-*-紫色王家思絮絮-*-
我思無邪、我行無悔
正文
在論壇、例如五味，常常見到些和物理有關的說法，這些說法總給人以似是而非的感覺。這些說法往往是科普意義上的，很難說是對或者錯。常見的說法有如下一些：
1) 物質和能量是等價的，是可以互換的；
2) 時間和空間是可以互換的，單獨談三維空間沒意義，必須統一起來談四維時空；
3) 引力就是彎曲的時空；
......
這些問題，如果泛泛而談，很多純文科生也可以說得滔滔不絕，但是一涉及 detail，很多人就會犯錯，包括某些物理科班 PhD，因為我曾經見過，比方說如何解釋狹義相對論中著名的孿生子佯謬，有的物理 PhD 說必須要用廣義相對論才能解釋，這就很離譜了，因為這和廣義相對論完全沒有關係。這裏俺也試一試胡掰幾句，說得不對的也請大家批評。盡量少用或者不用比較 專門的符號和術語。不過鑒於俺喜歡扯南山蓋北海、東一榔頭西一錘子亂敲的羅嗦文風，俺這裏隻能說，俺滑到哪，就整到哪。有些說法完全是自己的個人見解，盡 管比例不會多高。
Topic 1) 引力就是彎曲的時空嗎？或者說，引力的本質就是彎曲的時空嗎？
眾所周知，愛因斯坦的引力理論，也就是廣義相對論，是愛因斯坦封神、封神到和牛頓相提並論的主要依據。引力的本質就是彎曲的時空嗎？如果讀科普讀物，那麽 答案通常是 Yes；但是若說本質，如果要求用 Yes/No 回答這個問題，那麽俺肯定會說 No。引力是引力，彎曲的時空，亦即 Riemann 幾何，是 Riemann 幾何，它們本質上是不相幹的。我們來大體上看看 why。
假設大家都熟悉牛頓萬有引力定律，以及歐幾裏得幾何。經典力學中的運動學、動力 學最簡單了，因為空間是空間，時間是時間，它們沒有一點聯係，各玩各的，井水不犯河水。比如說，速度，或者說空間位移的改變除以時間的改變，就可以是任意 值，從 0 到無窮大都可以。一百年 (其實是比 100 年稍多一些) 以前，大家就是這麽理解的。隨後的故事，很多人都知道，著名的邁克爾遜-莫雷實驗 (基本上是人類曆史上最重要的物理實驗) 粉碎了這個理解，因為物體的運動速度有個上限，不能超過光速。
這個麻煩可大了，因為如果速度有個上限，那就表明空間和時間不能各玩各的，否則速度 dx/dt 就可以是任意值，所以空間和時間必須整合到一起去描述。如果你相對我靜止，沒有相對速度，那可能關係不大，咱們的空間是空間，時間是時間，可以了不相幹， 但是一旦你和我之間有個相對速度，那就比較麻煩，因為我得有個辦法保證你那個速度不能超過光速。也就是說，我得找到一種描述空間和時間的幾何，來保證空間 對時間的變化率有個上限。大家知道，這種幾何就是閔可夫斯基幾何，具體如何就不談了，反正它本身也沒啥，一個聰明的中學生就能鼓搗出個大概。這裏我們隻說 直觀上的理解。
直觀上大家可以想象，因為速度無非就是長度對時間的比值，所以你如果要保證這個比值有個上限，那麽這裏的長度和時間就不能各自閉關自守、各自鼓搗各的，它們之間應該合作，互相體諒作出妥協。最明顯的妥協就是，如果你在動，那麽你那裏的空間就得 壓縮一點，時間拉長一點；你動得越厲害，這個空間壓縮/時間拉長的效應就越厲害，以保證我測得的比值不會超過這個上限 (光速)。
數學上實現這點是輕而易舉地。大家知道，這就是著名的洛倫茲變換。洛倫茲變換隻涉及時間和空間，它不包含像諸如動量、能量等動力學內容。若將這部分內容整合進去，這就是狹義相對論。狹義相對論的一個著名推論就是 E=mc^2。網友QWE之所以敢說GCD的江山還有800年，根源就是政府擁有核武器，賀龍那樣拿起兩把菜刀鬧革命的日子，一去不複還了，因為政府的核武器太厲害。核武器為啥厲害？根源就在於 E=mc^2，根源的根源就在於，咱們這個世界的運動速度居然存在個上限。
