-*-紫色王家思絮絮-*-
我思無邪、我行無悔
正文
最後一帖 (盡管食言了，昨天說了不再討論這個的)，盡量寫得通俗易懂，但願對個別人 (例如潛水沒有發言的) 起一定的作用。
不參與討論或者辯論。不過如果有諸如計算錯誤之類的問題，大家指出後我還是會謝謝並且改正的。
基於篇幅，這裏就不詳細解釋單利 Simple Interest 或者複利 Compound Interest 的定義，好在大家對這個沒有分歧。
首先，來點康門三四。
1) 大家知道美國銀行的存款 savings account (等) 是基於複利的，所以除非特別原因 (例如政府命令等。這種可能是存在的，例如中國就規定活期儲蓄是單利儲蓄)，貸款 (包括房貸) 也應該是複利的，否則銀行在自殺。單利和複利的差別，在短期是沒太大的差別，但是對長期 (例如 30 年) 儲蓄或者貸款而言，差別是很大的。我前不久根據單利的定義，給房貸建立了個單利的模型，計算結果表明，對普通房貸，50萬、30年、6% rate，單利、複利模型的利息差別，是 34-35 萬左右。
2) 最重要的、不過也通常不那麽被人注意到的康門三四，是對一個成熟、公平的市場而言，複利模型才是合理的，單利模型反而是不合理的。在 rate 公平合理的前提下，單利等同於借貸人搶劫放貸人 (例如中國的活期儲蓄，就等同於銀行搶劫客戶的錢)。所以，通常的貸款 (包括房貸) 計複利，是天經地義的，這和銀行、大柵欄牆街貪婪與否沒有關係。這點，金融大佬、諾貝爾經濟學獎得主的高徒全伊從專業的角度給了個簡潔的解釋。這裏，俺再 次來個通俗的解釋。複利模型之所以公平合理，是因為複利模型中，本金 Principal 和利息 Interest 是等價的，它們都能在下一輪利息結算中產生利息，而單利模型中，本金和利息是兩種不同的錢，前者是能下蛋的金母雞，能產生利息，後者則不能，但是從投資角 度而言，兩者顯然是等價的，沒有區別。也就是說，對一個成熟、合理的市場而言，除非特例，儲蓄、貸款都應該是基於複利的 (簡單的說，就是允許利息產生利息，亦即利滾利)，基於單利的反而是不合理的。據說從商業角度而言複利是猶太人的發明，因此你說猶太人貪婪也行，見利忘義 也罷，但是你得承認他們的智慧和理性。
普通房貸是一 種特殊貸款麽？不是的，因為房貸 mortgage 配額公式，和房地產本身沒有直接關係，那個公式適應所有分期等額付款形式的貸款，例如車貸。這點，大家隨便找相應的 Online Calculators 驗證驗證就可以了，無須詳述。所以，從康門三四角度而言，普通房貸應該是基於複利模型的貸款，否則否則目前市場上絕大部分分期等額付款形式的貸款就會是基 於單利的，這顯然不對。
就我個人而言，我十分納悶為啥居然有很多人認為房貸 (從而幾乎所有的分期等額付款形式的貸款) 是基於單利模型的，這些人固然有少數是胡絞蠻纏的，但是大部份卻是認真的。這真讓人吃驚。
認 為是單利模型的人中，主要理由是這樣的：在 mortgage 決定下來後，如果客戶定期定量付款，那麽每個月的利息就配完了，所以不存在利滾利的可能，所以房貸是計單利的。這個說法這種說法初看起來有些似是而非，花 個幾分鍾細細考究，就會明白站不住腳。這是因為，如果每個月的利息就配完了，那就隻表明客戶不會有額外的利滾利；如果某個月沒有配完，那麽沒有配完的部 分，如果完全按照貸款模型，就會有額外的利滾利。無論客戶定期定量配房貸與否，都不會改變既定的 Mortgage 原本就包含了利滾利與否這個事實。
那麽既定的 Mortgage 是不是已經包含了利息產生的利息部分呢？肯定的。除了上述康門三四告訴你肯定外，我們還可以通過具體論證以及實例來表明這一點，盡管許多同學這麽做了，但是我這裏的方法和例子的角度不同，興許會有額外的啟發。
論證之前說兩句題外話。
1) Mortgage 公式推理過程清楚的表明，因為每一輪結算利息時，利息是根據 current balance 計算的，所以它肯定是基於複利的模型，這點任何人都沒法否認。本來，正因為 Mortgage 毫無疑問是基於複利模型的，話題就完全可以結束了，可以說 PERIOD 了，問題是有的同學一定得去用單利解釋它，並且說沒有利滾利。
