，隻考慮一維空間)，迦利略變換對應的幾何不是歐幾裏得幾何，而是一種比歐幾裏得幾何更簡單的幾何：迦利略 幾何。迦利略幾何之所以比歐幾裏得幾何更簡單，是因為前者涉及到角度的轉動時，其對應的轉動幾何量是能直接線性相加減的，而歐幾裏得幾何則和三角函數有 關，例如在歐幾裏得幾何中，我們有關於三角形的正弦定理：a/sinA = b/sinB =c/sinC，而在迦利略幾何中其對應的正弦定理就退化成 trivial 的形式：a/A=b/B=c/C。
我們重點介紹 b)，對應於咱們的物理世界，以及 c)，對應於某種假想的、不存在的物理世界。這裏俺之所以也討論 c)，是因為：
1) 好奇 (俺自己用初等數學推導了一下相應的變換，俺好奇它到底對應著什麽)；
2) 和 a)、b) 類比，從非歐幾何的角度，能係統地闡述 a)、b)、c)；
3) 廣義相對論框架下可能潛在的物理意義。這點往往會被人忽視，但如本文開頭所說的，絡倫茲變換 (考慮動力學內容，就是狹義相對論) 本質上是廣義相對論幾何表述下的一個 component，亦即局域平直空間所遵循的坐標變換。既然狹義相對論隻是廣義相對論局域上所要求的，這就使得在大範圍考慮物理 (當然，這主要是宇宙學方麵的內容了) 時，就至少在理論上存在 A 處和 B 處的幾何空間/局域坐標變換不同的可能 (當然，迦利略變換也是 choice 之一)。當然，這個考慮看起來有點匪夷所思 (主要是其物理意義看起來很牽強附會)。
b) 對應大家熟悉的絡倫茲變換 (rescale 使得最大速度 -- 光速 = 1)：
t1 = a*( t - v*x)
x1 = a*(-v*t + x)
這裏 a = 1/sqrt(1-v^2)，就是所謂的洛倫茲因子。因為 v < 1，所以 a > 1，無須贅述。
現在我們開始看因果律。哲學上的因果律自然是眾說紛紜，例如大哲學家、數理邏輯學家羅素 (就是以哲學散文獲得諾貝爾文學獎的那位) 就這樣描述：“因果律是一個普遍原理,在已知關於某些時空領域的充分數據的條件下,憑借這個原理我們可以推論出關於某些其它時空領域的若幹情況”，但是在 物理上，因果律特別是經典的因果律，有一個嚴謹的表述，那就是，如果兩個事件有“因果關係”，“因事件”發生在前，“果事件”發生在後，假設“因果”時間 上相差 10 秒，那麽在另一參照係 (這裏指慣性參照係) 中的觀測者來看，盡管“因果”時間上相差可以不是 10 秒，但是因果的先後秩序是不變的，絕對不會出現“果事件”在前發生的情況。也就是說，“因果律”的數學符號 (正數、負數或者 0) 是個不變量。
顯然，因果律在哲學上、物理上都是重大的話題。例如假設我看到的是北韓先向南韓發射一枚導 彈，然後看到導彈在首爾爆炸，而你看到的卻是導彈先在首爾爆炸，然後才看到北韓先南韓發射那枚導彈，那會如何？曆史上，盡管因果律顯然是最重要的話題之 一，但是物理學卻幾乎沒有相應的理論專門討論因果律，就算是現在“公理化物理”大行其道的今天，也幾乎沒有什麽理論將它作為前提條件提出來。當然，我想這 其中最大的理由就是，在經典物理裏，因果律從來就不是問題 (因為絕對時間的存在)；在狹義相對論裏，它也不是問題，至少在咱們這個物理世界，它也不是問題 (等下我們看看這句話到底是什麽意思)。在物理學上，經典的因果律主要在以下兩種情形出問題：
1) 廣義相對論；
2) 量子力學。
噢~~喔......，大家看到麻煩了麽？盡管因果律主要隻在兩種情形下出問題，但是出問 題的廣義相對論和量子力學偏偏是現代物理最重要的理論。不過，好在現代物理學的另一根基，狹義相對論，還能嚴格遵守因果律；而廣義相對論對因果律的違背， 本質上是因為幾何描述是非平直空間的結果，理論上它是可以計算、追蹤的，所以至少在本源上，這不是多大的問題，但是在量子力學中，這種對經典因果律的違背 卻是本質的，不可解的 (例如著名的薛定愕貓)。曆史上，這是以愛因斯坦和波爾之間的世紀論戰所爭論的主要話題之一。追求唯美的愛因斯坦不能忍受經典的因果律在物理學中得以破 壞。
從上麵給出的絡倫茲變換公式可以簡單地證明：
t1^2 - x1^2 = t^2 - x^2 = B
