-*-紫色王家思絮絮-*-
我思無邪、我行無悔
正文
1) 開場白
昨晚在 BBS 說了碼個小帖討論如何“實現”房貸的“單利模型”的，這裏試著拋出這個帖子，作拋磚引玉之想。因集腋可成裘，故也希望那些有一定康門三四 (特別是真正的行家、圈內人士) 批評或者提出合理的見解。
先說幾句開場白，隻因論壇這幾天就房貸是 based on “Simple Interest (單利)”還是“Compound Interest (複利)”討論得熱火朝天，甚至連大家更加熟知的 Savings Account 是 based on 單利還是複利模型也出現了點小分歧。作為一個隻有點康門三四的金融盲，我不清楚在金融界，Simple Interest & Compound Interest 是不是 (strictly) well defined 了的術語，但是這幾天我和大家討論時也順便度娘了 wiki 百科，看了那裏的解釋、定義，所以我想那裏對這兩個名詞的釋義應該是普遍接受了的解釋。
這裏再說一次我 (對論壇朋友帖子) 的觀點：如誰對單利複利的理解不同，即使和約定俗成的不同，也是可以的 (至少我沒意見)，但是要不自相矛盾，要前後自洽。對俺這樣半文半理、畢業於重點中專的學生而言，看別人如何“develop”一套俱備 self-consistency 的東西，也是某種享受。
討論問題是需要某些共識為基礎的。這裏盡管大家在爭論房貸是基於單利還是複利，但是爭論的(主要)雙方對單利 (Simple Interest)、複利 (Compound Interest) 的理解是沒有分歧的，那就是：無論是 Savings Account 還是 Mortgage Account，利息 Interest 如果不產生利息，屬單利；如果利息產生了利息，亦即通常所說的“利滾利”，屬於複利。這個理解是和 wiki 百科的解釋一致的。在這個意義上，美國的 savings account 是 based on 複利，這點也基本上得以認同 (除了個別同學外，不過那是非主流，這裏不費筆墨)。
但是對房貸是 based on Simple Interest or Compound Interest，分歧就大不少。盡管根據統計員明城同學的統計，在上述約定下，大部分同學認為房貸是based on Compound Interest，但是認為房貸是基於單利模式的，也有好幾位。通過幾天的觀察，這幾人認為房貸是基於單利模式的主要理由是：當房貸定下來後，Mortgage payment 就定下來了，如果客戶定期配這個數據，就自動意味著當月的利息已經付清了，所以利息不會產生新的利息，所以房貸模型是基於單利 Simple Interest 的。當然也有一些較為冷僻點的觀點，例如鐵獅子的一個觀點是，“(利滾利) 我也就覺得不合理，借債還錢付息理所應當。而利息並不是我們向銀行借的錢，憑什麽也要付利息呢？”等。還有個別更加冷僻的觀點，例如美國政府為美國人民著想，所以房貸收取單利而不是複利，因為複利給百姓的負擔過重，等，這裏就不詳述了。
作為“複利論”陣營的一員，我試了幾個不同的方法讓那些“單利論”陣營的同學放棄他們的觀點，可惜沒有成功。俺的幾個主要方法重述如下：
a) 康門三四。既然你存錢的 Savings Account 銀行都給你複利，那麽對銀行借錢給你的房貸，銀行會隻收取單利麽？30 年 (typical 貸款期限) 可不是短時間，銀行就算是慈眉善目充滿愛心的慈善家，他們也沒法承擔 Simple Interest 給他們帶來的巨額虧損。大家查查數據就知道，美國的 Real Property Market 比股市大多了。
b) (對上麵單利論者的主流觀點提出個悖論) 考慮個 initial loan = $500,000，rate = 6%，30-year 的房貸。Monthly mortgage payment = $2,997.75。單利論者認為，如果客戶每月配 $2,997.75，那麽利息付清了，因此是單利；但是如果某月配額小於這個數，那麽利息沒有配完，隻有這時才會有複利。比如說每月隻配 $2,751.07，就會產生複利。俺說你可將這月配 $2,751.07 理解成 P=$5000,000，rate=6%，40-year的貸款就成了，(按照他們的觀點) 兩者都對應 P=$5000,000，rate=6% 的 Simple Interest Case。那幾位同學居然看不出這是以彼之矛攻彼之盾的 Paradox，真令人無語。