2) 那麽它是不是也有可能符合單利的定義、在是複利模型的前提下，同時也是單利模型呢？單利論者認為，是的，隻要每個月的付款超過了利息，那麽付款首先應該支 付利息部分，然後才是本金部分，而房貸月配明顯超過了第一個月的利息 (從而超過以後任何一個月的利息)，所以利息部分完全被抵消了，所以它也應該是單利模型。
3) 我幾次要求單利派朋友為房貸給出個複利模型，可是至今沒有看到任何進展。另一方麵，我和真是好玩等人很早就為房貸建立了單利模型。
從純算術角度而言，2) 可以成立。但是概念上，它和直觀是違背的，毫無疑問會導致荒謬的結論。這是因為 2) 嚴重依賴這樣一個假設，並且會導出一個看起來很荒謬的結論 (這個結論是單利論幾位主將已經承認了的)：
a) 依賴的假設： 單利模型中，客戶償還的錢必須先算利息，剩餘部分 (如果有) 才算本金。他們說這是銀行的規定，但是至今沒有找到權威的根據，也沒有解釋這個規定的合理性。就康門三四而言，這個規定顯然是不合理的，因為你存入銀行的 錢是算利息還是本金？算利息，顯得荒謬，所以應該算本金。所以基於對稱原理，對單利貸款模型而言，你配的錢，自然隻能算本金。複利模型則不存在這個 concern，因為利息和本金是等價的，算什麽都是一樣的。
b) 從這個假設推出的結論： 理論上不存在基於複利模型的分期等配額的貸款。這個結論毫無疑問是可笑的。即使它確實正確，這麽重大的結論也應該從教材或者權威部門找到依據。誰找到了 麽？再說，基於貸款和存款的對稱性，如果我每月一號定期在儲蓄賬號 (假設 $10000 存款，5% Rate) 裏取走 $100，銀行就不給我計複利了？這不荒謬麽？
另外補充兩個 Issues:
1) 我發現一些單利的朋友不區分“Interest”這個詞的外延，混為一談。在銀行年底給你的報稅表中，銀行會告訴你你為 mortgage 支付了多少利息。那個利息 is defined as your total payments，less your balance/principal change。這個利息實際上是 Interest you've paid 的意思。但是在貸款單利模型中，你某月k 的 Balance B_k 包含兩部分：本金部分和利息部分：B_k = P_k + I_k，這裏的利息的意思是你的賬號 Balance 中“Interest Portion”這個意思，和上麵的 Interest you've paid 是兩碼事，有些同學居然混為一談。對單利模型而言，這裏的 B_k、P_k and I_k 中有兩個是獨立變量，下一輪的利息，是這兩個變量的函數，而複利模型則隻是一個獨立變量 B_k 的函數。從這個意義而言，複利模型比單利模型結構上簡單。
2) 其實單利者們以前 ZT 的文章，說 no interest compound 的，基本上都是說房貸違約情形下所欠的錢是否去 compound interest 這回事情，包括一些官司案例。在違約情形下，法律對客戶的保護，通常是對弱勢一方的保護，代價就是破壞遊戲規則的公平、合理。文明社會的特征之一就是強勢 一方 yield 弱勢的一方，比如說，吃救濟享受福利。食品券是從天上掉下來的麽？當然不是，是從那些較富裕些的人口袋裏掏出來的。客戶還款違約後，如果完全按照借貸模 型，那麽客戶違約的那部分 extra balance 會計入當前 current balance，重新計算 mortgage 配額。法律對客戶的保護，就是禁止這一部分。法律這麽做的另一依據，我猜，是因為銀行的損失有個 bottom line：foreclosure。因此，對於客戶違約房貸，銀行幾乎不會去 recalculate new mortgage payment，而是采取另外的懲罰方式。 但是這並非說原既定的 mortgage 沒有利滾利。利滾利 (複利) 才是成熟的、合理的、公平的，也是“道德”的。
