-*-紫色王家思絮絮-*-
我思無邪、我行無悔
正文
繼續扯南山蓋北海。如前所說，俺主要計劃胡掰現在物理天空下可能存在的兩多烏雲。上次俺胡掰一通後，就隱約感覺到四周潛伏著的巨大殺機，俺分明感覺到以小快和幾位非典教授手提板斧在俺帳前晃動......而且袈裟道長也警告了，這幾位看上去是數學家，其實暗地裏也幹物理學家的勾當，和周老虎、阿胖那樣比較純粹的物理學家有所區別，讓俺加強點崗哨防備著點。
計劃先扯第一朵：可能找不到標準模型預測的 Higgs 粒子。隨著美國費米實驗室的對撞機 TEVATRON的關閉，尋找 Higgs 粒子的重任就落在了歐洲的 LHC 身上了。我看得準備多少字節，如果字節多有時間碼的話，我可以從數學結構李群說起。群這東西，俺略知點皮毛，正好適合俺拿出來海闊天空一番，以印證無知無畏這句古訓。
這裏之所以提及幾句李群，原因是多方麵的。首先群論是現代數學最核心的概念之一；其次，李群是高能物理/量子場論中最主要的數學工具之一；再者，說個題外話，若論諾貝爾炸藥獎，除開文學獎和和平獎外，中國土產學者中最接近諾貝爾獎的成果恰恰和李群有關。當然，這算題外話了。這裏不打算詳述，知道些內幕的，應該知道俺說的是中國科大的劉耀陽等人。
群是什麽呢？簡單地講就是實數以及實數上加法或者乘法這種二元運算概念上的拓廣。從外延上看，它是拓廣，實際上是概念精華的濃縮和抽象，其作用基本上貫穿了整個數學和許多科學分支，包括大家現在能夠交流發帖的互聯網，嗬嗬。用武斷點的話說，群在物理學上的應用主要有兩個：分類，以及涉及對稱性和不變量的研究。通常，什馬是分類？所謂分類，其本質無非是你所考察的對象過於複雜，所以你將你所考察的對象劈開成一些較小的子對象從而加以研究，也就是俗話所說的的 divide and conquer 各個擊破是不是？這就是群論中子群(直觀上就是你的某個特定的子對象) 以及將子群看作是個體後所得到的商群 (也就是你給你的大對象分成了幾個子對象，嗬嗬) 的概念。這在研究，比如說，幾何/拓撲學中尤其有用，所謂的代數拓撲、代數幾何是現代數學最主要的研究方向之一，許多菲爾茲獎得主的工作都與此有關，不提。為啥不提呢？因為這方麵的科普，就有些見真章了，所以得請誰誰某位數學家。
熟悉數學史的朋友都知道，早逝的天才加羅華關於群的研究直接證明了一元五次以及五次以上的方程不存在一個求解的公式。這是數學史上最令人驚異的結果之一。
回到群論本身。群按照群元集合基數的大小，可以分為有限群和無限群。這裏集合基數中的“基數”是什麽意思呢？直觀上，基數，或者曰“勢” (早期的翻譯)，或者說英文中的詞匯 cardinality，就是集合元素的個數。對有限集合而言，其意思自明，對無窮集合而言，意思可能就比較模糊，對不對？整數集、有理數集、實數集有多 少元素了？有些迷糊是不是？所以大家通常依照伯恩斯坦定下的規矩來給無窮集合的元素個數分個等級。這個規則是說，如果兩個集合之間的元素能1-1對應起 來，那麽這兩個集合的元素個數就是一樣大小。所以，盡管有理數貌似比整數多很多 (學習過實數理論的人都曉得，整數嘛，在數軸上是稀稀拉拉的，有理數卻是稠密的，這也是實數的定義之一----實數等價於一個有理數的 Cauchy 序列----的本質原因)，但是有理數和整數之間確實存在 1-1 對應，所以它們的基數是一樣大的 (直觀地講，就是整數集合和有理數集合元素個數雖然都是無窮大，但是它們無窮大的等級是一樣的)。但是呢，實數卻不和有理數對等，因為實數是有理數集合的冪集 (Power Set)。
數學上可以簡單地證明，一個集合不可能和它的冪集存在一一對應關係，也就是說，雖然直觀上實數集和有理數集合元素個數都是無窮大，但是它們的無窮大等級是不一樣的，實數集合的無窮大等級要高個檔次。也就是說，盡管在數軸上有理數將數軸上武裝到了牙齒三步一崗 五步一哨密密麻麻密不透風，但是無理數卻能慢條斯理地對有理數說，喂你小樣，少給我套近乎，俺比你高個層次呢。
整數/有理數的基數通常記為 A0 (阿列夫0)，其冪集，亦即實數集，其基數記為 A1。有些數學基礎的人不難想象，實數集合的冪集就是實數空間上所有函數的集合，其基數記為A2；實數空間上所有函數的集合的冪集就是實數空間上所有泛函的集合，基數記為A3，等。根據伯恩斯坦定理，我們有：
A0 < A1 < A2 < A3 < ......