c) Compound interest 的特征是，在計利息時，本金和利息是等價的，是可以不區分可以混為一談的。真實話語同學總結得好，“凡是按當前Balance計利的都算複利”。單利模型則相反，因為利息是被排斥在本金之外的，所以單利模型 balance 中，本金和利息是要區分開來的，因為前者參與下一輪的利息計算，後者不能。房貸 mortgage 公式的推導過程，恰恰表明了它是 based on compound interest。
順當說一下，就我所知的而言，中國以前銀行就儲蓄帳戶而言，是明確規定了計單利的。現在官方的規定是：
a) 活期儲蓄 (大抵對應於美國的 Savings)：計單利；
b) 定期儲蓄 (大抵對應於美國的 CD)：假設 5 年的定期。5 年後，儲戶如果不將錢取出，銀行會自動 renew (和美國這邊差不多)，renew 時將利息計入，算作本金，期滿後 (亦即另一 5 年後) 一起 compound 算利息。這和美國這邊的 CD 有所差別。據我所知，美國的 CD 在 CD period 內 rate 固定，但是利息是 monthly compounded 的。
民間。民間的金融活動當然基本上都是高利貸性質的。一般的民間高利貸，隻要不過份，官方也默許。一般民間的高利貸 by convention 是隻計單利的 (是不是大部份這樣我就不知道，我知道的是這樣)。一則是因為大部分老百姓腦袋裏並無複利這個概念，另一方麵高利貸期限一般不長，複利還是單利並無多大的區別。民間高利貸的 rate，例如一兩年的，現在一般在 12% 左右，短期的，30%-40% is common。官方 approve 做高利貸性質生意的，好像是 rate 如果不高於 36%，則是沒有問題的。當然這些是我的個人了解，不一定準確。
2) 房貸的單利 Simple Interest 模型。
先看最簡單的 Savings Account，存款，simple annual rate R = 6% = 0.5% monthly = r，initial deposit P = P_0 = 500,000。For simple interest，假設 no other transactions，前幾月的結果如下：
月份 月初總金額 B 本金部分 P 利息部分 I 月底所得利息 i
0 500,000 500,000 0 2,500 (=P*r)
1 502,500 500,000 2,500 2,500
2 505,000 500,000 5,000 2,500
3 507,500 500,000 7,500 2,500
........
很明顯，for k-th month，本金 P_k = P = constant，總金額 B_k = P + 2500*k。B_k = B(k) 是離散時間 k 的線性函數。大家可能會納悶，這麽簡單為啥還搬出來說事。這是因為，這個最簡單的 case 能讓最多的人明白 Simple Interest 是如何計算的，關鍵的地方是，盡管賬號每月的總 Balance 在變化，但是本金部分和利息部分分開統計的。這是必要的，因為隻有本金部分參與利息的計算，利息不能產生新的利息。
接下來我們複習現在的房貸的 Mortgage 是如何算的。假設客戶每月月初付款 M，這樣，咱們就有
0) 最開始，Balance B_0 = P (你的 principal amount)；
1) 1st month，B_1 = (1+r) P - M，這是你的 principal amount，因為最開始你借了銀行 P 這麽多錢，銀行按照月率 r 收利息，但是隨後你償還了 M 這麽多錢；
2) 2nd month，類似的，B_2 = (1+r)*( (1+r) P - M) - M = P (1+r)^2 - (1+(1+r))*M;
3) 3rd month, B_3 = (1+r)*P_2 -M = P(1+3)^3 - (1+(1+r)+(1+r)^2)*M;
........