另一方麵，如果哪位同學熟悉對稱性特別是群論，例如老全、冬冬、真是好玩等同學，也可以關起房門從純代數角度，從很合理的假設出發，用群論來考察物體的運動速度如何。假設他們聚精會神不犯錯，那麽他們會發現，有且僅有如下三種可能：
a) 速度是無窮大；
b) 速度存在個上限值；
c) 速度存在個下限值。
很令人驚異是不是？如果是 Case a)，那我們有牛頓力學；如果是 Case b)，那我們有狹義相對論；如果是 Case c)，那...那我們不知道，嗬嗬。沒有人考慮這個，因為這三種 Cases 我們隻能選擇一個，c) 明顯和咱們的世界不搭界。當然，邁克爾遜-莫雷實驗告訴咱們了，咱們這個世界其實對應 Case b)，盡管一百多年前咱們一度覺得是 Case a)，也盡管 Case b) 看起來不可思議，因為假設 A 和 B 是一樣高的孿生兄弟，B 有天從耶和華那裏弄來了一艘宇宙飛船，突然以迅雷不及掩耳盜鈴之勢以極快的速度離 A 而去，A 看著 B 的背影，怎麽就覺得 B 原本一米八的傻大個，怎麽隻有幾毫米高了呢？怎麽就覺得 B 的時間過得好慢，俺這裏明明“世上已千年”了，他那裏“山中方七日”呢？怎麽你一動，就動出了這麽多岔子呢？這實在令人困惑。
有的同學可能會問，喲，老全、冬冬等數學家盡管十有八九不會做邁克爾遜-莫雷實驗， 但是他們關起門來閉門造車，居然能憑一支筆一張紙一雙嘴皮子就能鼓搗出咱們這個世界必須是上述 a)、b)、c) 三種情形之一，你沒開玩笑吧？沒有。大數學家希爾伯特大家知道吧？他那著名的 23 個數學問題的第六個問題就是公理化物理。盡管這個問題太籠統、不那麽specific，也遭到許多人的批評，但是這至少表明了他老人家相信在很多情形下物 理規律能通過一些“公理”來演繹地導出，也相信在很多情形下這種通過公理演繹地導出的理論能更深刻地描述科學的本質。本質上，數學是演繹的、證明的，而科 學規律則是歸納的、證偽的，但是科學的表達和發展、完善卻離不開演繹，也唯有演繹才能保證科學這座越來越龐大的大廈的正確性。從另一層麵看，咱們這個世界 的文明、特別是咱們的科學，其實是起源於古希臘文明的，起源於古希臘文明的精確思維，而其中的核心部分就是歐幾裏得和阿基米德師徒所創立的基於公理和演繹 的平麵幾何。
這裏俺之所以花好幾百字說“公理化物理”，是因為現代物理幾乎都帶有這個特征，包括狹義相對論和廣義相對論在內 (從而回答本文開頭的問題：引力的本質是彎曲的時空嗎？盡管這裏俺還未回答這個問題，隻是在東拉西扯做鋪墊)，也包括量子力學和楊-米爾斯場論在內。先看最簡單的狹義相對論，它就是從兩條“公理”(或曰假設) 出發經過演繹而推理出的“數學結論”：
a) 所有的慣性參照係是等價的；
b) 光速不變原理：所有慣性係中的光速是個定值。
從這個意義而言，狹義相對論是定理，而不是定律。定理的意思是，它總是對的，除非你的“公理”或者假設不對，或者你的邏輯推理有問題。這和牛頓運動定律 F=ma 不一樣。你肯定 F=ma 是對的麽？恐怕誰也回答不出，隻是它沒有被證偽，大家都相信它而已，所以這是定律。當然，大家知道，a) 實際上就是牛頓第一運動定律的某種推廣和 re-表述，b) 呢，實際上就是 Michelson-Morley Experiment的結果，隻不過，b) 某種意義上能從群論 (外加更 fundamental 的“公理”) 從某種意義上導出，倒是有點出乎意料。
(待續，可能會比這裏整得複雜點)
1) 物質和能量是等價的，是可以互換的；
2) 時間和空間是可以互換的，單獨談三維空間沒意義，必須統一起來談四維時空；
3) 引力就是彎曲的時空；
......