也就是說，在不同的慣性參照係下，t^2 - x^2 是個不變量 B (注意我們已經將光速 c 定義為 1)。t^2 - x^2 = B = const 是啥？雙曲線，對不對？因為我們已經假設了 c 是所有物體運動速度的上限，所以對有物理意義的事件而言，它隻可能存在於 |t| >= |x| 的區域，也就是下圖中畫陰影部分的那個三角形區域 (當然，若考慮三維空間，這個三角形區域將會是個圓錐)，而紅線則是雙曲線 t^2 - x^2 = B > 0 的漸進線，很明顯，其斜率 = 1 就是光速。而空白區域 (非陰影部分，當然這裏我們限於 t >= 0) 則是沒有物理意義的區域。數學上可以簡單地證明，對陰影部分的任何事件而言，經典的因果律是嚴格得以遵守的，而這正是愛因斯坦質疑哥本哈根學派的主要理由 之一。
如果光速增加 5 倍呢？如果光速增加 5 倍，在同一 scale 下，那麽有物理意義的區域就是斜率 = 1/5 或者 -1/5 兩條直線 (圖中的藍色直線) 之上的區域，很明顯這比紅色區域要大。如果光速無限地增加到無窮大，那麽 b) 就退化到情形 a)，絡侖茲變換就退化到加利略變換，所有的區域都是有物理意義的，因果律都得以遵守 ---- 這也是曆史上因果律不那麽重要、沒有很早就擺到台麵的原因(之一)：因為它根本不是問題。
那麽 Case c) 對應啥？這和咱們的物理世界不符合 (因為它要求在任何慣性參照係下，物體的運動速度都會大於或者等於某個定值)，但是它的數學描述卻是應該有的。俺沒有找到相關的描述，但是好在從 c) 出發，推導出相應的變換公式不難，俺就邊碼字邊推導，結果如下 (無傷大雅地，咱們這裏也稱之為“絡侖茲變換”)：
t1 = b * ( t + v*x)
x1 = b * (-v*t + x)
b = 1/sqrt (1+v^2)，這裏 v 是速度，最小速度 d 已經設為 1，自然根據假定，v >= d = 1，所以“絡侖茲因子” b <= sqrt(2)/2。
很容易證明，在上述“絡侖茲變換”下，二維時空的平方和
t^2 + x^2 = B = const
是個不變量。對有物理意義的事件而言，它隻可能存在於 |t| <= |x| 的區域，也就是下圖中畫陰影部分的那兩個三角形區域 (若考慮三維空間，這兩個三角形區域，會是一個圓柱挖去一個圓錐)，而紅線斜率 = 1 (or -1) 就是最小速度。而空白區域 (非陰影部分，當然這裏我們限於 t >= 0) 則是沒有物理意義的區域。數學上可以類似地證明，對陰影部分的任何事件而言，經典的因果律也是嚴格得以遵守的。
如果最小速度減少 4 倍呢？如果最小速度減少 4 倍，在同一 scale 下，那麽有物理意義的區域就是斜率 = 4 或者 -4 兩條直線 (圖中的藍色直線) 之下的區域，很明顯這比紅色區域要大。如果最小速度減少到 0，那麽 c) 就退化到情形 a)，“絡侖茲變換”就退化到加利略變換，所有的區域都是有物理意義的，因果律都得以遵守。
接下來我們來看三種時空變換下對應的幾何是什麽。咱們的結論是：
a) 對應於加利略幾何 (比歐幾裏得幾何更簡單的幾何，屬於非歐幾何的一種)；
b) 對應於閔可夫斯基幾何 (自然也屬於非歐幾何的一種)；
c) 對應於通常的歐幾裏得幾何。
具體如何，且聽下回分解。今天俺累死了。 - See more at: http://blog.creaders.net/jingjibird628/user_blog_diary.php?did=153455#sthash.GePiayIU.dpuf
橢圓 (&圓 as a special case)：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1；
雙曲線：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1；
拋物線：y^2 = 2ax
這些 (由定義導出的) 公式，相信大家都記得，即使是成色十足的文科大拿也應該記得。另外再說明一下，為了後文表述的簡潔，我們假設空間是一維的，以 x 標記；時間自然是一維的 (當然如果是 2 維或者以上，那現在大約隻有供大家在哲學上胡掰的意義)，以 t 標記。光速不變是指狹義相對論意義下的真空中慣性參照係中的光速不變；或者從廣義相對論的角度來說，是指某個“點”附近的平直空間滿足絡倫茲變換 (理解這點可能稍微困難一點，但是卻是至關重要的，建議蒙古物理學家們仔細體會)。