N) Nth month，B_N = P (1+r)^N - (1+ (1+r) + (1+r)^2 + ... + (1+r)^(N-1))*M
= P (1+r)^N - M*( (1+r)^N - 1)/r
因為你假設 N 月後償還貸款，所以 B_N = 0，所以從上個公式就可以計算出你的月配 M 出來。
好，言歸正傳。咱們來看基於 Simple Interest 的房貸到底該如何。沿用上述記號，並且用 P_k 表示第 k 月的 Principal，I_k 表示第 k 月的 Interest，B_k = P_k + I_k，我們有：
0) 最開始，Balance B_0 = P (你的 principal amount)；
1) 1st month，B_1 = (1+r) P - M，這和 Compound Interest Model 是一樣的，因為最開始賬號上沒有任何利息。現在，和 Compound Interest Model 不同，我們得嚴密跟蹤 P_1 and I_1:
B_1 = P_1 + I_1 = (P-M) + r*P
2) 2nd month，注意此時隻有 P_1 產生利息，所以
B_2 = P_1 (1+r) + I_1 - M = (P-M) (1+r) + r*P -M
= (P-2M) + r*(2P-M) = P_2 + I_2
3) 3rd month， B_3 = P_2 (1+r) + I_2 - M = (P-2M) (1+r) + r*(2P-M) -M
= (P-3M) + r*(3P-3M) = P_3 + I_3
.................
顯然，如果 M = 0 (不付錢)，從上式得出 B_N = P + N*P*r，這自然是理所當然的。
因為已經假設 N 月後償還貸款，所以 B_N = 0，所以從上個公式就可以計算出你的月配 M 出來，結果是：
M = P (1+N*r) / (N + N*(N-1)*r/2)
對無息貸款，r=0，那麽從上式得出：M = P/N，這自然是理所當然的。
和 Compound Interest 的房貸對比計算結果 (Assume P=500,000，R=6%，30-year，N=360)：
複利模型 單利模型
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Monthly Mortgage 2,997.75 2,049.48
Total Interest 579,190.95 237,812.80
昨晚在 BBS 說了碼個小帖討論如何“實現”房貸的“單利模型”的，這裏試著拋出這個帖子，作拋磚引玉之想。因集腋可成裘，故也希望那些有一定康門三四 (特別是真正的行家、圈內人士) 批評或者提出合理的見解。
先說幾句開場白，隻因論壇這幾天就房貸是 based on “Simple Interest (單利)”還是“Compound Interest (複利)”討論得熱火朝天，甚至連大家更加熟知的 Savings Account 是 based on 單利還是複利模型也出現了點小分歧。作為一個隻有點康門三四的金融盲，我不清楚在金融界，Simple Interest & Compound Interest 是不是 (strictly) well defined 了的術語，但是這幾天我和大家討論時也順便度娘了 wiki 百科，看了那裏的解釋、定義，所以我想那裏對這兩個名詞的釋義應該是普遍接受了的解釋。
這裏再說一次我 (對論壇朋友帖子) 的觀點：如誰對單利複利的理解不同，即使和約定俗成的不同，也是可以的 (至少我沒意見)，但是要不自相矛盾，要前後自洽。對俺這樣半文半理、畢業於重點中專的學生而言，看別人如何“develop”一套俱備 self-consistency 的東西，也是某種享受。
討論問題是需要某些共識為基礎的。這裏盡管大家在爭論房貸是基於單利還是複利，但是爭論的(主要)雙方對單利 (Simple Interest)、複利 (Compound Interest) 的理解是沒有分歧的，那就是：無論是 Savings Account 還是 Mortgage Account，利息 Interest 如果不產生利息，屬單利；如果利息產生了利息，亦即通常所說的“利滾利”，屬於複利。這個理解是和 wiki 百科的解釋一致的。在這個意義上，美國的 savings account 是 based on 複利，這點也基本上得以認同 (除了個別同學外，不過那是非主流，這裏不費筆墨)。