好， 接下來稍微形式化一點。很明顯，如果你將貸款看成是 balance 是負數的存款，那麽存款和貸款實際上是一回事情。例如你從銀行貸款 $500,000，那就等價於你的帳戶裏有 -500,000 的 Balance。所謂的房貸或者車貸，無非就是銀行主管牽著你的手，簽訂了一個協議，這個協議就是告訴你，你每個月往這個賬號裏存入多少錢，使得 360 月後 (對 30年貸款而言)，你的賬號 Balance = 0，就這麽一回事情。
有 了這個鋪墊後，餘下的問題就很好理解了。比 如，就單利帳戶而言，你去銀行開個帳戶，你存入 500,000，這個 500,000 算本金還是利息？當然算本金，因為算利息未免太荒唐。如果你第二個月存入 10,000，這 10,000 自然也隻能算本金，因為這筆錢和利息無關。類似的，如果你開始貸 500,000，或者說存入 -500,000，這個 -500,000 算什麽？自然也是本金。第二個月你存入 10,000，它當然也是本金。這裏的概念相當清晰，那就是，無論對貸款還是存款，你存入的錢都是本金，不是利息。這就否定了上麵單利派所依賴的假設，所 以我們再次證明了，單利模型是不對的。
如果這些還不能讓他們信服，那麽我們看個實例，從數據上證明房貸是複利而不是單利。因為這個實例就是來自 Mortgage 本身，所以它最有說服力。
實例：假設貸 款 $500,000，年限 30 年，annual simple rate = 6%。那麽根據 online mortgage calculator，monthly payment c = $2,997.75，total interest = $579,190.93。我們記這為方案A。
現在，我們假設在第一個月來個 prepayment，多配 $10,000。此後不再多配，每月恰好配 c = $2,997.75。我們記這為方案 B。大家進入這個網站
http://mortgage-x.com/calculators/prepayments.htm
計 算一下，結果是：total interest = $531,931.97，節省利息 $47,258.96，大約提早 19 個月還清貸款。這裏之所以說是“大約19月”，是因為方案B的最後一個月不需要配 $2,997.75。考慮到方案 B 最後一個月實配 2,682.68，和 c 相差不大，所以我們以提早 19 個月進行估算，判斷房貸到底是單利還是複利。
方案 B 既然能節省 $47,258.96 這麽多的利息，這個省下的利息必然來自方案 A 和方案 B 之間的差別。差別是什麽？很明顯，因為兩個方案在第2-341月配額完全一樣，所以差別隻在第一個月以及方案 A 的最後19個月。具體的，是：
1st month，方案 B 多配 $10,000；
342-360th month：方案 A 繼續在配 Mortgage。
所以兩個方案的利息差別，應該等於方案 B 那個 $10,000 在第 2-341 個月，總共 340 個月，產生的利息，再加上方案 A 在 342-360th months (最後19個月) 利息的總和。
方 案 A 在342-360th month (最後19個月)利息的總和可以在amortization schedule 找到，將最後19個月的利息加起來就是。我做點苦力活，用 whole dollar 的辦法四舍五入將它們加起來，得到 I_2 = $2,750。
現在來計算方案 B 最開始的一萬產生的利息。
如果是單利模型，按照單利派的解釋，這個10000必須是本金，因為第一個月的 c 比利息多，利息還完了。所以這個本金應該產生利息
A_1 = $10,000*340*0.005 = $17,000。
A_1 + I_2 = $17,000 + $2,750 = $19,750，這個和實際節省的利息 $47,258.96 相差很多，所以單利模型完全不能解釋這個結果。
如果是複利模型，這個本金應該產生利息 B_1 = $10,000*1.005^340 - $10,0000 = $44,508.09
B_1 + I_2 = $44,508.09 + $2,750 = $47,258.09。這和節省的利息 $47,258.96 是一致的。其中約 $1 的估算差別來自哪裏，我也懶得說了，大家去整。