好了，有了這些鋪墊，俺們從初等幾何的觀點出發，來考察“光速不變”以及相關話題 (例如因果律) 的幾何意義。盡管咱們隻涉及初等幾何，但會涉及到非歐幾何，所以對許多蒙古數學家和蒙古物理學家而言，某些表述可能會有點陌生。涉及非歐幾何的部分，俺想 了想，將在下集裏集中表述。
在閑侃 (1) 中咱們說過，在看起來非常合理的假設下，從變換群的觀點出發，可以推理出咱們這個物理世界的運動速度必須對應以下三種情形之一：
a) 速度可以是任意值；特別，速度的最大值是無窮大；
b) 速度存在個上限值；
c) 速度存在個下限值。
不同的情形對應著不同的時空；從幾何觀點看，也對應著不同的幾何。對最簡單的 a) 而言，大家知道，相應的時空變換是迦利略變換，對應著牛頓經典力學，在不同的參照係中，t1 = t2，完全和空間無關，時間是絕對的；若不考慮時間部分，其對應的幾何就是大家最熟悉的歐幾裏得幾何；但若考慮兩維時空 (as a whole，記住這裏咱們約定了，為了表述簡單，隻考慮一維空間)，迦利略變換對應的幾何不是歐幾裏得幾何，而是一種比歐幾裏得幾何更簡單的幾何：迦利略 幾何。迦利略幾何之所以比歐幾裏得幾何更簡單，是因為前者涉及到角度的轉動時，其對應的轉動幾何量是能直接線性相加減的，而歐幾裏得幾何則和三角函數有 關，例如在歐幾裏得幾何中，我們有關於三角形的正弦定理：a/sinA = b/sinB =c/sinC，而在迦利略幾何中其對應的正弦定理就退化成 trivial 的形式：a/A=b/B=c/C。
我們重點介紹 b)，對應於咱們的物理世界，以及 c)，對應於某種假想的、不存在的物理世界。這裏俺之所以也討論 c)，是因為：
1) 好奇 (俺自己用初等數學推導了一下相應的變換，俺好奇它到底對應著什麽)；
2) 和 a)、b) 類比，從非歐幾何的角度，能係統地闡述 a)、b)、c)；
3) 廣義相對論框架下可能潛在的物理意義。這點往往會被人忽視，但如本文開頭所說的，絡倫茲變換 (考慮動力學內容，就是狹義相對論) 本質上是廣義相對論幾何表述下的一個 component，亦即局域平直空間所遵循的坐標變換。既然狹義相對論隻是廣義相對論局域上所要求的，這就使得在大範圍考慮物理 (當然，這主要是宇宙學方麵的內容了) 時，就至少在理論上存在 A 處和 B 處的幾何空間/局域坐標變換不同的可能 (當然，迦利略變換也是 choice 之一)。當然，這個考慮看起來有點匪夷所思 (主要是其物理意義看起來很牽強附會)。
b) 對應大家熟悉的絡倫茲變換 (rescale 使得最大速度 -- 光速 = 1)：
t1 = a*( t - v*x)
x1 = a*(-v*t + x)
這裏 a = 1/sqrt(1-v^2)，就是所謂的洛倫茲因子。因為 v < 1，所以 a > 1，無須贅述。
現在我們開始看因果律。哲學上的因果律自然是眾說紛紜，例如大哲學家、數理邏輯學家羅素 (就是以哲學散文獲得諾貝爾文學獎的那位) 就這樣描述：“因果律是一個普遍原理,在已知關於某些時空領域的充分數據的條件下,憑借這個原理我們可以推論出關於某些其它時空領域的若幹情況”，但是在 物理上，因果律特別是經典的因果律，有一個嚴謹的表述，那就是，如果兩個事件有“因果關係”，“因事件”發生在前，“果事件”發生在後，假設“因果”時間 上相差 10 秒，那麽在另一參照係 (這裏指慣性參照係) 中的觀測者來看，盡管“因果”時間上相差可以不是 10 秒，但是因果的先後秩序是不變的，絕對不會出現“果事件”在前發生的情況。也就是說，“因果律”的數學符號 (正數、負數或者 0) 是個不變量。
顯然，因果律在哲學上、物理上都是重大的話題。例如假設我看到的是北韓先向南韓發射一枚導 彈，然後看到導彈在首爾爆炸，而你看到的卻是導彈先在首爾爆炸，然後才看到北韓先南韓發射那枚導彈，那會如何？曆史上，盡管因果律顯然是最重要的話題之 一，但是物理學卻幾乎沒有相應的理論專門討論因果律，就算是現在“公理化物理”大行其道的今天，也幾乎沒有什麽理論將它作為前提條件提出來。當然，我想這 其中最大的理由就是，在經典物理裏，因果律從來就不是問題 (因為絕對時間的存在)；在狹義相對論裏，它也不是問題，至少在咱們這個物理世界，它也不是問題 (等下我們看看這句話到底是什麽意思)。在物理學上，經典的因果律主要在以下兩種情形出問題：
1) 廣義相對論；
2) 量子力學。