這些問題，如果泛泛而談，很多純文科生也可以說得滔滔不絕，但是一涉及 detail，很多人就會犯錯，包括某些物理科班 PhD，因為我曾經見過，比方說如何解釋狹義相對論中著名的孿生子佯謬，有的物理 PhD 說必須要用廣義相對論才能解釋，這就很離譜了，因為這和廣義相對論完全沒有關係。這裏俺也試一試胡掰幾句，說得不對的也請大家批評。盡量少用或者不用比較 專門的符號和術語。不過鑒於俺喜歡扯南山蓋北海、東一榔頭西一錘子亂敲的羅嗦文風，俺這裏隻能說，俺滑到哪，就整到哪。有些說法完全是自己的個人見解，盡 管比例不會多高。
Topic 1) 引力就是彎曲的時空嗎？或者說，引力的本質就是彎曲的時空嗎？
眾所周知，愛因斯坦的引力理論，也就是廣義相對論，是愛因斯坦封神、封神到和牛頓相提並論的主要依據。引力的本質就是彎曲的時空嗎？如果讀科普讀物，那麽 答案通常是 Yes；但是若說本質，如果要求用 Yes/No 回答這個問題，那麽俺肯定會說 No。引力是引力，彎曲的時空，亦即 Riemann 幾何，是 Riemann 幾何，它們本質上是不相幹的。我們來大體上看看 why。
假設大家都熟悉牛頓萬有引力定律，以及歐幾裏得幾何。經典力學中的運動學、動力 學最簡單了，因為空間是空間，時間是時間，它們沒有一點聯係，各玩各的，井水不犯河水。比如說，速度，或者說空間位移的改變除以時間的改變，就可以是任意 值，從 0 到無窮大都可以。一百年 (其實是比 100 年稍多一些) 以前，大家就是這麽理解的。隨後的故事，很多人都知道，著名的邁克爾遜-莫雷實驗 (基本上是人類曆史上最重要的物理實驗) 粉碎了這個理解，因為物體的運動速度有個上限，不能超過光速。
這個麻煩可大了，因為如果速度有個上限，那就表明空間和時間不能各玩各的，否則速度 dx/dt 就可以是任意值，所以空間和時間必須整合到一起去描述。如果你相對我靜止，沒有相對速度，那可能關係不大，咱們的空間是空間，時間是時間，可以了不相幹， 但是一旦你和我之間有個相對速度，那就比較麻煩，因為我得有個辦法保證你那個速度不能超過光速。也就是說，我得找到一種描述空間和時間的幾何，來保證空間 對時間的變化率有個上限。大家知道，這種幾何就是閔可夫斯基幾何，具體如何就不談了，反正它本身也沒啥，一個聰明的中學生就能鼓搗出個大概。這裏我們隻說 直觀上的理解。
直觀上大家可以想象，因為速度無非就是長度對時間的比值，所以你如果要保證這個比值有個上限，那麽這裏的長度和時間就不能各自閉關自守、各自鼓搗各的，它們之間應該合作，互相體諒作出妥協。最明顯的妥協就是，如果你在動，那麽你那裏的空間就得 壓縮一點，時間拉長一點；你動得越厲害，這個空間壓縮/時間拉長的效應就越厲害，以保證我測得的比值不會超過這個上限 (光速)。
數學上實現這點是輕而易舉地。大家知道，這就是著名的洛倫茲變換。洛倫茲變換隻涉及時間和空間，它不包含像諸如動量、能量等動力學內容。若將這部分內容整合進去，這就是狹義相對論。狹義相對論的一個著名推論就是 E=mc^2。網友QWE之所以敢說GCD的江山還有800年，根源就是政府擁有核武器，賀龍那樣拿起兩把菜刀鬧革命的日子，一去不複還了，因為政府的核武器太厲害。核武器為啥厲害？根源就在於 E=mc^2，根源的根源就在於，咱們這個世界的運動速度居然存在個上限。
另一方麵，如果哪位同學熟悉對稱性特別是群論，例如老全、冬冬、真是好玩等同學，也可以關起房門從純代數角度，從很合理的假設出發，用群論來考察物體的運動速度如何。假設他們聚精會神不犯錯，那麽他們會發現，有且僅有如下三種可能：