計算結果很明確吧？房貸是基於複利模型的。句號，嗬嗬。
不參與討論或者辯論。不過如果有諸如計算錯誤之類的問題，大家指出後我還是會謝謝並且改正的。
基於篇幅，這裏就不詳細解釋單利 Simple Interest 或者複利 Compound Interest 的定義，好在大家對這個沒有分歧。
首先，來點康門三四。
1) 大家知道美國銀行的存款 savings account (等) 是基於複利的，所以除非特別原因 (例如政府命令等。這種可能是存在的，例如中國就規定活期儲蓄是單利儲蓄)，貸款 (包括房貸) 也應該是複利的，否則銀行在自殺。單利和複利的差別，在短期是沒太大的差別，但是對長期 (例如 30 年) 儲蓄或者貸款而言，差別是很大的。我前不久根據單利的定義，給房貸建立了個單利的模型，計算結果表明，對普通房貸，50萬、30年、6% rate，單利、複利模型的利息差別，是 34-35 萬左右。
2) 最重要的、不過也通常不那麽被人注意到的康門三四，是對一個成熟、公平的市場而言，複利模型才是合理的，單利模型反而是不合理的。在 rate 公平合理的前提下，單利等同於借貸人搶劫放貸人 (例如中國的活期儲蓄，就等同於銀行搶劫客戶的錢)。所以，通常的貸款 (包括房貸) 計複利，是天經地義的，這和銀行、大柵欄牆街貪婪與否沒有關係。這點，金融大佬、諾貝爾經濟學獎得主的高徒全伊從專業的角度給了個簡潔的解釋。這裏，俺再 次來個通俗的解釋。複利模型之所以公平合理，是因為複利模型中，本金 Principal 和利息 Interest 是等價的，它們都能在下一輪利息結算中產生利息，而單利模型中，本金和利息是兩種不同的錢，前者是能下蛋的金母雞，能產生利息，後者則不能，但是從投資角 度而言，兩者顯然是等價的，沒有區別。也就是說，對一個成熟、合理的市場而言，除非特例，儲蓄、貸款都應該是基於複利的 (簡單的說，就是允許利息產生利息，亦即利滾利)，基於單利的反而是不合理的。據說從商業角度而言複利是猶太人的發明，因此你說猶太人貪婪也行，見利忘義 也罷，但是你得承認他們的智慧和理性。
普通房貸是一 種特殊貸款麽？不是的，因為房貸 mortgage 配額公式，和房地產本身沒有直接關係，那個公式適應所有分期等額付款形式的貸款，例如車貸。這點，大家隨便找相應的 Online Calculators 驗證驗證就可以了，無須詳述。所以，從康門三四角度而言，普通房貸應該是基於複利模型的貸款，否則否則目前市場上絕大部分分期等額付款形式的貸款就會是基 於單利的，這顯然不對。
就我個人而言，我十分納悶為啥居然有很多人認為房貸 (從而幾乎所有的分期等額付款形式的貸款) 是基於單利模型的，這些人固然有少數是胡絞蠻纏的，但是大部份卻是認真的。這真讓人吃驚。
認 為是單利模型的人中，主要理由是這樣的：在 mortgage 決定下來後，如果客戶定期定量付款，那麽每個月的利息就配完了，所以不存在利滾利的可能，所以房貸是計單利的。這個說法這種說法初看起來有些似是而非，花 個幾分鍾細細考究，就會明白站不住腳。這是因為，如果每個月的利息就配完了，那就隻表明客戶不會有額外的利滾利；如果某個月沒有配完，那麽沒有配完的部 分，如果完全按照貸款模型，就會有額外的利滾利。無論客戶定期定量配房貸與否，都不會改變既定的 Mortgage 原本就包含了利滾利與否這個事實。
那麽既定的 Mortgage 是不是已經包含了利息產生的利息部分呢？肯定的。除了上述康門三四告訴你肯定外，我們還可以通過具體論證以及實例來表明這一點，盡管許多同學這麽做了，但是我這裏的方法和例子的角度不同，興許會有額外的啟發。
論證之前說兩句題外話。
1) Mortgage 公式推理過程清楚的表明，因為每一輪結算利息時，利息是根據 current balance 計算的，所以它肯定是基於複利的模型，這點任何人都沒法否認。本來，正因為 Mortgage 毫無疑問是基於複利模型的，話題就完全可以結束了，可以說 PERIOD 了，問題是有的同學一定得去用單利解釋它，並且說沒有利滾利。