噢~~喔......，大家看到麻煩了麽？盡管因果律主要隻在兩種情形下出問題，但是出問 題的廣義相對論和量子力學偏偏是現代物理最重要的理論。不過，好在現代物理學的另一根基，狹義相對論，還能嚴格遵守因果律；而廣義相對論對因果律的違背， 本質上是因為幾何描述是非平直空間的結果，理論上它是可以計算、追蹤的，所以至少在本源上，這不是多大的問題，但是在量子力學中，這種對經典因果律的違背 卻是本質的，不可解的 (例如著名的薛定愕貓)。曆史上，這是以愛因斯坦和波爾之間的世紀論戰所爭論的主要話題之一。追求唯美的愛因斯坦不能忍受經典的因果律在物理學中得以破 壞。
從上麵給出的絡倫茲變換公式可以簡單地證明：
t1^2 - x1^2 = t^2 - x^2 = B
也就是說，在不同的慣性參照係下，t^2 - x^2 是個不變量 B (注意我們已經將光速 c 定義為 1)。t^2 - x^2 = B = const 是啥？雙曲線，對不對？因為我們已經假設了 c 是所有物體運動速度的上限，所以對有物理意義的事件而言，它隻可能存在於 |t| >= |x| 的區域，也就是下圖中畫陰影部分的那個三角形區域 (當然，若考慮三維空間，這個三角形區域將會是個圓錐)，而紅線則是雙曲線 t^2 - x^2 = B > 0 的漸進線，很明顯，其斜率 = 1 就是光速。而空白區域 (非陰影部分，當然這裏我們限於 t >= 0) 則是沒有物理意義的區域。數學上可以簡單地證明，對陰影部分的任何事件而言，經典的因果律是嚴格得以遵守的，而這正是愛因斯坦質疑哥本哈根學派的主要理由 之一。
如果光速增加 5 倍呢？如果光速增加 5 倍，在同一 scale 下，那麽有物理意義的區域就是斜率 = 1/5 或者 -1/5 兩條直線 (圖中的藍色直線) 之上的區域，很明顯這比紅色區域要大。如果光速無限地增加到無窮大，那麽 b) 就退化到情形 a)，絡侖茲變換就退化到加利略變換，所有的區域都是有物理意義的，因果律都得以遵守 ---- 這也是曆史上因果律不那麽重要、沒有很早就擺到台麵的原因(之一)：因為它根本不是問題。
那麽 Case c) 對應啥？這和咱們的物理世界不符合 (因為它要求在任何慣性參照係下，物體的運動速度都會大於或者等於某個定值)，但是它的數學描述卻是應該有的。俺沒有找到相關的描述，但是好在從 c) 出發，推導出相應的變換公式不難，俺就邊碼字邊推導，結果如下 (無傷大雅地，咱們這裏也稱之為“絡侖茲變換”)：
t1 = b * ( t + v*x)
x1 = b * (-v*t + x)
b = 1/sqrt (1+v^2)，這裏 v 是速度，最小速度 d 已經設為 1，自然根據假定，v >= d = 1，所以“絡侖茲因子” b <= sqrt(2)/2。
很容易證明，在上述“絡侖茲變換”下，二維時空的平方和
t^2 + x^2 = B = const
是個不變量。對有物理意義的事件而言，它隻可能存在於 |t| <= |x| 的區域，也就是下圖中畫陰影部分的那兩個三角形區域 (若考慮三維空間，這兩個三角形區域，會是一個圓柱挖去一個圓錐)，而紅線斜率 = 1 (or -1) 就是最小速度。而空白區域 (非陰影部分，當然這裏我們限於 t >= 0) 則是沒有物理意義的區域。數學上可以類似地證明，對陰影部分的任何事件而言，經典的因果律也是嚴格得以遵守的。
如果最小速度減少 4 倍呢？如果最小速度減少 4 倍，在同一 scale 下，那麽有物理意義的區域就是斜率 = 4 或者 -4 兩條直線 (圖中的藍色直線) 之下的區域，很明顯這比紅色區域要大。如果最小速度減少到 0，那麽 c) 就退化到情形 a)，“絡侖茲變換”就退化到加利略變換，所有的區域都是有物理意義的，因果律都得以遵守。
接下來我們來看三種時空變換下對應的幾何是什麽。咱們的結論是：
a) 對應於加利略幾何 (比歐幾裏得幾何更簡單的幾何，屬於非歐幾何的一種)；
b) 對應於閔可夫斯基幾何 (自然也屬於非歐幾何的一種)；
c) 對應於通常的歐幾裏得幾何。
具體如何，且聽下回分解。今天俺累死了。 - See more at: http://blog.creaders.net/jingjibird628/user_blog_diary.php?did=153455#sthash.GePiayIU.dpuf
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