a) 速度是無窮大；
b) 速度存在個上限值；
c) 速度存在個下限值。
很令人驚異是不是？如果是 Case a)，那我們有牛頓力學；如果是 Case b)，那我們有狹義相對論；如果是 Case c)，那...那我們不知道，嗬嗬。沒有人考慮這個，因為這三種 Cases 我們隻能選擇一個，c) 明顯和咱們的世界不搭界。當然，邁克爾遜-莫雷實驗告訴咱們了，咱們這個世界其實對應 Case b)，盡管一百多年前咱們一度覺得是 Case a)，也盡管 Case b) 看起來不可思議，因為假設 A 和 B 是一樣高的孿生兄弟，B 有天從耶和華那裏弄來了一艘宇宙飛船，突然以迅雷不及掩耳盜鈴之勢以極快的速度離 A 而去，A 看著 B 的背影，怎麽就覺得 B 原本一米八的傻大個，怎麽隻有幾毫米高了呢？怎麽就覺得 B 的時間過得好慢，俺這裏明明“世上已千年”了，他那裏“山中方七日”呢？怎麽你一動，就動出了這麽多岔子呢？這實在令人困惑。
有的同學可能會問，喲，老全、冬冬等數學家盡管十有八九不會做邁克爾遜-莫雷實驗， 但是他們關起門來閉門造車，居然能憑一支筆一張紙一雙嘴皮子就能鼓搗出咱們這個世界必須是上述 a)、b)、c) 三種情形之一，你沒開玩笑吧？沒有。大數學家希爾伯特大家知道吧？他那著名的 23 個數學問題的第六個問題就是公理化物理。盡管這個問題太籠統、不那麽specific，也遭到許多人的批評，但是這至少表明了他老人家相信在很多情形下物 理規律能通過一些“公理”來演繹地導出，也相信在很多情形下這種通過公理演繹地導出的理論能更深刻地描述科學的本質。本質上，數學是演繹的、證明的，而科 學規律則是歸納的、證偽的，但是科學的表達和發展、完善卻離不開演繹，也唯有演繹才能保證科學這座越來越龐大的大廈的正確性。從另一層麵看，咱們這個世界 的文明、特別是咱們的科學，其實是起源於古希臘文明的，起源於古希臘文明的精確思維，而其中的核心部分就是歐幾裏得和阿基米德師徒所創立的基於公理和演繹 的平麵幾何。
這裏俺之所以花好幾百字說“公理化物理”，是因為現代物理幾乎都帶有這個特征，包括狹義相對論和廣義相對論在內 (從而回答本文開頭的問題：引力的本質是彎曲的時空嗎？盡管這裏俺還未回答這個問題，隻是在東拉西扯做鋪墊)，也包括量子力學和楊-米爾斯場論在內。先看最簡單的狹義相對論，它就是從兩條“公理”(或曰假設) 出發經過演繹而推理出的“數學結論”：
a) 所有的慣性參照係是等價的；
b) 光速不變原理：所有慣性係中的光速是個定值。
從這個意義而言，狹義相對論是定理，而不是定律。定理的意思是，它總是對的，除非你的“公理”或者假設不對，或者你的邏輯推理有問題。這和牛頓運動定律 F=ma 不一樣。你肯定 F=ma 是對的麽？恐怕誰也回答不出，隻是它沒有被證偽，大家都相信它而已，所以這是定律。當然，大家知道，a) 實際上就是牛頓第一運動定律的某種推廣和 re-表述，b) 呢，實際上就是 Michelson-Morley Experiment的結果，隻不過，b) 某種意義上能從群論 (外加更 fundamental 的“公理”) 從某種意義上導出，倒是有點出乎意料。
(待續，可能會比這裏整得複雜點)
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