2) 那麽它是不是也有可能符合單利的定義、在是複利模型的前提下，同時也是單利模型呢？單利論者認為，是的，隻要每個月的付款超過了利息，那麽付款首先應該支 付利息部分，然後才是本金部分，而房貸月配明顯超過了第一個月的利息 (從而超過以後任何一個月的利息)，所以利息部分完全被抵消了，所以它也應該是單利模型。
3) 我幾次要求單利派朋友為房貸給出個複利模型，可是至今沒有看到任何進展。另一方麵，我和真是好玩等人很早就為房貸建立了單利模型。
從純算術角度而言，2) 可以成立。但是概念上，它和直觀是違背的，毫無疑問會導致荒謬的結論。這是因為 2) 嚴重依賴這樣一個假設，並且會導出一個看起來很荒謬的結論 (這個結論是單利論幾位主將已經承認了的)：
a) 依賴的假設： 單利模型中，客戶償還的錢必須先算利息，剩餘部分 (如果有) 才算本金。他們說這是銀行的規定，但是至今沒有找到權威的根據，也沒有解釋這個規定的合理性。就康門三四而言，這個規定顯然是不合理的，因為你存入銀行的 錢是算利息還是本金？算利息，顯得荒謬，所以應該算本金。所以基於對稱原理，對單利貸款模型而言，你配的錢，自然隻能算本金。複利模型則不存在這個 concern，因為利息和本金是等價的，算什麽都是一樣的。
b) 從這個假設推出的結論： 理論上不存在基於複利模型的分期等配額的貸款。這個結論毫無疑問是可笑的。即使它確實正確，這麽重大的結論也應該從教材或者權威部門找到依據。誰找到了 麽？再說，基於貸款和存款的對稱性，如果我每月一號定期在儲蓄賬號 (假設 $10000 存款，5% Rate) 裏取走 $100，銀行就不給我計複利了？這不荒謬麽？
另外補充兩個 Issues:
1) 我發現一些單利的朋友不區分“Interest”這個詞的外延，混為一談。在銀行年底給你的報稅表中，銀行會告訴你你為 mortgage 支付了多少利息。那個利息 is defined as your total payments，less your balance/principal change。這個利息實際上是 Interest you've paid 的意思。但是在貸款單利模型中，你某月k 的 Balance B_k 包含兩部分：本金部分和利息部分：B_k = P_k + I_k，這裏的利息的意思是你的賬號 Balance 中“Interest Portion”這個意思，和上麵的 Interest you've paid 是兩碼事，有些同學居然混為一談。對單利模型而言，這裏的 B_k、P_k and I_k 中有兩個是獨立變量，下一輪的利息，是這兩個變量的函數，而複利模型則隻是一個獨立變量 B_k 的函數。從這個意義而言，複利模型比單利模型結構上簡單。
2) 其實單利者們以前 ZT 的文章，說 no interest compound 的，基本上都是說房貸違約情形下所欠的錢是否去 compound interest 這回事情，包括一些官司案例。在違約情形下，法律對客戶的保護，通常是對弱勢一方的保護，代價就是破壞遊戲規則的公平、合理。文明社會的特征之一就是強勢 一方 yield 弱勢的一方，比如說，吃救濟享受福利。食品券是從天上掉下來的麽？當然不是，是從那些較富裕些的人口袋裏掏出來的。客戶還款違約後，如果完全按照借貸模 型，那麽客戶違約的那部分 extra balance 會計入當前 current balance，重新計算 mortgage 配額。法律對客戶的保護，就是禁止這一部分。法律這麽做的另一依據，我猜，是因為銀行的損失有個 bottom line：foreclosure。因此，對於客戶違約房貸，銀行幾乎不會去 recalculate new mortgage payment，而是采取另外的懲罰方式。 但是這並非說原既定的 mortgage 沒有利滾利。利滾利 (複利) 才是成熟的、合理的、公平的，也是“道德”的。
好， 接下來稍微形式化一點。很明顯，如果你將貸款看成是 balance 是負數的存款，那麽存款和貸款實際上是一回事情。例如你從銀行貸款 $500,000，那就等價於你的帳戶裏有 -500,000 的 Balance。所謂的房貸或者車貸，無非就是銀行主管牽著你的手，簽訂了一個協議，這個協議就是告訴你，你每個月往這個賬號裏存入多少錢，使得 360 月後 (對 30年貸款而言)，你的賬號 Balance = 0，就這麽一回事情。