有些文史背景的同學可能難以想象冪集是啥東西。直觀地講，假設某個集合是地球上所有的房子，現在呢，中國電信和 AT&T 聯手要給咱們的地球村安裝某種電話線，將所有的家庭不通過任何電話交換庭直接聯係起來，包括任何兩家之間的直接聯係，安裝根電話線；任何三家之間也有根電話線直接聯係，任何4家之間也有根電話線直接聯係...那麽地球村家庭這個集合的冪集就是上述電話線的集合，嗬嗬。直觀上好理解吧？
百年前有個世界數學大會，數學史上永垂不朽的希爾伯特在大會上提出了對20世紀數學進展產生深遠影響的 23 個問題，第一個問題奏是“康托連續統假設”。康托連續統假設就是說，在上文中的 A0 和 A1 之間 (類似的，A1和A2之間，等) ，不存在另一個基數 B，使得A0 < B < A1 (亦即 A0、A1之間是“連續”的)，希爾伯特這個問題是希望大家給出證明或者證偽。當然，現在大家明白，康托連續統假設是不能證明或者證偽的，亦即你可以假設 B 存在或者不存在，邏輯上都能自洽，其中最著名的工作就是哥德爾不完備定理，它是整個數學特別是數學基礎特別是數理邏輯方向最深刻的結果之一，也和所謂的 羅素悖論 (也就是那個得到諾貝爾文學獎的英國人) 和羅素悖論引發的第三次數學危機息息相關。
嗯，跑題了。接著胡掰，回到群論。
這群呢，根據群元數目是否有限，可以分為有限群和無限群。在固體物理晶體研究以及分子結構分析中常見的點群就是有限群，李群可能是最重要的無限群 (李群的群元空間是連續的)。
在物理特別是量子場論中，最重要的是一種稱為(特殊)酉群 ((Special) Unitary Lie Group) 的 Lie 群，通常記為 SU(n)，n=1,2,3,...。這種群的矩陣表示對應的矩陣是酉矩陣的共軛轉置恰好就是其逆矩陣。(學習過矩陣或者量子力學的朋友應該知道這些術語。這些術語有些專門了，這裏就盡力免去不提)
為啥酉群 SU(n) 在現代物理學中扮演如此重要的角色呢？其根源不是別的，而是樓主所提及的量子力學的統計解釋。量子力學的統計解釋的開山祖師是哥本哈根學派，這個解釋也是愛因斯坦陣營所反對的。但是反對歸反對，盡管哥本哈根學派不能證明愛因斯坦的經典決定論必須舍棄，但是這並不妨礙在不討論經典決定論是否應該舍棄這個位於 root level 觀點的前提下，統計解釋作為量子力學的解釋而繼續發展。來個不恰當的比喻，科學其實從根本上和宗教 (例如猶太三大宗教) 是衝突的，因為耶和華的存在不能證明為真，對不對？但是現在宗教和科學能並存，其原因並非兩者沒有衝突，而是因為科學目前的進展還不足以發展到要表決耶和華/雅威/安拉存在與否的程度，對不對 (此話如若得罪某些教友，表示抱歉)。量子力學統計解釋的數學基礎恰恰就是泛函分析，特別是希爾伯特空間上的譜分析。
計劃先扯第一朵：可能找不到標準模型預測的 Higgs 粒子。隨著美國費米實驗室的對撞機 TEVATRON的關閉，尋找 Higgs 粒子的重任就落在了歐洲的 LHC 身上了。我看得準備多少字節，如果字節多有時間碼的話，我可以從數學結構李群說起。群這東西，俺略知點皮毛，正好適合俺拿出來海闊天空一番，以印證無知無畏這句古訓。