但是對房貸是 based on Simple Interest or Compound Interest，分歧就大不少。盡管根據統計員明城同學的統計，在上述約定下，大部分同學認為房貸是based on Compound Interest，但是認為房貸是基於單利模式的，也有好幾位。通過幾天的觀察，這幾人認為房貸是基於單利模式的主要理由是：當房貸定下來後，Mortgage payment 就定下來了，如果客戶定期配這個數據，就自動意味著當月的利息已經付清了，所以利息不會產生新的利息，所以房貸模型是基於單利 Simple Interest 的。當然也有一些較為冷僻點的觀點，例如鐵獅子的一個觀點是，“(利滾利) 我也就覺得不合理，借債還錢付息理所應當。而利息並不是我們向銀行借的錢，憑什麽也要付利息呢？”等。還有個別更加冷僻的觀點，例如美國政府為美國人民著想，所以房貸收取單利而不是複利，因為複利給百姓的負擔過重，等，這裏就不詳述了。
作為“複利論”陣營的一員，我試了幾個不同的方法讓那些“單利論”陣營的同學放棄他們的觀點，可惜沒有成功。俺的幾個主要方法重述如下：
a) 康門三四。既然你存錢的 Savings Account 銀行都給你複利，那麽對銀行借錢給你的房貸，銀行會隻收取單利麽？30 年 (typical 貸款期限) 可不是短時間，銀行就算是慈眉善目充滿愛心的慈善家，他們也沒法承擔 Simple Interest 給他們帶來的巨額虧損。大家查查數據就知道，美國的 Real Property Market 比股市大多了。
b) (對上麵單利論者的主流觀點提出個悖論) 考慮個 initial loan = $500,000，rate = 6%，30-year 的房貸。Monthly mortgage payment = $2,997.75。單利論者認為，如果客戶每月配 $2,997.75，那麽利息付清了，因此是單利；但是如果某月配額小於這個數，那麽利息沒有配完，隻有這時才會有複利。比如說每月隻配 $2,751.07，就會產生複利。俺說你可將這月配 $2,751.07 理解成 P=$5000,000，rate=6%，40-year的貸款就成了，(按照他們的觀點) 兩者都對應 P=$5000,000，rate=6% 的 Simple Interest Case。那幾位同學居然看不出這是以彼之矛攻彼之盾的 Paradox，真令人無語。
c) Compound interest 的特征是，在計利息時，本金和利息是等價的，是可以不區分可以混為一談的。真實話語同學總結得好，“凡是按當前Balance計利的都算複利”。單利模型則相反，因為利息是被排斥在本金之外的，所以單利模型 balance 中，本金和利息是要區分開來的，因為前者參與下一輪的利息計算，後者不能。房貸 mortgage 公式的推導過程，恰恰表明了它是 based on compound interest。
順當說一下，就我所知的而言，中國以前銀行就儲蓄帳戶而言，是明確規定了計單利的。現在官方的規定是：
a) 活期儲蓄 (大抵對應於美國的 Savings)：計單利；
b) 定期儲蓄 (大抵對應於美國的 CD)：假設 5 年的定期。5 年後，儲戶如果不將錢取出，銀行會自動 renew (和美國這邊差不多)，renew 時將利息計入，算作本金，期滿後 (亦即另一 5 年後) 一起 compound 算利息。這和美國這邊的 CD 有所差別。據我所知，美國的 CD 在 CD period 內 rate 固定，但是利息是 monthly compounded 的。
民間。民間的金融活動當然基本上都是高利貸性質的。一般的民間高利貸，隻要不過份，官方也默許。一般民間的高利貸 by convention 是隻計單利的 (是不是大部份這樣我就不知道，我知道的是這樣)。一則是因為大部分老百姓腦袋裏並無複利這個概念，另一方麵高利貸期限一般不長，複利還是單利並無多大的區別。民間高利貸的 rate，例如一兩年的，現在一般在 12% 左右，短期的，30%-40% is common。官方 approve 做高利貸性質生意的，好像是 rate 如果不高於 36%，則是沒有問題的。當然這些是我的個人了解，不一定準確。
2) 房貸的單利 Simple Interest 模型。
先看最簡單的 Savings Account，存款，simple annual rate R = 6% = 0.5% monthly = r，initial deposit P = P_0 = 500,000。For simple interest，假設 no other transactions，前幾月的結果如下：
月份 月初總金額 B 本金部分 P 利息部分 I 月底所得利息 i
0 500,000 500,000 0 2,500 (=P*r)
1 502,500 500,000 2,500 2,500