有 了這個鋪墊後，餘下的問題就很好理解了。比 如，就單利帳戶而言，你去銀行開個帳戶，你存入 500,000，這個 500,000 算本金還是利息？當然算本金，因為算利息未免太荒唐。如果你第二個月存入 10,000，這 10,000 自然也隻能算本金，因為這筆錢和利息無關。類似的，如果你開始貸 500,000，或者說存入 -500,000，這個 -500,000 算什麽？自然也是本金。第二個月你存入 10,000，它當然也是本金。這裏的概念相當清晰，那就是，無論對貸款還是存款，你存入的錢都是本金，不是利息。這就否定了上麵單利派所依賴的假設，所 以我們再次證明了，單利模型是不對的。
如果這些還不能讓他們信服，那麽我們看個實例，從數據上證明房貸是複利而不是單利。因為這個實例就是來自 Mortgage 本身，所以它最有說服力。
實例：假設貸 款 $500,000，年限 30 年，annual simple rate = 6%。那麽根據 online mortgage calculator，monthly payment c = $2,997.75，total interest = $579,190.93。我們記這為方案A。
現在，我們假設在第一個月來個 prepayment，多配 $10,000。此後不再多配，每月恰好配 c = $2,997.75。我們記這為方案 B。大家進入這個網站
http://mortgage-x.com/calculators/prepayments.htm
計 算一下，結果是：total interest = $531,931.97，節省利息 $47,258.96，大約提早 19 個月還清貸款。這裏之所以說是“大約19月”，是因為方案B的最後一個月不需要配 $2,997.75。考慮到方案 B 最後一個月實配 2,682.68，和 c 相差不大，所以我們以提早 19 個月進行估算，判斷房貸到底是單利還是複利。
方案 B 既然能節省 $47,258.96 這麽多的利息，這個省下的利息必然來自方案 A 和方案 B 之間的差別。差別是什麽？很明顯，因為兩個方案在第2-341月配額完全一樣，所以差別隻在第一個月以及方案 A 的最後19個月。具體的，是：
1st month，方案 B 多配 $10,000；
342-360th month：方案 A 繼續在配 Mortgage。
所以兩個方案的利息差別，應該等於方案 B 那個 $10,000 在第 2-341 個月，總共 340 個月，產生的利息，再加上方案 A 在 342-360th months (最後19個月) 利息的總和。
方 案 A 在342-360th month (最後19個月)利息的總和可以在amortization schedule 找到，將最後19個月的利息加起來就是。我做點苦力活，用 whole dollar 的辦法四舍五入將它們加起來，得到 I_2 = $2,750。
現在來計算方案 B 最開始的一萬產生的利息。
如果是單利模型，按照單利派的解釋，這個10000必須是本金，因為第一個月的 c 比利息多，利息還完了。所以這個本金應該產生利息
A_1 = $10,000*340*0.005 = $17,000。
A_1 + I_2 = $17,000 + $2,750 = $19,750，這個和實際節省的利息 $47,258.96 相差很多，所以單利模型完全不能解釋這個結果。
如果是複利模型，這個本金應該產生利息 B_1 = $10,000*1.005^340 - $10,0000 = $44,508.09
B_1 + I_2 = $44,508.09 + $2,750 = $47,258.09。這和節省的利息 $47,258.96 是一致的。其中約 $1 的估算差別來自哪裏，我也懶得說了，大家去整。
計算結果很明確吧？房貸是基於複利模型的。句號，嗬嗬。
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