這裏之所以提及幾句李群，原因是多方麵的。首先群論是現代數學最核心的概念之一；其次，李群是高能物理/量子場論中最主要的數學工具之一；再者，說個題外話，若論諾貝爾炸藥獎，除開文學獎和和平獎外，中國土產學者中最接近諾貝爾獎的成果恰恰和李群有關。當然，這算題外話了。這裏不打算詳述，知道些內幕的，應該知道俺說的是中國科大的劉耀陽等人。
群是什麽呢？簡單地講就是實數以及實數上加法或者乘法這種二元運算概念上的拓廣。從外延上看，它是拓廣，實際上是概念精華的濃縮和抽象，其作用基本上貫穿了整個數學和許多科學分支，包括大家現在能夠交流發帖的互聯網，嗬嗬。用武斷點的話說，群在物理學上的應用主要有兩個：分類，以及涉及對稱性和不變量的研究。通常，什馬是分類？所謂分類，其本質無非是你所考察的對象過於複雜，所以你將你所考察的對象劈開成一些較小的子對象從而加以研究，也就是俗話所說的的 divide and conquer 各個擊破是不是？這就是群論中子群(直觀上就是你的某個特定的子對象) 以及將子群看作是個體後所得到的商群 (也就是你給你的大對象分成了幾個子對象，嗬嗬) 的概念。這在研究，比如說，幾何/拓撲學中尤其有用，所謂的代數拓撲、代數幾何是現代數學最主要的研究方向之一，許多菲爾茲獎得主的工作都與此有關，不提。為啥不提呢？因為這方麵的科普，就有些見真章了，所以得請誰誰某位數學家。
熟悉數學史的朋友都知道，早逝的天才加羅華關於群的研究直接證明了一元五次以及五次以上的方程不存在一個求解的公式。這是數學史上最令人驚異的結果之一。
回到群論本身。群按照群元集合基數的大小，可以分為有限群和無限群。這裏集合基數中的“基數”是什麽意思呢？直觀上，基數，或者曰“勢” (早期的翻譯)，或者說英文中的詞匯 cardinality，就是集合元素的個數。對有限集合而言，其意思自明，對無窮集合而言，意思可能就比較模糊，對不對？整數集、有理數集、實數集有多 少元素了？有些迷糊是不是？所以大家通常依照伯恩斯坦定下的規矩來給無窮集合的元素個數分個等級。這個規則是說，如果兩個集合之間的元素能1-1對應起 來，那麽這兩個集合的元素個數就是一樣大小。所以，盡管有理數貌似比整數多很多 (學習過實數理論的人都曉得，整數嘛，在數軸上是稀稀拉拉的，有理數卻是稠密的，這也是實數的定義之一----實數等價於一個有理數的 Cauchy 序列----的本質原因)，但是有理數和整數之間確實存在 1-1 對應，所以它們的基數是一樣大的 (直觀地講，就是整數集合和有理數集合元素個數雖然都是無窮大，但是它們無窮大的等級是一樣的)。但是呢，實數卻不和有理數對等，因為實數是有理數集合的冪集 (Power Set)。
數學上可以簡單地證明，一個集合不可能和它的冪集存在一一對應關係，也就是說，雖然直觀上實數集和有理數集合元素個數都是無窮大，但是它們的無窮大等級是不一樣的，實數集合的無窮大等級要高個檔次。也就是說，盡管在數軸上有理數將數軸上武裝到了牙齒三步一崗 五步一哨密密麻麻密不透風，但是無理數卻能慢條斯理地對有理數說，喂你小樣，少給我套近乎，俺比你高個層次呢。
整數/有理數的基數通常記為 A0 (阿列夫0)，其冪集，亦即實數集，其基數記為 A1。有些數學基礎的人不難想象，實數集合的冪集就是實數空間上所有函數的集合，其基數記為A2；實數空間上所有函數的集合的冪集就是實數空間上所有泛函的集合，基數記為A3，等。根據伯恩斯坦定理，我們有：
A0 < A1 < A2 < A3 < ......