2 505,000 500,000 5,000 2,500
3 507,500 500,000 7,500 2,500
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很明顯，for k-th month，本金 P_k = P = constant，總金額 B_k = P + 2500*k。B_k = B(k) 是離散時間 k 的線性函數。大家可能會納悶，這麽簡單為啥還搬出來說事。這是因為，這個最簡單的 case 能讓最多的人明白 Simple Interest 是如何計算的，關鍵的地方是，盡管賬號每月的總 Balance 在變化，但是本金部分和利息部分分開統計的。這是必要的，因為隻有本金部分參與利息的計算，利息不能產生新的利息。
接下來我們複習現在的房貸的 Mortgage 是如何算的。假設客戶每月月初付款 M，這樣，咱們就有
0) 最開始，Balance B_0 = P (你的 principal amount)；
1) 1st month，B_1 = (1+r) P - M，這是你的 principal amount，因為最開始你借了銀行 P 這麽多錢，銀行按照月率 r 收利息，但是隨後你償還了 M 這麽多錢；
2) 2nd month，類似的，B_2 = (1+r)*( (1+r) P - M) - M = P (1+r)^2 - (1+(1+r))*M;
3) 3rd month, B_3 = (1+r)*P_2 -M = P(1+3)^3 - (1+(1+r)+(1+r)^2)*M;
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N) Nth month，B_N = P (1+r)^N - (1+ (1+r) + (1+r)^2 + ... + (1+r)^(N-1))*M
= P (1+r)^N - M*( (1+r)^N - 1)/r
因為你假設 N 月後償還貸款，所以 B_N = 0，所以從上個公式就可以計算出你的月配 M 出來。
好，言歸正傳。咱們來看基於 Simple Interest 的房貸到底該如何。沿用上述記號，並且用 P_k 表示第 k 月的 Principal，I_k 表示第 k 月的 Interest，B_k = P_k + I_k，我們有：
0) 最開始，Balance B_0 = P (你的 principal amount)；
1) 1st month，B_1 = (1+r) P - M，這和 Compound Interest Model 是一樣的，因為最開始賬號上沒有任何利息。現在，和 Compound Interest Model 不同，我們得嚴密跟蹤 P_1 and I_1:
B_1 = P_1 + I_1 = (P-M) + r*P
2) 2nd month，注意此時隻有 P_1 產生利息，所以
B_2 = P_1 (1+r) + I_1 - M = (P-M) (1+r) + r*P -M
= (P-2M) + r*(2P-M) = P_2 + I_2
3) 3rd month， B_3 = P_2 (1+r) + I_2 - M = (P-2M) (1+r) + r*(2P-M) -M
= (P-3M) + r*(3P-3M) = P_3 + I_3
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N) Nth month，
B_N = (1+r)*P_(N-1) + I_(N-1) - M = (P-N*M) + r*(N*P-M*N*(N-1)/2) = P_N + I_N
顯然，如果 M = 0 (不付錢)，從上式得出 B_N = P + N*P*r，這自然是理所當然的。
因為已經假設 N 月後償還貸款，所以 B_N = 0，所以從上個公式就可以計算出你的月配 M 出來，結果是：
M = P (1+N*r) / (N + N*(N-1)*r/2)
對無息貸款，r=0，那麽從上式得出：M = P/N，這自然是理所當然的。
和 Compound Interest 的房貸對比計算結果 (Assume P=500,000，R=6%，30-year，N=360)：
複利模型 單利模型
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Monthly Mortgage 2,997.75 2,049.48
Total Interest 579,190.95 237,812.80
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