有些文史背景的同學可能難以想象冪集是啥東西。直觀地講，假設某個集合是地球上所有的房子，現在呢，中國電信和 AT&T 聯手要給咱們的地球村安裝某種電話線，將所有的家庭不通過任何電話交換庭直接聯係起來，包括任何兩家之間的直接聯係，安裝根電話線；任何三家之間也有根電話線直接聯係，任何4家之間也有根電話線直接聯係...那麽地球村家庭這個集合的冪集就是上述電話線的集合，嗬嗬。直觀上好理解吧？
百年前有個世界數學大會，數學史上永垂不朽的希爾伯特在大會上提出了對20世紀數學進展產生深遠影響的 23 個問題，第一個問題奏是“康托連續統假設”。康托連續統假設就是說，在上文中的 A0 和 A1 之間 (類似的，A1和A2之間，等) ，不存在另一個基數 B，使得A0 < B < A1 (亦即 A0、A1之間是“連續”的)，希爾伯特這個問題是希望大家給出證明或者證偽。當然，現在大家明白，康托連續統假設是不能證明或者證偽的，亦即你可以假設 B 存在或者不存在，邏輯上都能自洽，其中最著名的工作就是哥德爾不完備定理，它是整個數學特別是數學基礎特別是數理邏輯方向最深刻的結果之一，也和所謂的 羅素悖論 (也就是那個得到諾貝爾文學獎的英國人) 和羅素悖論引發的第三次數學危機息息相關。
嗯，跑題了。接著胡掰，回到群論。
這群呢，根據群元數目是否有限，可以分為有限群和無限群。在固體物理晶體研究以及分子結構分析中常見的點群就是有限群，李群可能是最重要的無限群 (李群的群元空間是連續的)。
在物理特別是量子場論中，最重要的是一種稱為(特殊)酉群 ((Special) Unitary Lie Group) 的 Lie 群，通常記為 SU(n)，n=1,2,3,...。這種群的矩陣表示對應的矩陣是酉矩陣的共軛轉置恰好就是其逆矩陣。(學習過矩陣或者量子力學的朋友應該知道這些術語。這些術語有些專門了，這裏就盡力免去不提)
為啥酉群 SU(n) 在現代物理學中扮演如此重要的角色呢？其根源不是別的，而是樓主所提及的量子力學的統計解釋。量子力學的統計解釋的開山祖師是哥本哈根學派，這個解釋也是愛因斯坦陣營所反對的。但是反對歸反對，盡管哥本哈根學派不能證明愛因斯坦的經典決定論必須舍棄，但是這並不妨礙在不討論經典決定論是否應該舍棄這個位於 root level 觀點的前提下，統計解釋作為量子力學的解釋而繼續發展。來個不恰當的比喻，科學其實從根本上和宗教 (例如猶太三大宗教) 是衝突的，因為耶和華的存在不能證明為真，對不對？但是現在宗教和科學能並存，其原因並非兩者沒有衝突，而是因為科學目前的進展還不足以發展到要表決耶和華/雅威/安拉存在與否的程度，對不對 (此話如若得罪某些教友，表示抱歉)。量子力學統計解釋的數學基礎恰恰就是泛函分析，特別是希爾伯特空間上的譜分析。
詩心常不變，好奇每守恒。
欲知雲兩朵，先侃李一群。